2022年《诱导公式》教案.pdf

1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1通过本节内容的教学，使学生掌握+1)k2(，2角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用. 难点：公式 ( 四) 的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学 .四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习提问：诱导公式（一） ， （二）及（三）的内容公式 ( 一) sin)sin(? 2kcos)cos(?2ktan)tan(? 2k（其中Zk）公式二 : -sinsin(）coscos(）tantan(）公式 ( 三) cos2(cos1)ksin2(sin1)ktan2(tan1)k学生默写温故知新新课讲授公式（四）sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(1、在上一课时的基础上， 可以请学生先讨论探索性的进行讲解， 充分发挥学生学习的潜能， 既有助于激发学习数学的积精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - cos)2sin(cot)2tan(tan)2cot(cot)2tan(tan)2cot(四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为)4(2?其中k的形式。这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到4之间角的三角函数求值问题。极性， 又便于在学生的讲解过程中发现他们理解知识上的不足， 最后再由老师进行纠正和深入讲解。例题讲解归纳小结例 1 求证：)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(kkk证：sincoscossincottansincos左边sincoscossinsincoscossin右边左边 = 右边等式成立例 2的值。求)4(cos)4(cos221)4(cos)4(sin)4(cos)4(2cos2222原式例 3 31)2sin(,1)sin(31sin求，已知以教师适当的分析为主， 学生自练为辅。1、例题 1-3 主要是 对 诱 导 公 式（一） 和（四） 的直接运用，检验学生是否已正确掌握，既是检测， 又是下一步教学的辅助。2、例 2 是一道综合性较强的题目，既有对诱导公式的灵活应用， 又有POPM M精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 解：)(221)sin(Zkk从而31sin)4sin()22(2sin)2sin(kk例 4 )(sin,17cos)(cosxfxxf求若解：)90(17cos)90cos()(sinxxfxfcos(4 3609017 )cos(9017 )sin17xxxooo四、课堂练习：1计算： sin315sin( 480 )+cos( 330 ) 解：原式= sin(36045 )+sin(360 +120 )+cos( 360 +30 )= sin45 +sin60 +cos30 =2232已知的值。，求)65cos(33)6cos(解：33)6cos()65(cos)65cos(3求证：Zkkkkk, 1) 1cos()1sin()cos()cos(证：若 k 是偶数，即k = 2 n (n Z) 则：1)cos(sincossin)(2cos)(2sin)2cos()2cos(nnnn左边若 k 是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则：与函数知识的结合， 意在使学生建立知识之间的综合练习。3、课堂练习仍然紧紧围绕本节的重点内容设置， 因此， 主要以学生自练为主，适当可以小组为单位进行互查，对于习题的解答过程中反映出来的错误， 及时给予纠正，同时，对解答步骤也必须给予规范。4、作业的布置照顾到了不同层次学生的需求， 既有对基础知识的巩固反馈，又有对前面所学知识的综合练习。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1cossin)cos(sin)1(2cos)1(2sin)(2cos)(2cosnnnn左边原式成立4 已 知 方 程sin(3 ) = 2cos(4 ) ， 求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(的值。解：sin(3 ) = 2cos(4 )sin(3) = 2cos(4) sin() = 2cos()sin= 2cos 且cos 0 43cos4cos3cos2cos2cos5cos2sincos2cos5sin原式5已知的值。求)cos(1,cos|)cos(|,)tan(2a解：由题设：0cos,cos|cos|,0tan2即a由此：当a 0 时， tan 0, cos 0, 为第二象限角，421tan1seccos1a原式当 a = 0 时， tan = 0, = k , cos = 1，0coscos = 1 , )0(11cos14aa原式综上所述：411cos()a6若关于 x 的方程 2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a 的取值范围。解：原方程变形为：2cos2x sinx + a = 0 即 2 2sin2x sinx + a = 0 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 817)41(sin22sinsin222xxxa 1sinx1 81741sinminax时，当；11sinmaxax时，当a 的取值范围是 1,817 五、小结应用诱导公式化简三角函数的一般步骤： 1 用“”公式化为正角的三角函数；2 用“2k + ”公式化为 0，2 角的三角函数；3 用“ ”或“ 2”公式化为锐角的三角函数六、课后作业：习题及补充练习七、板书设计5.3.2 同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标 】1通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法2在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明3加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6终边相同角的集合如何表示？sin与6sin具有怎样的数量关系？与终边相同角的集合如何表示？sin与sin具有怎样的数量关系？,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等sin(k 360 )=sin ，cos(k 360 )=cos，tan(k 360 )=tan ，cot(k 360 )=cot (kZ) 试求出 sin 2016 的值由公式一： sin 2016 =sin(5 360 216 )sin 216 问题二：如何求出进一步sin 216 的值诱导公式二：同名函数关系；符号规律：右边符号与180 角所在象限 (第三象限 )角的原三角函数值的符号相同sin(180 )= sin ， cos(180 )= cos ，tan(180 )=tan ， cot(180 )=cot 诱导公式三：同名函数关系；符号规律是：右边符号与所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同sin() sin ，cos()cos ，tan() tan ， cot()cot 诱导公式四：sin(180)sino；cos(180)cosot sin(180)sino；cos(180)coso（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。（2）启发学生讨论：能否根据诱公式一、二、三推导出它们的关系。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 推导过程 sin(180)sin180()sin()sinoo；cos(180)cos180()cos()cosoo；sin(360)sin360()sin()sinoo；cos(360)cos360()cos()cosoo 结论 诱导公式四：诱导公式五：sin(360)sino；cos(360)coso说明： 公式二中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特点：函数名不变，符号看象限；五组公式可概括如下：360 (),180,360kkZooo的三角函数值， 等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。说明：（1）要化的角的形式为180ko（k为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。其化简方向仍为： “负化正，大化小，化到锐角为终了”。【公式应用】【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，解答题，易，计算能力【题目】求下列三角函数值： （1）11sin6； （2）17sin()3【关键收索字】诱导公式求值【解答】解： （1）111sinsin(2)sin()sin66662；（2）173sin()sin( 6)sin3332【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】化简：sin(180)sin()tan(360)tan(180 )cos()cos(180)oooo；【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】原式sinsintantan1tancoscostan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【课堂反馈】【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】计算sin120cos330sin( 690 )cos(660 )tan675cot 765oooooo【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】原式sin(18060 ) cos(36030 )sin(720690 )cos(720660 )ooooooootan(675720)cot(765720)oooosin 60 cos30sin 30 cos60tan( 45 )cot 45oooooo3311tan4512222o3111144【课堂小结】1、诱导公式二、三可由单位圆中的三角函数线来导出，即寻求180 （或 ）与 的同名三角函数值之间的关系，公式四、五可由公式一、二、三推导. 2、五组诱导公式的形式及记忆口诀“函数名不变，符号看象限”； 3、求任意角的三角函数值的一般步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：【作业布置】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】已知：tan3，求2cos()3sin()4cos()sin(2)的值。【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】tan3，原式2cos3sin23tan74cossin4tan【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】已知：1tan()2，求sin(7 )cos(5 )的值。【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】1tan()tan2，原式222sincostan2sincossincos1tan5【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】已知3sin5，且是第四象限角，求tan cos(3)sin(5)的值。【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】tancos(3)sin(5)tancos()sin()tan( cossin)tansintancossin(tan1)由已知得：43cos,tan54，原式2120【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，选择题，中，计算能力【题目】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 设的值为（）ABC1D1 【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】答案： A 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，解答题，易，计算能力【题目】求下列三角函数值：计算【关键收索字】诱导公式求值【解答】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，证明题，中，计算能力分析问题能力【题目】已知 A、B、C 为ABC的三个内角，求证：（1）cos（2ABC）=cosA；（2）【关键收索字】诱导公式化简证明【解答】 A、B、C 是ABC的三个内角，ABC= .（1）cos（2A BC）=cos（ A）=cosA；（2）【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，证明题，难，分析问题探究问题能力【题目】已知函数 f(x)=asin(x)bcos(x)，其中 a，b， ，都是非零实数， 且满足 f(1997)=1，则 f(1998)=（）A 1B0C1D2 【关键收索字】诱导公式化简【解答】答案： C f(1997)=asin(1997) bcos(1997 )= asin bcos ，f(1998)=asin(1998)bcos(1998 )=asin bcos ，两式相加，有f(1997)f(1998)=0， f(1998)=1，故选 C. 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，证明题，中，分析问题探究问题能力精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【题目】若，则 的取值范围是 _. 【关键收索字】诱导公式化简，取值范围分析：采取逆向思维的方法，先用诱导公式和同角基本关系式将式子化简，再对比左右两边，得出 的取值范围 . 解答：原式变形为【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】化简，【关键收索字】诱导公式化简，分类讨论分析：为能应用诱导公式，需对整数n的奇偶性进行讨论. 解答： 当 n 为偶数时，设n=2k(kZ),原式 =；当 n 为奇数时，设n=2k1（kZ），原式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 故原式 =2tan.【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】化简（1）tan1tan2tan3 tan88tan89（2）2sin221 cos221 sin417 sin217 cos217 cos217【关键收索字】诱导公式化简，分析： 对 90 的偶数倍的诱导公式应能熟练掌握和运用，而对于90 的奇数倍的诱导公式若能加以探索和掌握，则更能在解题时得心应手. 解答： （1） tan=cot(90 )，且 tancot =1原式=tan1tan2tan3 tan44tan45cot46 cot1 =11tan45=tan45=1（2）原式=2(sin221 cos221 )sin217 (sin217 cos217 )cos217=21sin217 cos217 =2 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】求 sin( 1200 )cos1290cos( 1020 )sin(1050 )oooo的值【关键收索字】诱导公式化简，角的置换分析： 利用诱导公式进行“导角”解： 原式sin1200 cos1290cos1020 sin1050oooo精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - sin(3360120 )cos(3360210 )cos(2360300 )sin(2360330 )oooooooosin120 cos210cos300 sin330oooosin(18060 )cos(18030 )cos(36060 )sin(36030 )oooooooosin 60 cos30cos60 sin30oooo331112222【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】已知31sin(3)lg10，求cos()cos(2 )cos cos()1coscos()cos(2 )的值【关键收索字】诱导公式化简，角的置换分析： 通过已知条件产生的一个三角函数值是解题的关键，因此，要用诱导公式进行“导值”解： 由 sin(3)sin，311lg310，得1sin3原式22coscos11218cos (cos1)coscos1cos1cossin【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，证明，分析问题探究问题能力【题目】设8tan7a，求证：1513sin3cos37720221sincos77aa【关键收索字】诱导公式化简，角的置换用诱导公式从8tan+7中产生tan的值是不可能的，因此，欲完成论证，必须将已知中的角87进行整体处理证明： 设87，则tana左边sin()3cos(3 )sin3costan33sin(4)cos(2)sincostan11aa右边故结论成立【题目资源】【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，解答题，易，计算能力【题目】求下列三角函数值： （1）11sin6； （2）17sin()3【关键收索字】诱导公式求值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【解答】解： （1）111sinsin(2)sin()sin66662；（2）173sin()sin( 6)sin3332【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】化简：sin(180)sin()tan(360)tan(180 )cos()cos(180)oooo；【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】原式sinsintantan1tancoscostan【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】计算sin120cos330sin( 690 )cos(660 )tan675cot 765oooooo【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】原式sin(18060 ) cos(36030 )sin(720690 )cos(720660 )ooooooootan(675720)cot(765720)oooosin 60 cos30sin 30 cos60tan( 45 )cot 45oooooo3311tan4512222o311 1144【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】已知：tan3，求2cos()3sin()4cos()sin(2)的值。【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】tan3，原式2cos3sin23tan74cossin4tan【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 已知：1tan()2，求sin(7 )cos(5 )的值。【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】1tan()tan2，原式222sincostan2sincossincos1tan5【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】已知3sin5，且是第四象限角，求tan cos(3)sin(5)的值。【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】tancos(3)sin(5)tancos()sin()tan( cossin)tansintancossin(tan1)由已知得：43cos,tan54，原式2120【属性】高一（下） ，同角三角比关系，同角三角比应用，选择题，中，计算能力【题目】设的值为（）ABC1D1 【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】答案： A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，解答题，易，计算能力【题目】求下列三角函数值：计算【关键收索字】诱导公式求值【解答】【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，证明题，中，计算能力分析问题能力【题目】已知 A、B、C 为ABC的三个内角，求证：（1）cos（2ABC）=cosA；（2）【关键收索字】诱导公式化简证明【解答】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - - A、B、C 是ABC的三个内角，ABC= .（1）cos（2A BC）=cos（ A）=cosA；（2）【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，证明题，难，分析问题探究问题能力【题目】已知函数 f(x)=asin(x)bcos(x)，其中 a，b， ，都是非零实数， 且满足 f(1997)=1，则 f(1998)=（）A 1B0C1D2 【关键收索字】诱导公式化简【解答】答案： C f(1997)=asin(1997) bcos(1997 )= asin bcos ，f(1998)=asin(1998)bcos(1998 )=asin bcos ，两式相加，有f(1997)f(1998)=0， f(1998)=1，故选 C. 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，证明题，中，分析问题探究问题能力【题目】若，则 的取值范围是 _. 【关键收索字】诱导公式化简，取值范围【解答】原式变形为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】化简，【关键收索字】诱导公式化简，分类讨论解答： 当 n 为偶数时，设n=2k(kZ),原式 =；当 n 为奇数时，设n=2k1（kZ），原式故原式 =2tan.【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】化简（1）tan1tan2tan3 tan88tan89（2）2sin221 cos221 sin417 sin217 cos217 cos217【关键收索字】诱导公式化简，【解答】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - - （1）tan =cot(90 ) ，且 tancot =1原式=tan1tan2tan3 tan44tan45cot46 cot1 =11tan45=tan45=1（2）原式=2(sin221 cos221 )sin217 (sin217 cos217 )cos217=21sin217 cos217 =2 【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】求 sin( 1200 )cos1290cos( 1020 )sin(1050 )oooo的值【关键收索字】诱导公式化简，角的置换【解答】原式sin1200 cos1290cos1020 sin1050oooosin(3360120 )cos(3360210 )cos(2360300 )sin(2360330 )oooooooosin120 cos210cos300 sin330oooosin(18060 )cos(18030 )cos(36060 )sin(36030 )oooooooosin 60 cos30cos60 sin30oooo331112222【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】已知31sin(3)lg10，求cos()cos(2 )cos cos()1coscos()cos(2 )的值【关键收索字】诱导公式化简，角的置换【解答】由 sin(3)sin，311lg310，得1sin3原式22coscos11218cos (cos1)coscos1cos1cossin【属性】高一（下） ，同角三角比关系，诱导公式，计算题，证明，分析问题探究问题能力【题目】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 设8tan7a，求证：1513sin3cos37720221sincos77aa【关键收索字】诱导公式化简，角的置换证明： 设87，则tana左边sin()3cos(3 )sin3costan33sin(4)cos(2)sincostan11aa右边故结论成立精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - - -