2022年全国初中数学联合竞赛试题及详解.pdf

20XX 年全国初中数学联合竞赛试题第一试(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30) 一、 选择题（本题满分42 分，每小题7分） (本题共有 6 个小题， 每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案， 其中有且仅有一个是正确的 . 将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0 分.) 1. 用x表示不超过x的最大整数， 把xx称为x的小数部分 . 已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba（）.A12.B32.C1.D32. 三种图书的单价分别为10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用500 元购买上述图书30 本，那么不同的购书方案有（）.A9种.B10种.C 11种.D 12种3(A) . 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为 “和谐数” .如：333321( 1) ,2631 ,2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A 6858.B 6860.C 9260.D 92623(B）. 已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0). 当ab为整数时，ab（）.A 0.B14.C34.D24. 已知Oe的半径OD垂直于弦AB, 交AB于点C，连接AO并延长交Oe于点E, 若8,AB2CD,则BCE的面积为（）.A 12.B 15.C16.D 185. 如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD, 对角线的交点为M，则DM ( ) .A32.B53精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - .C22.D126. 设实数, ,x y z满足1,xyz则23Mxyyzxz的最大值为 ( ) .A12.B23.C34.D 1二、填空题（本题满分28 分，每小题 7 分）( 本题共有 4 个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1. 【1(A) 、2（B） 】 已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0 x）的图象上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的上方， 且6,AB则点C的坐标为 . 1(B). 已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD, 则AM . 2(A) . 在 四 边 形ABCD中 ，BCAD,CA平 分BCD,O为 对 角 线 的 交 点 ，,CDAO,BCOD则ABC . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 3(B) . 若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 . 4(A). 将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个5行 5 列的表格内（每格填入一个数） ，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5 个和的最小值为M,则M的最大值为 . 第二试( 3 月 20 日上午 9:50 11:20) 一、 （本题满分20 分）已知,a b为正整数，求22324Maabb能取到的最小正整数值. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 二、 （本题满分25 分）( A ). 如图，点C在以AB为直径的Oe上，CDAB于点D, 点E在BD上，,AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与Oe交于点N. 证明 :FNDE. ( B). 已知：5,abc22215,abc33347.abc求222222()()()aabbbbccccaa的值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 三、 （本题满分25 分）( A). 已知正实数, ,x y z满足：1xyyzzx , 且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx . (1) 求111xyyzzx的值 . (2) 证明 :9()()()8()xyyzzxxyz xyyzzx. ( B). 如图，在等腰ABC中,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F求AD AF的值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 20XX 年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30) 一、 选择题（本题满分42 分，每小题7分） (本题共有 6 个小题， 每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案， 其中有且仅有一个是正确的 . 将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0 分.) 1. 用x表示不超过x的最大整数， 把xx称为x的小数部分 . 已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba（）.A12.B32.C1.D3【答案】A. 【解析】123,132,23tQ3234,即34,t331.at又23, 231,t4233,( 4)23,bt111123311,22222(23)3 1ba故选 A. 2. 三种图书的单价分别为10 元、 15 元和 20 元，某学校计划恰好用500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案有（）.A9种.B10种.C 11种.D 12种【答案】 C. 【解析】设购买三种图书的数量分别为, , ,x y z则30101520500 xyzxyz，即30341002yzxyzx，解得20210yxzx依题意得，, ,x y z为自然数（非负整数） ，故010,xx有11种可能的取值（分别为0,1,2,9,10)L，对于每一个x值，y和z都精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11 种，故选 C.3(A) . 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为 “和谐数”.如：333321( 1) ,2631 ,2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A 6858.B 6860.C 9260.D 9262【答案】 B. 【解析】3322(21)(21)(21) (21) (21)(21)(21)(21)kkkkkkkk22(121)k（其中k为非负整数），由22(121)2016k得，9k0,1,2,8,9kL，即得所有不超过2016 的“和谐数” ，它们的和为333333333331( 1)(31 )(53 )(1715 )(1917 )1916860.L故选 B. 3(B）. 已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab（）.A 0.B14.C34.D2【答案】 B. 【解析】依题意知0,0,10,2baaba故0,b且1ba，(1)21abaaa，于是10,a1211a又ab为整数，210,a故1,2ab14ab，故选 B.4. 已知Oe的半径OD垂直于弦AB, 交AB于点C，连接AO并延长交Oe于点E,若8,AB2CD, 则BCE的面积为（）.A 12.B 15.C16.D 18【解析】设,OCx则2,OAODxODABQ于,C14,2ACCBAB在Rt OAC中，222,OCACOA即2224(2) ,xx解得3x，即3OC（第 4 题答案图）OCQ为ABE的中位线，26.BEOCAEQ是Oe的直径，90 ,Bo114612.22BCESCB BE故选 A. 5. 如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD, 对角线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 的交点为M，则DM ( ) .A32.B53.C22.D12（第 5 题答案图）【答案】 D. 【解析】过点A作AHBD于点,H则AMH,CMD,AHAMCDCM1,CDQ,AMAHCM设,AMx则5,5xCMxAHx在Rt ABM中，2225,BMABAMx则255AB AMxAHBMx25,55xxxx显然0 x，化简整理得225 5100 xx解得5,2x（2 5x不符合题意，舍去） ，故5,2CM在Rt CDM中，2212DMCMCD, 故选 D.6. 设实数, ,x y z满足1,xyz则23Mxyyzxz的最大值为 ( ) .A12.B23.C34.D 1【答案】 C. 【解析】22(23 )(23 )(1)34232Mxyyx zxyyxxyxxyyxy222211122332222yxyxxxx222211113322222244yxxxyxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 当且仅当1,02xy时，M取等号，故max34M，故选 C. 二、填空题（本题满分28 分，每小题 7 分）( 本题共有 4 个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1. 【1(A) 、2（B） 】 已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0 x）的图象上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的上方， 且6,AB则点C的坐标为 . 【答案】3,22. 【解析】如图，过点C作CDAB于点D. 在Rt ACB中，cos3 3BCABABC在Rt BCD中，3 3sin,2CDBCB（第 1 题答案图）9cos,2BDBCB32ADABBD, 设33,CmA nmn，依题意知0,nm故33,CDnm ADmn，于是3 323332nmmn解得322 3mn，故点C的坐标为3,22. 1(B). 已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD, 则AM . 【答案】2. 【解析】（第 1 题答案图 1 ）（ 第 1 题答案图 2）依题意得BADDAMMAC,090 ,ADBADC故ABCACB.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - (1) 若ABCACB时，如答案图 1 所示，ADM,ADB1,2BDDMCM又AM平分,DAC1,2ADDMACCM在Rt DAC中，即1cos,2DAC060 ,DAC从而0090 ,30BACACD. 在Rt ADC中，tan3 tan603,CDADDACo1.DM在Rt ADM中，222AMADDM. ( 2)若ABCACB时，如答案图2 所示 . 同理可得2AM. 综上所述，2AM. 2(A) . 在 四 边 形ABCD中 ，BCAD,CA平 分BCD,O为 对 角 线 的 交 点 ，,CDAO,BCOD则ABC . 【答案】126o. 【解析】设,OCDADO, CAQ平分BCD,OCDOCB, BCQAD,ADOOBCDAOOCB, (第 2 题答案图 ) OCDDAO,ADCD,Q,CDAOADAO, ADOAODBOCOBC,OCBC, Q,BCOD,OCODODCOCD,180BOCODCOCDBOCOBCOCBoQ2 ,2180 ,o解得36 ,72oo，72DBCBCDo, ,BDCDAD18054 ,2ABDBADoo故126ABCABDDBCo. 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334. 【解析】设两个三位数分别为, x y，则10003xyxy，31000(31000) ,yxyxyx故y是x的正整数倍，不妨设ytx（t为正整数），精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 代入得10003,ttx1000,3txtxQ是三位数，10001003txt，解得1000,299ttQ为正整数，t的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t符合，此时167,334.xy故所求的六位数为167334. 3(B). 若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 . 【答案】1007. 【解析】由340qp得，34,pq2224(34)343,33pqqqqqq因q为质数，故pq的值随着质数q的增大而增大，当且仅当q取得最大值时，pq取得最大值 . 又111pq，34111,qq3284q，因q为质数，故q的可能取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q时，34655 13pq不是质数，舍去. 当19q时,3453pq恰为质数 . 故maxmax19,()53 191007qpq. 4(A). 将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个5行 5 列的表格内（每格填入一个数） ，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5 个和的最小值为M,则M的最大值为 . 【答案】10.【解析】 (依据 5 个 1 分布的列数的不同情形进行讨论,确定M的最大值 .(1) 若 5 个 1 分布在同一列，则5M；( 2) 若 5 个 1 分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故25 15 320M,故10M; (3) 若 5 个 1 分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故35 1525 330M, 故10M; (4) 若 5 个 1 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M另一方面，如下表的例子说明M可以取到 10. 故M的最大值为10.第二试( 3 月 20 日上午 9:50 11:20) 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 一、 （本题满分20 分）已知,a b为正整数，求22324Maabb能取到的最小正整数值. 【解析】解：因,a b为正整数，要使得22324Maabb的值为正整数，则有2a. 当2a时，b只能为 1，此时4.M故M能取到的最小正整数值不超过4. 当3a时，b只能为 1 或 2.若1,18bM;若2b，则7M. 当4a时，b只能为 1 或 2或 3.若1,38bM;若2,24bM;若3,b则2M.( 下面考虑：22324Maabb的值能否为1？) （反证法）假设1M，则223241aabb，即22325aabb，2(3)25aabb因b为正整数，故25b为奇数，从而a为奇数，b为偶数，不妨设21,2ambn，其中,m n均为正整数，则22222(3)(21) 3(21)(2 )4(332)3aabmmnmmmnn即2(3)aab被4除所得余数为3，而252(2 )141bnn被 4除所得余数为1，故式不可能成立，故1M. 因此，M能取到的最小正整数值为2. 二、 （本题满分25 分）( A). 如图，点C在以AB为直径的Oe上，CDAB于点D, 点E在BD上，,AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与Oe交于点N. 证明 :FNDE. (第 2(A) 题答案图 ) 【证明】：连接BC、.BNABQ为Oe的直径，CDAB于点D90ACBANBADCo,CABDACACBADCQ,ACBADC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - ,ACABADAC2ACADAB由四边形DEFM是正方形及CDAB于点D可知 : 点M在CD上，DEDMEFMF,NABDAMANBADMQ,ANBADM,ANABADAM,AD ABAMAN2,ACAMAN,AEACQ2AEAMAN以点F为圆心、FE为半径作,Fe与直线AM交于另一点P, 则Fe与AB切于点E,即AE是Fe的切线，直线AMP是Fe的割线，故由切割线定理得2AEAMAPANAP, 即点N与点P重合，点N在Fe上，FNFEDE. (注：上述最后一段得证明用了“同一法”) ( B). 已知：5,abc22215,abc33347.abc求222222()()()aabbbbccccaa的值 . 【解析】由已知得22221()()52abbccaabcabc由恒等式3332223()()abcabcabc abcabbcca得，4735(155),abc1abc又22()()()5(5)55(1)aabbabcababbccacc同理可得22225(4),5(4)bbccaccaab原式 =35 (4)(4)(4)125 64 16()4()abcabcabbccaabc1256416545( 1)625.【注：恒等式32()()()()()ta tb tctabc tabbcca tabc】三、 （本题满分25 分）( A). 已知正实数, ,x y z满足：1xyyzzx , 且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx . (3) 求111xyyzzx的值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - (4) 证明 :9()()()8()xyyzzxxyz xyyzzx. 【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx，去分母得222222(1)(1)(1(1)(1)(1)4z xyx yzy zxxyz，222222222222()()()3()0,x y zxy zx yzx yzy zxz xyxyzxyzxyz()()()()0 xyz xyyzzxxyz xyyzzxxyzxyz，()(1)0 xyzxyzxyyzzx，1,10 xyyzzxxyyzzxQ，()0,xyzxyzxyzxyz，原式 =1.xyzxyz（2）证明：由（ 1）得计算过程知xyzxyz，又Q, ,x y z为正实数 , 9()()()8()xyyzzxxyz xyyzzx9()()()8()()xyyzzxxyz xyyzzx222222()()()6x yzy zxz xyxyz222()()()0.x yzy zxz xy9()()()8()xyyz zxxyz xyyzzx. 【注：222222()()()2xyyzzxx yxyy zyzz xzxxyz222222()()()2x yzy zxz xyxyz222222()()3xyzxyyzzxx yxyy zyzz xzxxyz222222()()()3x yzy zxz xyxyz】( B). 如图，在等腰ABC中,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F求AD AF的值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （第 3（B）题答案图）【解析】如图，连接,AE ED CF, 则,ABACQABDACBQ点C关于直线AD的对称点为点E,BEDBCFAEDACDACB,ABDAED,A E B D四点共圆 ,BEDBAD( 同弧所对得圆周角相等) BADBCF,A B F C四点共圆，AFBACBABD,AFBABD,ABAFADAB2255.AD AFAB（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -