2022年一元一次不等式组的应用典型例题.pdf

一元一次不等式组的应用典型例题例题 1车站有待运的甲种货物1530 吨，乙种货物 1150 吨，原计划用50节BA,两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货箱的运费为万元，每节 B型货箱的运费为万元， 甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨可装满一节 A型货箱，甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨可装满一节 B型货箱，按此要求安排BA,两种货箱的节数， 共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？例题 2幼儿园大班分苹果， 若每人分 3 个，则余 8 个，若前面每人分 5 个，则最后一个小朋友得到的苹果数不足3 个，求有多少个小朋友和多少个苹果？例题 3某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的10 名学生，已知笔记本的单价是元，钢笔的单价是8 元，且购买奖品的金额不超过70元问至多能买几支钢笔？例题 4某宾馆底楼客房比二楼少5 间，某旅游团有48 人，若全安排在底楼，每间 4 人，房间不够，每间 5 人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间3 人，房间不够，每间4 人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？例题 5幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人3 件，那么还余59件，如果每人分 5 件，那么最后一个小朋友少几件，来这个幼儿园有多少玩具？多少个小朋友？例题 6某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料 290kg，计划利用这两种原料生产 A、B两种产品共 50 件已知生产一件 A种产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg、乙种原料 10kg（1）设生产 x 件 A种产品，写出 x 应满足的不等式组；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （2）如果 x 是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计例题 7 一条铁路线上EDCBA,各站之间的路程如图所示， 单位为千米一列火车 7：30 从 A站开出，向 E站行驶，行驶速度为80km/h，每站停车时间约4min，问这列火车何时行驶在D站与 E站之间（不包括 D站、E站）的铁路线上例题 8 某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息：（1）该厂去年已备有这种自行车的车轮10000 只，车轮车间今年平均每月可生产车轮 1500 只，每辆自行车需装配2 只轮；（2）该厂装配车间（自行车生产最后一道工序的生产车间）每月至少可装配这种自行车 1000 辆，但不超过 1200 辆；（3）今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共14500辆的订货单；（4）这种自行车出厂销售单价为500元/ 辆设该厂今年这种自行车的销售金额为a万元，请你根据上述信息，判断a的取值范围例题 9某园林的门票每张 10 元，一次使用 考虑人们的不同需求， 也为了吸引更多的游客， 该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种购买个人年票的售票方法 （个人年票从购买日起， 可供持票者使用一年）年票分CBA,三类：A类年票每张 120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B类年票每张 60 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2 元；C类年票每张 40 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3 元（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80 元花在该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A在年票比较合算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 例题 10 有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数他们又参加了第五次测验， 测验后他们的平均成绩都提高到90 分 问在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？（满分100 分，得分都是整数）例题 11大小盒子共装球99个，每个大盒装 12个，小盒装 5 个， 恰好装完，盒子个数大于 10，问：大小盒子各多少个？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 参考答案例题 1 分析这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。解答设需要 A型车厢 x 节，由题意得1150)50(35151530)50(2535xxxx解得3028x，因为 x 为整数，所以 x 取 28，29，30，即有 3 种方案：（1）A型 28节，B型 22 节； （2）A型 29 节，B型 21 节； （3）A型 30节，B型 20 节，由题意知，运费403 .0)50(8.05 .0 xxxy，当30 x时，y 取最小值，即 A型车厢 20 节，B型车厢 20节时运费最少例题 2分析 设有x个小朋友，则苹果数为83x如果每人分 5 个，因为最后一个小朋友的苹果数不足3 个，所以83x应在)1(5 x和3)1(5 x之间，可得不等式组解答设幼儿园大班共有x个小朋友，根据题意得）（）（2. 3)1(5831, 83)1(5xxxx由（1）得213,132, 8355xxxx；由（2）得5,102, 35583xxxx所以不等式组的解集为2135x又因为x为整数，故6x所以，有 6 个小朋友，共有苹果36826（个） 例题 3分析因为每人只获 1 件奖品，故笔记本和钢笔的数量和是10，总金额不超过 70 元根据题意，可列出下列由方程和不等式组成的式子精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解答设购买x本笔记本， y 支钢笔，依题意可得）（）（2.7085.31,10yxyx由（1）得yx10， （3）将（3）代入（ 2）得708)10(5 .3yy，解得970y又 y是正整数，所以 y 的最大值是 7，即至多能买 7 支钢笔例题 4解答设底楼有x间客房，则二楼有 (x+5)间客房，根据题意，得484485xx，9x12依题意，又可得48)5(448)5( 3xx， 7 x11故x=10答：底楼有 10 间客房说明本题是列不等式解应用题， 在确定设未知数后， 关键是找出不等式关系和列出不等式，为此须认真斟酌关键词语如“不够”和“没住满”的含义例题 5分析此问题中有两个未知数，且没有等量关系，有不等关系，因此可考虑用不等式组来解解答设小朋友 x 人，则有)2(5593) 1() 1(5593xxxx解（1） ，得32x，解（2） ，得5.29x， .325 .29x x 为整数， .31,30 x此时.152,149593x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 答：幼儿园有小朋友30 人，玩具 149件；幼儿园有小朋友31 人，玩具 152件说明利用一元一次不等式组解应用题的步骤与列一元二次方程组解应用题大体相同， 不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式， 前者寻求的是不等关系，列出的是不等式， 并且解不等式组所得结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案例题 6解答（1）根据题意， x 满足不等式组：290)50(103360)50(49xxxx（2）解不等式组，得3230 x因为 x 是整数，所以32,31,30 x因此生产方案有三种：生产A种产品 30 件、B种产品 20件；或生产 A种产品 31 件、B种产品 19 件；或生产 A种产品 32 件、B种产品 18 件例题 7分析如果设这列火车行驶至DE这段铁路线上任意一处（不包括ED,）所经过的时间为x，那么就能用x的一次式表示列车所经过的路程根据这个路程应大于（ 805070）km ，且小于（ 80507060）km ，就可列出不等式组，解出x的取值范围再根据列车出发的时间，就能求出列车何时行驶在DE这段铁路线上解答设这列火车行驶至DE这段铁路线上任意一处（不包括ED,）所经过的时间为x，则相应所经过的路程为)2. 0(80 xkm 依题意，得）（）（2).705080()2.0(801),60705080()2.0(80 xx解不等式（ 1） ，得45.3x解不等式（ 2） ，得7.2x不等式组的解集是45. 37. 2x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （时），（时）答：这列火车行驶在DE这段铁路线上的时间是10：12至 10：57说明列不等式组时，要注意单位的统一，否则会影响表达式的正确性例题 8 解答（1）去年备有和今年生产的车轮共有100015001228000（只） ，共可装配自行车的辆数为28000214000（辆） （2）该厂全年生产自行车的辆数范围是：121000全年生产自行车辆数121200，即12000全年生产自行车辆数14400（3）今年订购自行车14500 辆，可知供不应求，以最快生产速度也不能满足社会要求，得扩大生产能力（4）由上分析可知5001400050012000a，600（万元）700a（万元） 说明本例中14400 辆是可以生产出，但实际上原料供应只能保证生产14000辆，故计算a的范围时只能用 14000辆参与计算例题 9分析讨论某次经济行为是否合算，即要看这种方式与其他方式比较是否花费最少，故本题（2）要转化为用不等式组的知识求解解答（1）因为12080，所以不可能选A类年票若选 B类年票，则1026080（次） ；若选 C类年票，则1334080（次） ；若不购买年票，则81080（次） 所以计划用 80 元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多，为13 次（2）设至少超过x次时，购买 A类年票比较合算，则有不等式组精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - ,12010,120340,120260 xxx解得,12,3226,30 xxx其公共解集为30 x所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买 A类年票比较合算说明本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我们， 生活中无处不存在数学的身影，渗透在生活中的一个个细节中例题 10分析此例中的未知量较多（如两学生前四次的平均分数，第五次测验的分数等），且没有足够的等量关系，难以列方程组求解但题中蕴含两个不等关系：平均分低于90 分；满分 100 分，即测验分数不超过100 分于是考虑利用不等式的有关知识求解解答设其中某个学生前4 次的平均分为x分，第 5 次测验的成绩为 y 分，依题意有9054yx，即xy4450由第 5 次测验的成绩高于90 分，而又不大于 100 分，得100445090 x，解得905 .87x，因为x为整数，故88x或 89又已知两个学生平均分数不等，故前4 次的平均分一个为88 分，另一个为89 分，第 5 次测验一个学生的成绩为98 分，另一个的成绩为94分说明利用不等式（组）解应用题，其步骤与列方程（组）解应用题大体相同不同的是，后者探求等量关系，列出的是等式，而前者寻求不等关系，列出的是不等式，并且解不等式（组）得到的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案例题 11分析问题中有两个未知量，只有一个等量关系，另外还有一个附加条件，这是一个求有条件的不定方程整数解的问题，求不定方程整数解的一种方法是观察系数特征，用试验的办法求解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解答设大、小盒分别有x 个、y 个，根据题意得：109512yxyx由知 y 为奇数，且1235812599yyx，x为自然数，).35(12y通过试验可得3y时，7x，但10yx与10yx矛盾，故舍去，当15y时，2x，即.152yx也可以用逐步代换的方法（常规方法）求解如下：由得12358yx，设1235y，则.53225312y再设532，则.2112235再设t21，得12t（t 为整数）逐步回代得. 312,57tytx（t 为整数） 由于x，y均为自然数，即.0312, 057tt .52141t 0t或 1当1t时，3,7 yx，但与10yx矛盾，舍去当1t时，15,2 yx，符合题意说明不定方程组可以通过消元转化为二元一次不定方程求解，如中国古代“百鸡问题”、“孙子定理”、“鸡兔同笼”等，都属于这一类求解问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -