2022年信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析.pdf

信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析实验三连续时间 LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义; 2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用; 3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义; 4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。基本要求 :掌握 LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB描述方法 ,深刻理解LTI系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。二、实验原理及方法1 连续时间 LTI 系统的频率响应所谓 频率特性 ,也称为 频率响应特性 ,简称 频率响应 (Frequency response) ,就是指系统在 正弦信号 激励下的稳态响应随频率 变化的情况 ,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。上图中 x(t) 、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(thtxty,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到: )()()(jHjXjY3、1 或者 : )()()(jXjYjH3、2 )( jH为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即dtethjHtj)()(3、3 连续时间LTI 系统的时域及频域分析图系统LTI)(th)( jH)(ty)( jX)( jY)(tx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析由于 H(j)实际上就是系统单位冲激响应h(t) 的傅里叶变换 , 如果 h(t) 就是收敛的 , 或者说就是 绝对可积 (Absolutly integrabel)的话 , 那么 H(j) 一定存在 , 而且 H(j) 通常就是 复数 ,因此 , 也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时, 更多的就是把它表示成极坐标形式 : )()()(jejHjH 3、4 上式中 ,)j (H称为 幅度频率相应(Magnitude response), 反映信号经过系统之后, 信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(称为 相位特性 (Phase response) , 反映信号经过系统后, 信号各频率分量在相位上发生变换的情况。)( jH与)(都就是频率的函数。对于一个系统, 其频率响应为H(j), 其幅度响应与相位响应分别为)( jH与)(, 如果作用于系统的信号为tjetx0)(, 则其响应信号为tjejHty0)()(0tjjeejH00)(0)()(000)(tjejH 3、5 若输入信号为正弦信号, 即 x(t) = sin(0t), 则系统响应为)(sin(|)(|)sin()()(00000tjHtjHty3、6 可见 , 系统对某一频率分量的影响表现为两个方面, 一就是信号的幅度要被)( jH加权 ,二就是信号的相位要被)(移相。由于)( jH与)(都就是频率的函数 , 所以 , 系统对不同频率的频率分量造成的幅度与相位上的影响就是不同的。2 LTI 系统的群延时从信号频谱的观点瞧,信号就是由无穷多个不同频率的正弦信号的加权与 (Weighted sum) 所组成。正如刚才所述 ,信号经过LTI 系统传输与处理时,系统将会对信号中的所有频率分量造成幅度与相位上的不同影响。从相位上来瞧 ,系统对各个频率分量造成一定的相位移 (Phase shifting) ,相位移实际上就就是延时 (Time delay) 。 群延时 (Group delay) 的概念能够较好地反映系统对不同频率分量造成的延时。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析LTI 系统的群延时定义为: dd)()(3、7群延时的物理意义: 群延时描述的就是信号中某一频率分量经过线性时不变系统传输处理后产生的响应信号在时间上造成的延时的时间。如果系统的相位频率响应特性就是线性的, 则群延时为常数, 也就就是说 , 该系统对于所有的频率分量造成的延时时间都就是一样的, 因而 , 系统不会对信号产生相位失真(Phase distortion) 。 反之 , 若系统的相位频率响应特性不就是线性的, 则该系统对于不同频率的频率分量造成的延时时间就是不同的, 因此 , 当信号经过系统后, 必将产生相位失真。3 用 MATLAB计算系统频率响应在本实验中 ,表示系统的方法仍然就是用系统函数分子与分母多项式系数行向量来表示。实验中用到的MA TLAB 函数如下 : H,w = freqs(b,a):b,a 分别为连续时间LTI 系统的微分方程右边的与左边的系数向量(Coefficients vector),返回的频率响应在各频率点的样点值(复数 )存放在 H 中,系统默认的 样点数目为 200 点; Hm = abs(H):求模数 ,即进行HHm运算 ,求得系统的幅度频率响应,返回值存于Hm之中。real(H):求 H 的实部 ; imag(H): 求 H 的虚部 ; phi = atan(-imag(H) 、/(real(H)+eps): 求相位频率相应特性,atan()用来计算反正切值;或者phi = angle(H): 求相位频率相应特性; tao = grpdelay(num,den,w): 计算系统的相位频率响应所对应的群延时。计算频率响应的函数freqs()的另一种形式就是: H = freqs(b,a,w):在指定的频率范围内计算系统的频率响应特性。在使用这种形式的freqs/freqz 函数时 ,要在前面先指定频率变量w 的范围。例如在语句H = freqs(b,a,w) 之前加上语句:w = 0:2*pi/256:2*pi。下面举例说明如何利用上述函数计算并绘制系统频率响应特性曲线的编程方法。假设给定一个连续时间LTI 系统 ,下面的微分方程描述其输入输出之间的关系)()(2)(3)(22txtydttdydttyd编写的MATLAB范例程序 ,绘制系统的幅度响应特性、相位响应特性、频率响应的实部与频率响应的虚部。程序如下: % Program3_1 % This Program is used to compute and draw the plots of the frequency response % of a continuous-time system b = 1; % The coefficient vector of the right side of the differential equation 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析a = 1 3 2; % The coefficient vector of the left side of the differential equation H,w = freqs(b,a); % Compute the frequency response H Hm = abs(H); % Compute the magnitude response Hm phai = angle(H); % Compute the phase response phai Hr = real(H); % Compute the real part of the frequency response Hi = imag(H); % Compute the imaginary part of the frequency response subplot(221) plot(w,Hm), grid on, title(Magnitude response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(223) plot(w,phai), grid on, title(Phase response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(222) plot(w,Hr), grid on, title(Real part of frequency response), xlabel(Frequency in rad/sec) subplot(224) plot(w,Hi), grid on, title(Imaginary part of frequency response), xlabel(Frequency in rad/sec) 三、实验内容及步骤实验前 , 必须首先阅读本实验原理,了解所给的MATLAB 相关函数 ,读懂所给出的全部范例程序。实验开始时, 先在计算机上运行这些范例程序, 观察所得到的信号的波形图。并结合范例程序所完成的工作, 进一步分析程序中各个语句的作用, 从而真正理解这些程序。实验前 , 一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作, 包括事先编写好相应的实验程序等事项。给定三个连续时间LTI 系统 ,它们的微分方程分别为系统 1: dttdxtydttdydttyd)()(25)(1)(22Eq、3、1 系统 2: )()()()(txdttdxtydttdyEq、3、2 系统 3: )(262)(262)(401)(306)(148)(48)(10)(2233445566txtydttdydttyddttyddttyddttyddttydEq、3、3Q3-1修改程序Program3_1,并以 Q3_1 存盘 ,使之能够能够接受键盘方式输入的微分方程系数向量。并利用该程序计算并绘制由微分方程Eq、3、1、Eq、3、2 与 Eq、3、3 描述的系统的 幅度响应特性、相位响应特性、频率响应的实部与频率响应的虚部曲线图。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析抄写程序 Q3_1如下 :% Q3_1b = input(请输入右边向量系数 ); % The coefficient vector of the right side of the differential equationa = input( 请输入左边向量系数 ); % The coefficient vector of the left side of the differential equationH,w = freqs(b,a); % Compute the frequency response HHm = abs(H); % Compute the magnitude response Hmphai = angle(H); % Compute the phase response phaiHr = real(H); % Compute the real part of the frequency responseHi = imag(H); % Compute the imaginary part of the frequency responsesubplot(221)plot(w,Hm), grid on , title(Magnitude response), xlabel(Frequency in rad/sec)subplot(223)plot(w,phai), grid on , title(Phase response), xlabel(Frequency in rad/sec)subplot(222)plot(w,Hr), grid on , title(Real part of frequency response), xlabel(Frequency in rad/sec)subplot(224)plot(w,Hi), grid on , title(Imaginary part of frequency response), xlabel(Frequency in rad/sec)执行程序 Q3_1,绘制的系统1 的频率响应特性曲线如下: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析051000.10.20.30.4Magnitude responseFrequency in rad/sec0510-4-3-2-10Phase responseFrequency in rad/sec0510-0.100.10.20.3Real part of frequency responseFrequency in rad/sec0510-0.3-0.2-0.10Imaginary part of frequency responseFrequency in rad/sec从系统 1 的幅度频率响应曲线瞧, 系统 1 就是 低通 、高通 、 全通 、带通 还就是 带阻 滤波器？答: 执行程序 Q3_1,绘制的系统2 的频率响应特性曲线如下: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析05101111Magnitude responseFrequency in rad/sec051001234Phase responseFrequency in rad/sec0510-1-0.500.51Real part of frequency responseFrequency in rad/sec051000.51Imaginary part of frequency responseFrequency in rad/sec从系统 2 的幅度频率响应曲线瞧,系统 2 低通 、 高通 、全通 、带通 还就是 带阻 滤波器？答: 执行程序 Q3_1,绘制的系统3 的频率响应特性曲线如下: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析051000.51Magnitude responseFrequency in rad/sec0510-4-2024Phase responseFrequency in rad/sec0510-1-0.500.51Real part of frequency responseFrequency in rad/sec0510-1-0.500.51Imaginary part of frequency responseFrequency in rad/sec从系统 3 的幅度频率响应曲线瞧,系统 3 就是 低通 、高通 、全通 、带通 还就是 带阻 滤波器？答: 这三个系统的幅度频率响应、相位频率相应、 频率响应的实部以及频率响应的虚部分别具有何种对称关系？请根据傅里叶变换的性质说明为什么会具有这些对称关系？答: Q3-2编写程序Q3_2,使之能够能够接受键盘方式输入的输入信号x(t)的数学表达式,系统微分方程的系数向量,计算输入信号的幅度频谱,系统的幅度频率响应,系统输出信号y(t) 的幅度频谱 ,系统的单位冲激响应h(t),并按照下面的图Q3-2 的布局 ,绘制出各个信号的时域与频域图形。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析图 Q3-2 您编写的程序Q3_2 抄写如下 :% Q3_2 b = input(Type in the right coefficient vector of differential equation:); % The coefficient vector of the right side of the differential equation a = input(Type in the left coefficient vector of differential equation:); % The coefficient vector of the left side of the differential equation w=-10:0 、01:10; H= freqs(b,a,w); % Compute the frequency response H Hm = abs(H); % Compute the magnitude response Hm phai = angle(H); % Compute the phase response phai Hr = real(H); % Compute the real part of the frequency response Hi = imag(H); % Compute the imaginary part of the frequency response subplot(221); plot(w,Hm); grid on, title(Magnitude response), xlabel(Frequency in rad/sec); subplot(223); plot(w,phai); grid on, title(Phase response), xlabel(Frequency in rad/sec); subplot(222); plot(w,Hr); grid on, title(Real part of frequency response); xlabel(Frequency in rad/sec); subplot(224); plot(w,Hi); grid on, title(Imaginary part of frequency response); xlabel(Frequency in rad/sec); 执行程序 Q3_2,输入信号x(t) = sin(t) + sin(8t), 输入由 Eq、3、 3描述的系统。得到的图形如下: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析此处粘帖执行程序Q3_2 所得到的图形-10-50510051015Magnitude responseFrequency in rad/sec-10-50510-2-1012Phase responseFrequency in rad/sec-10-5051000.511.52Real part of frequency responseFrequency in rad/sec-10-50510-10-50510Imaginary part of frequency responseFrequency in rad/sec请手工绘制出信号x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图如下: 您手工绘制的信号x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图与执行程序Q3_2 得到的 x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图就是否相同？如不同,就是何原因造成的？答: 执行程序 Q3_2 得到的 x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图实际上就是另外一个信号x1(t)的幅度频谱 ,这个信号的时域数学表达式为x1(t) = 请利用傅里叶变换的相关性质计算并绘制信号x1(t)的幅度频谱图。计算过程 : 手工绘制的x1(t) 的幅度频谱图如下: 结合所学的有关滤波的知识,根据上面所得到的信号的时域与频域图形,请从时域与频域两个方面解释滤波的概念。答: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析Q3-3编写程序Q3_3,能够接受从键盘输入的系统微分方程系数向量,并分别绘制所给三个系统的群延时曲线图。抄写程序 Q3_3 如下 :% Q3_3 b1 = input(Type in the right coefficient vector of differential equation:); % The coefficient vector of the right side of the differential equation a1= input(Type in the left coefficient vector of differential equation:); % The coefficient vector of the left side of the differential equation b2 = input(Type in the right coefficient vector of differential equation:); % The coefficient vector of the right side of the differential equation a2= input(Type in the left coefficient vector of differential equation:); % The coefficient vector of the left side of the differential equation b3 = input(Type in the right coefficient vector of differential equation:); % The coefficient vector of the right side of the differential equation a3= input(Type in the left coefficient vector of differential equation:); % The coefficient vector of the left side of the differential equation w=-10:0 、01:10; H1 = freqs(b1,a1,w); % Compute the frequency response H phi1 = angle(H1); H2 = freqs(b2,a2,w); % Compute the frequency response H phi2 = angle(H2); H3 = freqs(b3,a3,w); % Compute the frequency response H phi3 = angle(H3); tao1= grpdelay(b1,a1,w); tao2= grpdelay(b2,a2,w); tao3= grpdelay(b3,a3,w); subplot(321); plot(w,phi1); grid on, title(Phase response of num1); subplot(323); plot(w,phi2); grid on, title(Phase response of num2); subplot(325); plot(w,phi3); grid on, title(Phase response of num3), xlabel(Frequency in rad/sec); subplot(322); plot(w,tao1); grid on, title(Group delay of num1); subplot(324); plot(w,tao2); grid on, title(Group delay of num2); subplot(326); plot(w,tao3); grid on, title(Group delay of num3); xlabel(Frequency in rad/sec); 系统 Eq、3、1 的群延时曲线图系统 Eq 、3、 3 的群延时曲线图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 信号与系统实验报告实验三连续时间 LTI 系统的频域分析-10-50510-505Phase response of num1-10-50510-505Phase response of num2-10-50510-505Phase response of num3Frequency in rad/sec-10-50510-2.2-2-1.8Group delay of num1-10-50510-101Group delay of num2-10-50510-8-6-4Group delay of num3Frequency in rad/sec根据上面的群延时曲线图可以瞧出,对系统Eq、3、1,当频率为5 弧度 /秒时 ,群延时为秒,当频率为10 弧度 /秒时 ,群延时为秒,如何解释这两个群延时时间？根据上面的群延时曲线图,说明这两个系统就是否会造成对信号的相位失真？为什么？从系统 Eq、3、3 的群延时曲线图中可以瞧出,当信号的频率为1 弧度 /秒时 ,系统 Eq、3、3 对这一频率的信号的延时就是秒。所以 ,执行程序Q3_2 时,当作用于系统Eq、3、3 的输入信号为 x(t) = sin(t) + sin(8t) 时,其输出信号y(t)的数学表达式为: 四、实验报告要求1、按要求完整书写您所编写的全部MATLAB程序2、详细记录实验过程中的有关信号波形图(存于自带的U 盘中 ),图形要有明确的标题。全部的 MATLAB图形应该用打印机打印,然后贴在本实验报告中的相应位置,禁止复印件。3、实事求就是地回答相关问题,严禁抄袭。本实验完成时间: 年月日精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -