2022年《线性代数》期末复习要点.pdf

线性代数期末复习要点第一章n 阶行列式题型：填空 1练习册：一、 6 解：因为(4,3,2,1)0142332411423324114233241( 1)( 1)a a a aa a a aa a a a，所以符号为正。2 （类似） 4 阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa，中含有14213243a a a a的项的符号 - 解：因为(4,1,2,3)0 1 1 1142132431423324114233241( 1)( 1)a a a aa a a aa a a a，所以符号为正。计算 3三、 4 （类型相似，但是主对角线上的元素有变化）将第一行乘)1(分别加到其余各行，得axxaaxxaaxxaaaaxDn0000000再将各列都加到第一列上， 得axaxaxaaaanxDn0000000000)1()()1(1axanxn第二章矩阵理论题型：填空1练习册：一、 9（|A| |B|换数）解：131|2|2|8 2 232|TB（）ABA相似题： 2设 A、B 是 3 阶方阵，且 |A|=2, |B|=3, 则1BAT=112|2|33BA3. 已知 A,B 为 4 阶方阵，且| 3,|4AB，则：(1)4|22 |3 ( 4)12AB |=A | B |=；(2)4| 4|4| 256343072T（）（）ABAB；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - (3)11111|()| |12|BAABBA；(4)11111|12A BAB；(5)*1*14 14 11331|2| |2| |2| |24|AAAAAAAA4. 设A，B都是 n 阶方阵，且|A|2，1B， 则1112|TTA BABAB5练习册：二、 1（类似）因为12121 2101 152123143 31034020 5181 18，所以c23=106练习册：三、 7（只求 A 的逆阵）解：由 A2A 2E O 得：A2A 2E即 A(A E) 2EEEAA)(21则且)(211EAA7 （类似） 已知 3 阶初等阵(2( 1),3)E，A 是 3 阶方阵，则(2( 1),3)EA 相当于对 A 作的（BA231rr）（）初等变换。（见教材 P52定理 2.7）相似题： 8. 设三阶方阵123123123,aaaAbbbccc则(1,2 )EA第一列与第二列互换位置. 9. 设三阶方阵123123123,aaaAbbbccc则(2, 3 )EA第二列与第三列互换位置 . 10设 4 阶可逆阵 A 的行列式 |A|=3，则 |A*| =4 13|327A（|A|=？可能要变数）选择：11. 设 A，B 是可逆矩阵，则1OABO=11OBAO计算：12. 练习册：三、 8（类似）解: AB+E =A2-B, (A+E)B=A2 -E, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 因为|A+E|=-7 0,所以A+E可逆, 所以B =(A+E)-1(A2-E)=(A+E)-1(A+E)(A-E ) =A-E=132011131-100010001=032001132。相似题： 13. 设321011330AAB A 2B 求 B解由 AB A 2E 可得(A 2E)B A故321011330121011332)2(11AEAB01132133014设101020101A且 AB E A2B求 B解由 AB E A2B 得(A E)B A2E即(A E)B (A E)(A E)因为01001010100|EA所以(A E)可逆从而201030102EAB第三章n 维向量组题型：填空： 1练习册：一、 7（类似）解: 因为13221335732TTTmm, 当35-7m=0时向量组线性相关 , 所以m=5。2. 设2, 1, 11，5,22k，1,6, 13线性相关，则 k？解：1231211630251kk，所以 k3 选择： 3. 练习册：二、 2（类似）4. 练习册：二、 4（类似）5. 练习册：二、 5（类似）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 计算： 6已知向量组123412300011,221024601203，求：(1) R(1,2,3,4)；(2) 1,2,3,4是否线性相关；(3) 1,2,3,4一个极大无关组； (4) 并用极大无关组表示其余向量。解：(1) (1,2,3,4)=1230123000110670221000112460000012030000，所以R(1,2,3,4)=3；(2) 因为R(1,2,3,4)=34，所以线性相关；(3) 1,2,3为一个极大无关组；(4) 由于(1,2,3,4)=21001230123030011067070106221000110011246000000000120300000000所以4=1232736。7. 练习册：三、 3 (类似) (1)(1,2,3,4,5)=104311211210321001101253010321122000011010321,向量组的秩为 3; (2)因为秩 5,所以线性相关 ; (3)1,2,3为一个极大无关组 ; (4) (1,2,3,4,5)2111000011010101212121110010101001, 所以a4=a1+a2-a3，a5=21(a1-a2+a3)。8练习册：三、 5(类似 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解：(1)(1,2,3,4)=79632264121111120000100031101211; 向量组的秩为 3; (2)因为秩 4, 所以线性相关 ; (3)1,2,4为一个极大无关组 ; (4) (1,2,3,4)0000100001100101, 所以 3= -1-2。注：考试出题为：四个五维向量证明： 9. 练习册：四、 3 (类似)设 b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量组 a1a2ar线性无关证明向量组 b1b2br线性无关解：已知的 r 个等式可以写成100110111),(),(2121rraaabbb上式记为 B AK 因为 |K| 1 0 K 可逆所以 R(B) R(A) r从而向量组 b1b2br线性无关10 练习册： 四、 2 若向量组123,线性无关，而11232123,2,312323,试证：123,线性无关。 (类似) 解：设0)32()2()(321332123211kkk，即0)32()2()(332123211321kkkkkkkkk由于向量组123,线性无关，所以032020321321321kkkkkkkkk，解得0321kkk，所以123,线性相关。11设向量组123,线性无关，令132123211,证明：向量组123,线性无关。 (类似) 解：设0)()()(132123211kkk，即0)()(332211321kkkkkk由于向量组123,线性无关，所以000332321kkkkkk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解得0321kkk，所以123,线性相关。第四章线性方程组题型：选择： 1. 练习册：一、 4 R(A)= n 计算： 2. 教材 P92-4.5 ; 解： 因为 R(A)=3,所以 AX=对应的齐次线性方程组AX=0 的基础解系所含解向量的个数为 4-3=1，由线性方程组解的性质可知131223110981981451=（）（）是 AX=0 的一个基础解系，故 AX=的通解为1210911912241X=k+，其中 k 为任意常数。3教材 P93-4.14(非原题，类似 ) 方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含134个解向量，211224224022020022)(2)()(3213121则所求方程组的通解为122220101201012222Xkkk+，其中 k 为任意常数。4设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，321,为它的三个解向量，且54321，432132求该方程组的通解。解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含134个解向量，则所求方程组的通解为kx1其中 k 为任意常数。6543)(2)()(3213121，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 因此，方程组的通解为65435432kx。5已知 4 阶方阵 A =（1，2，3，4） ，其中 1，2，3，4均为 4 维的列向量，且2，3，4线性无关， 1 = 22 - 3， 如果 = 1 + 2 + 4，求线性方程组 Ax=的通解 . （类似）解由 2，3，4线性无关及 1=22-3知矩阵 A 的秩为 3,因此 Ax=0的基础解系有一个解向量,由1-2 2 + 3 + 04 = 0得123412,10= 0，即齐次线性方程组Ax=0 的基础解系为12,10再由1234123411110,0011A知*1101是 Ax= 的一个特解，于是方程组Ax=的通解为1121.1001kkRx=6已知非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，又已知该非齐次线性方程组的三个解向量为Tx1,0,2,3,41，Tx0,4,1,1,22，Tx1,1,1,8,23，试求该方程组的通解 . （类似）解：由方程组未知数个数为5 及系数矩阵的秩为3，知其对应的齐次线性方程组的基础解系中只含两个线性无关解向量，再由“非齐次线性方程组两个解的差必为对应的齐次线性方程组的解”，以及Txx1 ,4,1 ,2 ,221，Txx0, 1, 1 , 5,231线性无关 . 知非齐次线性方程组的通解等于它自身的一个特解加上它对应的齐次线性方程组的通解，即通解1112213()()xcxxcxx12124 3 2 0 12 2 14 125 11 0, , , , , , ,TTTccc cR. 7. 设四元线性方程组AX= ,且 R（A）= 3，已知123,aaa是其三个解向量，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 其中1232200,0034求 AX= 的通解。 （类似）解：因为 R(A)=3,所以 AX=对应的齐次线性方程组AX=0 的基础解系所含解向量的个数为 4-3=1，由线性方程组解的性质可知3001200150022321是 AX=0 的一个基础解系，故 AX=的通解为300150021kkx8设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，321,为它的三个解向量，且54321，432132求该方程组的通解。解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含134个解向量，则所求方程组的通解为kx1其中 k 为任意常数。6543)(2)()(3213121，因此，方程组的通解为65435432kx。第五章特征值与特征向量题型：填空: 1练习册：一、 4（类似）解：因为 1，2，3 为 A 的特征值，则 f(A)=A3-5A2+7A 的特征值分别为： f(1)=1-5+7=3；f(2)=8-20+14=2；f(3)=27-45+21=3，所以|A3-5A2+7A|=3 2 3=18。2练习册：一、 5（类似）解：因为 1，13，0 为 A 的特征值，则 f(A)=3A2- 2A+4E 的特征值分别为： f(1)=3-2+4=5；1()3f=5；f(0)=4，所以 |B|=5 5 4=20。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 3. 设 A 为三阶方阵，其特征值为3，1，2，则|2A23AE |? （类似）解：因为 3，- 1，2 为 A 的特征值，则 f(A)=2A2-3A+E 的特征值分别为： f(3)=18- 9+1=10；f(- 1)=2+3+1=6；f(2)=8-6+1=3，所以 |2A23AE |10 6 3=180。4练习册：四， 3 解：设是 A 的任意一个特征值x 是 A 的对应于的特征向量则(A23A 2E)x2x 3 x 2x (232)x 0因为x 0所以232 0即 是方程232 0 的根也就是说1 或2计算： 5. 练习册：三、 5，解：|A-E |=(5- )( +1)2, A 的特征值为 : 1=2=-1,3=5,。对应 =-1，A+E=222222222000000111x1=-x2-x3, 基础解系为p1=(-1,1,0)T, p2=(-1,0,1)T, 对应 =-1的全部特征向量为x=k1p1+k2p2(k1,k2不全为零 ) ; 对应3=5, A-5E=4222422240001101013231xxxx, 基础解系为p3=(1,1,1)T,对应 =5的全部特征向量为x=k3p3(k3不为零 ) ; 令P=(p1, p2, p3)=110101111，则有P-1AP=500010001=。第八章二次型题型：选择 1. 练习册：二、 1 解: f=2x1x2,f 的矩阵A=0110, |A-E |=11=( -1)( +1),特征值为1=1, 2=-1, 所以标准形为f=y12-y22, 或f=-y12+y22。填空： 2. 二次型112312323133(,)(,)502141xf x xxxxxxx的矩阵为142401211（类似）1312212312321213233133(,)(,)502842141xf x xxx xxxxxx xx xx xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -