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2022-4-281数学分析定积分应用 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法一、问题的提出一、问题的提出 如何应用定积分解决实际问题如何应用定积分解决实际问题_微元法：微元法：回顾回顾 曲边梯形面积曲边梯形面积 A 的计算过程：的计算过程： badxxf)(把区间把区间a, b分成分成n个小区间个小区间, 有有 niiAA1总量总量A 对于对于a, b具有区间可加性具有区间可加性,计算计算 Ai的近似值的近似值iiixfA )( )(1iiixx 得得A的的近似值近似值 niiixfA1)( baniiidxxfxfA)( )(lim10 iixf )( iiixfA )( (1) 分割分割.(2) 近似近似.(3) 求和求和.(4) 求极限求极限.n个部分量个部分量Ai 的和的和.ab0 x1xiixx 11nxnx0 xyy = f (x)12in即即A可以分割成可以分割成 把上述步骤把上述步骤略去下标略去下标，改写为：，改写为：(1) 分割分割.(2) 近似近似.(3) 求和求和.(4) 求极限求极限.计算计算 A的近似值的近似值dxxfA )(xy0ab xfy x x+dx baxxfAd)( 则则称称为为面面积积元元素素并并记记 )( dxxfdA 这种方法通常称为这种方法通常称为微元法微元法或或元素法元素法面积微元面积微元用用 A表示表示x, x+dx上的小上的小曲边梯形的面积，曲边梯形的面积，取微元取微元 任取一个具有任取一个具有代表性代表性的小区间的小区间 x, x+dx (区间微元区间微元)，1. 若总量若总量U非均匀分布在变量非均匀分布在变量 x的某个区间的某个区间a, b上上;2. 总量总量U有可加性有可加性. (1) 求微元求微元 局部近似得局部近似得 dU = f (x)dx(2) 求全量求全量 微元积分得微元积分得 badxxfU)(应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等可用微元法的条件可用微元法的条件步骤(1) 整体问题转化为局部问题；整体问题转化为局部问题；(2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲；在局部范围内，以常代变，以直代曲；微元法的实质微元法的实质(3) 取极限取极限 (定积分定积分) 由近似值变为精确值。由近似值变为精确值。例例1.写出长为写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，的非均匀细直棒质量的积分表达式，任一点的线密度是长度的函数。任一点的线密度是长度的函数。解解:建立坐标如图建立坐标如图,oxlx x+dx设任意点设任意点x的密度为的密度为)(x step1.?, dMdxxx 则则取微元取微元step2.dxx)l 0(M 质量 下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。一些应用。微元法微元法 (Element Method)dxx)( 变变量量！关关键键)(x Cx )(第二节 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、体积二、体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长平面图形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形二、极坐标系情形二、极坐标系情形三、小结三、小结 思考题思考题xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积dxxfdA)( 由由y=f1(x)和和y=f2(x)围成的面积围成的面积:dxxfxfdA)()(12 一、直角坐标系情形 badxxfA)(xxxx xx badxxfxfA)()(12例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解)1 , 1(),0 ,0(3) 面积元素面积元素 dA2) 选选x为积分变量为积分变量,1 , 0 x则则dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解方程组解方程组 22xyxy即这两个抛物线的交点为：即这两个抛物线的交点为：x x+dxdxyy)(下下上上 1) 求出两抛物线的交点求出两抛物线的交点.1, 0 xx)1 , 1(dxxx)(2 1讨论：讨论：由左右两条曲线由左右两条曲线x j j左左(y)与与x j j右右(y)及上下两条直线及上下两条直线y d与与y c所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？如何表示为定积分？提示：提示： 面积面积为为面积元素面积元素dcdyyyS)()(左右jj dxxfxfSba)()(下上 dcdyyyS)()(左右jj dA=j j右右(y) j j左左(y)dy, ,选积分变量选积分变量,解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y dA.18)24(422 dyyyAxy22 4 xyxy22 4 xyy+dyydyyy 242如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx j j曲边梯形的面积曲边梯形的面积 babaydxdxxfA)(.)()(21 j j ttdttt baydxA解解椭圆的椭圆的参数方程参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab j j( ) +d .dA.r =j j( )o.r d 二、极坐标系情形曲边扇形是由曲曲边扇形是由曲线线r j j( )及射线及射线 , , 所所围成围成的图形的图形 图形是曲边图形是曲边扇扇( (梯梯) )形形如何化不规则如何化不规则为规则为规则以圆扇形面积近以圆扇形面积近似小曲边扇形的似小曲边扇形的面积，得到面积面积，得到面积元素：元素： j j( ) +d .dA.r =j j( )o.r d , 积积分分变变量量面积元素面积元素以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素： j jd)(21d2 A曲边扇形的面积曲边扇形的面积 j jd)(212A 例例4: 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 r = a (a 0)上相应于上相应于 从从0 到到 2 的一段弧与极轴所围成的一段弧与极轴所围成的图形的面积的图形的面积.ox r = a 2 a解解: 取极角取极角 为积分变量为积分变量, 变化区间为变化区间为0, 2 , 取小区间取小区间 , + d ，则，则面积元素面积元素 dadA2)(21 20222daA 203232 a3234 a j jd)(212A解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 02)2cos21cos223(da心形线也称圆外旋轮线心形线也称圆外旋轮线2a积。积。所围如图所示图形的面所围如图所示图形的面求求例例 2cossin262rroxy6 oxy 2cossin22求交点求交点6 ddS21sin221 d积。积。所围如图所示图形的面所围如图所示图形的面求求例例 2cossin262rr ddS21sin ddS2cos212 ddS2cos21sin212221236 06 4 6 oxy d6 求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积有助于简化积分运算）分运算）三、小结立体体积 一、旋转体体积一、旋转体体积 二、已知截面面积的立体体积二、已知截面面积的立体体积 三、小结三、小结 思考题思考题 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积如何计算黄瓜的体积？如何计算黄瓜的体积？xdxx ? dV)(xfy xy0旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( abdxxf2)( yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OPdxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xhry 直线直线 方程为方程为OPxhry a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax dxxaVaa33232 .105323a 星形线也称：圆内旋轮线星形线也称：圆内旋轮线xyo323232ayx 33sincosayaxa a0 2 或或.P .一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)转转体体体体积积。轴轴旋旋转转所所得得旋旋轴轴所所围围图图形形分分别别绕绕与与直直线线求求曲曲线线段段例例yxxyxxy,1, 0,1 , 0,32 轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转体体体体积积绕绕 x)1(dxxdxydVx42 .5410 dxx轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转体体体体积积绕绕 y)2()()(V121旋旋转转体体圆圆柱柱方方法法VV .211102 ydyVxVydydyxdV 22轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转体体体体积积绕绕 y)2(切切片片法法积积分分关关于于方方法法y2dyydyxdVy)1()1(2 dyyVy)1(10 xdxx )(xfy xy0ab)()()(x xf fx xx xf fx xx xV Vy y22 空空心心圆圆柱柱法法积积分分关关于于方方法法x3dxx32 .22310 dxxVydxxxfdVy)(2 dxxxfxydxdVy)(22 2)()(2xxfxxxfVy 12222 byax轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转体体体体积积绕绕 x)1(dxxaabdxydVx)(22222 dxxaabVax)(222022 .342abVx 旋旋转转所所得得旋旋转转体体体体积积绕绕cy )3(dxcxaabcxaabdVc 222222 dxxaabcdVc224 .2242220abcdxxaabcVac 例例4 求椭圆求椭圆 ，分别绕，分别绕 X轴、轴、Y轴、直线轴、直线 y=-c 旋转一周所得旋转体的体积。旋转一周所得旋转体的体积。.2abc 解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积 xV 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xydxxya)(220 绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx tttax0)sin(oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 20,)cos1()sin(ttaxttax 2)sin(tttax绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 如果一个立体不是旋转体，但却如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算用定积分来计算.二、已知截面面积的立体的体积xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体 baxxAVd)(.aV平行截面面积为已知的立体的体积boyRxxy22xR RRxxRd)tan( tan R RRxxAVd)(RR. )tan( xR.y tan (x, y),截面积截面积A(x).例例5：半径为：半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。. RxxR022d)tan(21 2 oyRxRR.半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。oyRxRR ABCD BC tan yRyDC222yR . RyyRy022d tan2 tan R ?)d(yySV.截面积截面积S(y) (x, y)= 2x= ytan .S(y).半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。 RyySV)d( hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )(. RxxRh022d 2hRdcos22022 hR . . .Ry.例例6：求以半径为：求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。y旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结平面曲线的弧长 一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形二、直角坐标情形 三、参数方程情形三、参数方程情形 四、极坐标情形四、极坐标情形 五、小结五、小结xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长此折线的长|11 niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.一、平面曲线弧长的概念 设设曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxdxx 取取积积分分变变量量为为x，在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 二、直角坐标情形解解所求弧长为所求弧长为dxys 48021sldxx 4802cos1解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab abdxysba 21曲线弧为曲线弧为,)()( tytx j j)( t其其中中)(),(tt j j在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt j j dttt)()(22 j j 弧长弧长.)()(22dttts j j三、参数方程情形解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyxs 20224 dttta 20cossin34.6a 第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长dttts j j)()(22a aoyx曲线弧为曲线弧为)( )( rr sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 四、极坐标情形解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 drrs )()(22分部积分部积分法分法)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 drrs )()(22直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下五、五、求弧长的公式求弧长的公式小结小结：dxysba 21 drrs )()(22dttts j j)()(22xoyab)(xfy )()(tytx j j第三节 定积分的物理应用一、变力、变距离作功一、变力、变距离作功二、水压力二、水压力三、引力三、引力四、小结四、小结题题一一、变变力力沿沿直直线线做做功功问问前前提提：设物体设物体F 在恒力在恒力F的作用下，的作用下，, ba运行到点运行到点从点从点设夹角设夹角, 为为 则所作的功为则所作的功为 WF)(ab cos 问问题题：F 若若为变力？为变力？baox dxx )(xF x用元素法用元素法.,功功微微元元里里，近近似似于于恒恒力力做做在在dxxx dW)(xF cos dx 1例例q 带带电荷量电荷量的点电荷，的点电荷， q 对周围对周围的电荷的电荷产产生生作作用用力力，与其与其处处距离距离 a 有一个有一个单位正电荷，单位正电荷，将其将其推至推至处，处，距离距离 b 求所作的功求所作的功解解ro r,ba a br 1 drr dWk2rqdr W badW bak2rqdrbar 1kq bakq11建立坐标轴如上图所示建立坐标轴如上图所示,取取r为为积积分分变变量量，提示：提示：根据物理学根据物理学, , 在电量为在电量为+q的点电荷所产生的电场中的点电荷所产生的电场中, , 距离点电荷距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为：处的单位正电荷所受到的电场力的大小为： 2rqkF (k 是常数) 问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下，从的作用下，从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点，点，求变力所做的功。求变力所做的功。用元素法用元素法1）在）在a,b上考虑小区间上考虑小区间x, x+ x，在此小区间上，在此小区间上 W dW=F(x)dx 2）将）将dW从从a到到b求定积分，就得到所求的功求定积分，就得到所求的功 babadxxFdwW)(题题一一、变变力力沿沿直直线线做做功功问问baoxF(x) dxx xF(x)2例例设设气气缸缸 底面积底面积, S为为S恒恒温温下下，将活塞将活塞a 从从处，处，推至推至 b a b求气体求气体压力压力所作的功所作的功解解建建立立坐坐标标系系如如图图，xo,ba x dxx dW)(xF dxSp dx 恒恒温温下下，kpV Vkp Vk SdxSxk W badW badxxkk baxlnabkln dxxk SdxF 由物理学知道由物理学知道, , 一定量的气体在等温条件下一定量的气体在等温条件下, , 压强压强p与体与体积积V的乘积是常数的乘积是常数k , , 即即 pVk 或Vkp ,x活活塞塞位位置置为为设设 解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为积分变量，为积分变量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为gdx 23功元素为功元素为,9dxxgdW dxxgW 50950229 xg34622225 g(kN m)kJ把这一薄层水抽出水池所把这一薄层水抽出水池所作的功等于作的功等于克服这一薄层克服这一薄层重量所作的功重量所作的功例例4 修建一座大桥墩时，先要下围囹，并且抽尽其修建一座大桥墩时，先要下围囹，并且抽尽其中的水以便施工，已知围囹的直径为中的水以便施工，已知围囹的直径为20m，水深，水深27m，围囹高出水面，围囹高出水面3m,求抽尽水所作的功。求抽尽水所作的功。xxdx273200取取x为积分变量，为积分变量，?, x取取任任一一小小区区间间,dxxx ,30, 3 x分析分析（如下图）建立坐标系：（如下图）建立坐标系： 因这一薄层水抽出围囹所作的功因这一薄层水抽出围囹所作的功近似于克服这一薄层重量所作的近似于克服这一薄层重量所作的功，所以功元素为：功，所以功元素为：(kJ)1037. 1298098063032303 xdxxW 解解建立坐标系如图建立坐标系如图取取x为积分变量，为积分变量，30, 3 x取取任任一一小小区区间间,dxxx ,这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx2108 . 9 ,980dxxdW 于是在于是在3,30上，抽尽水所作的功为：上，抽尽水所作的功为：xxdx273200 xxdx27320027, 0 x,)3(980dxxdW 27, 0(kJ)1037. 12) 3(980) 3(98062702270 xdxxW O在水面在水面的的功功？米米高高的的水水箱箱中中，求求所所作作抽抽到到上上方方，若若将将容容器器中中的的水水一一圆圆锥锥形形容容器器尺尺寸寸如如图图例例5156 yxm6)0 , 6(dxxgydW)5(2 m5Adxxxg)5()6(36252 m5解：解：建立坐标系如图建立坐标系如图oxy)5 , 0(B:直直线线方方程程AB 602)5()6(3625dxxxgW xdxx 需计算薄片的宽度需计算薄片的宽度)6(65xy 二、水压力二、水压力水水的的即即比重比重, 为为深度深度处处h的压强为的压强为hp 问题：水的压力是如何产生的？问题：水的压力是如何产生的？水有重量，所以水也会对与其接触的物体产生压力，水有重量，所以水也会对与其接触的物体产生压力，水的压力来自水中的四面八方。水的压力来自水中的四面八方。 水压的强度和水的深度有关，愈深則水的压强愈大。水压的强度和水的深度有关，愈深則水的压强愈大。 问题：水库的堤坝为什么上边窄，下边宽？问题：水库的堤坝为什么上边窄，下边宽？二、水压力二、水压力理论根据：理论根据： hph处处的的压压强强为为：，在在深深度度为为水水的的比比重重为为 压力压力压强压强面积面积 如果有一面积为如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，处，那么，平板一侧所受的水压力为：那么，平板一侧所受的水压力为： P pA 如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同，不同点处压强深不同，不同点处压强 p不相等，所以平板所受水不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算的压力就不能用上述方法计算xdxx xyoab)(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 的圆柱形的圆柱形R 半径为半径为例例4水桶，水桶， 内装内装半桶水，半桶水，水的水的比重比重, 为为将其放倒，将其放倒， 求其求其一个一个桶底桶底所受压力所受压力解解如如图图，xo建建坐坐标标系系设水深设水深, x为为, 0Rx xdxx 窄条窄条面积面积22xR 2dx dP压力压力元素元素 x22xR 2dx压力压力 P R02 x22xR dx)(22022xRdxRR 332R dxy2yxoa2a2aaa 2,5其直边长为其直边长为水中水中将直角三角形垂直浸入将直角三角形垂直浸入例例,2a距水面距水面长边在上平行于水面，长边在上平行于水面，求其所受侧压力？求其所受侧压力？解解 如如图图，建建坐坐标标系系x窄条面积窄条面积 dP )2(axa2x2 (dx) P a0)2(ax a2x2 (dx)337a dxx dxxadxy)22 （y)0,(aA)2,0(aB,2212xayayax :直直线线方方程程为为AB例例6 6.,4,20,3050,静静压压力力求求闸闸门门一一侧侧所所受受的的水水的的米米如如果果闸闸门门顶顶部部高高出出水水面面米米高高为为米米米米和和梯梯形形的的上上下下底底分分别别为为如如图图所所示示一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的的方方程程为为则则梯梯形形的的腰腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxxP 16023)233(xx )25623409631( 67.4522 41043. 4 )(kN）米米牛牛顿顿33/108 . 9( 三、引力三、引力相关知识：相关知识：rmm，距离为，距离为、设两质点质量分别为设两质点质量分别为21引力引力221rmmGF 其中其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的于细棒上各点与该质点的距离距离是变化的，且各点对是变化的，且各点对该质点的引力的该质点的引力的方向方向也是变化的，就不能用上述公也是变化的，就不能用上述公式来计算式来计算更重要的是向量不能求和相加！更重要的是向量不能求和相加！F的的引引力力。，求求该该棒棒对对质质点点的的质质点点有有一一个个质质量量为为处处其其延延长长线线上上距距离离一一端端线线密密度度为为设设匀匀质质细细棒棒长长为为例例M MM Mmal,6 M解解x0如如图图，建建坐坐标标系系lal xdxx , 0lx 小段质量为小段质量为,dx r 距离距离xal GdF 2)(xal dxm lxaldxGmF02)(0l).11(alaGm 这是引力这是引力dF的方向不随小区间的方向不随小区间x, x+dx的改变而变化的改变而变化的情形。的情形。)(xalGm ,dy 7例例在其中垂线上，距离在其中垂线上，距离线密度为线密度为设匀质细棒长为设匀质细棒长为, l的引力？的引力？的质点，求该棒对质点的质点，求该棒对质点处，有一质量为处，有一质量为直线直线ma 解解如如图图，2l2l xyoMa建建坐坐标标系系 y 2,2llydyy 小段小段质量为质量为 r 距离距离r22ya dFk22ya m dy F 22llk22ya mdy cos22ya a22ya a 2242laalkm 由对称性知由对称性知,引力在铅直方向分力引力在铅直方向分力. 0 yFx 202222lyaayakm 这是引力这是引力dF的方向的方向随随小区间小区间x, x+dx的改变而变化的情的改变而变化的情形形, 应将引力应将引力dF分解为分解为dFx和和dFy后再分别用定积分计算后再分别用定积分计算xj j2 尤其是如何在具体问题中取尤其是如何在具体问题中取“微元微元”微功、微功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容真正地把微压力、微引力等。这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满足于套用公式握公式是非常必要的，相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解，那么遇到一些稍有解决一些简单问题而不求甚解，那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束手无策，不知如何下手。灵活性的问题，便可能束手无策，不知如何下手。 关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程。公式的结果外，还须了解其推导过程。解解设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,210kkxdx hhdxxfw0)(例例：用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相厘米，若每次锤击所作的功相等，问第等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n2021khkxdxh ,22khWh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n,21kW 利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二、二、 一物体按规律一物体按规律3tcx 作直线运动，媒质的阻力与作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由速度的平方成正比，计算物体由0 x移至移至ax 时，克服媒质阻力所作的功时，克服媒质阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610 米和米和米，高为米，高为20米，较长的底边与水面相齐米，较长的底边与水面相齐. .计算闸门计算闸门的一侧所受的水压力的一侧所受的水压力 . .练练 习习 题题七、七、 油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流速越小，实验测定，某处的流与与速速 v流处到管子流处到管子中心的距中心的距之间之间离离 r有关系式有关系式)(22rakv , ,其中其中为比例为比例k常数，常数，为油管为油管a半径半径. .求通过油管的流求通过油管的流量量 （注： 当流速为常量时， 流量（注： 当流速为常量时， 流量 = = 流速流速 截面积）截面积） . .