2022年全国高考安徽理科数学试题答案.pdf

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题第 I 卷(选择题共 50 分) 一.选择题：本大题10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i 是虚数单位，若17( ,)2iabi a bRi，则乘积ab的值是 （B）（A）-15 （B）-3 （C）3 （D）15 （2）若集合21|21| 3 ,0 ,3xAxxBxx则 A B是 （D ）（A）11232xxx或 (B)23xx (C) 122xx (D)112xx（3）下列曲线中离心率为62的是 （B）（A）22124xy（B）22142xy（C）22146xy（D）221410 xy(4)下列选项中， p 是 q 的必要不充分条件的是（A）（A）p:acb+d , q:ab 且 cd （B）p:a1,b1，q:( )(10)xf xaba的图像不过第二象限（C）p: x=1 , q:2xx（D）p:a1, q: ( )log(10)af xxa在(0,)上为增函数（5）已知na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99.以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是（ B）（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 （6）设ab, 函数2() ()yxaxb的图像可能是（C）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （7）若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是 （A）（A）73（B）37（C）43（D）34（8）已知函数( )3sincos(0)f xxx，( )yf x的图像与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则( )f x的单调区间是 （C）（A）5,1212kkkZ（B）511,1212kkkZ（C）,36kkkZ（D）2,63kkkZ（9）已知函数( )f x在 R 上满足2( )2 (2)88f xfxxx，则曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是（A）（A）21yx（B）yx（C）32yx（D）23yx（10）考察正方体6 个面的中心， 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（D）（A）175（B）275（C）375（ D）475二填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置。(11）若随机变量X2(,)，则()P X=_. 解答：12(12)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为()4R，它与曲线1 2cos22sinxy（为参数）相交于两点 A 和 B，则 |AB|=_. 解答：14(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_. 解答： 127 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （14）给定两个长度为1 的平面向量OAuuu r和OBuuu r，它们的夹角为120o. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动 .若,OCxOAyOBuuu ruuu ru uu r其中, x yR,则xy的最大值是 =_. 解答： 2 （15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。1相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面；2由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD 的三条高线的交点；3若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； 5 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。解答：14 5三解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。（16） （本小题满分12 分）在ABC 中，sin(C-A)=1, sinB=13。（I）求 sinA 的值；(II) 设 AC=6，求ABC 的面积。（16） 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12 分解： （I）由sin()1,CACA知2CA。又,ABC所以2,2AB即2,0.24ABA故213cos2sin,12sin,sin.33ABAA(II) 由（ I）得：6cos.3A又由正弦定理，得：sin,3 2,sinsinsinBCACABCACABB所以11sincos3 2.22ABCSAC BCCAC BCA（17） （本小题满分12 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型H1N1 流感，其中只有A 到过疫区 B 肯定是受 A 感染的。 对于 C，因为难以断定他是受A 还是受 B 感染的， 于是假定他受A 和受 B 感染的概率都是12。同样也假定D 受 A、B 和 C 感染的概率都是13。在这种假定之下， B、C、D 中直接受 A 感染的人数X 就是一个随机变量。写出X 的分布列 (不要求写出计算过程),并求 X 的均值（即数学期望）. （17）本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念， 通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12 分。解：随机变量X 的分布列是X 的均值111111233266EX。附： X 的分布列的一种求法共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：ABCD ABC D ABC D ABD C ACD B 在情形和之下，A 直接感染了一个人；在情形、之下，A 直接感染了两个人；在情形之下，A 直接感染了三个人。（18） （本小题满分13 分）如图，四棱锥F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线AC=2 ，BD=2，AE、CF 都与平面 ABCD 垂直， AE=1 ，CF=2。（I）求二面角B-AF-D 的大小；（II ）求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 公共部分的体积。(18) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13 分。解： （I）(综合法 )连接 AC 、BD 交于菱形的中心O，过 O 作 OGAF，G 为垂足。连接 BG、DG。由 BDAC,BD CF,得： BD 平面 ACF，故 BD AF. 于是 AF平面 BGD, 所以 BGAF,DGAF,BGD 为二面角B-AF-D 的平面角。由 FCAC,FC=AC=2, 得 FAC=4,OG=22. 由 OBOG,OB=OD=22,得 BGD=2 BGO=2. X 1 2 3 P 131216精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - (向量法 )以 A 为坐标原点，BDuu u r、ACuuu r、AEuuu r方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 (如图 ).于是22(,1,0),(,1,0),(0, 2,2).22BDF设平面 ABF 的法向量1( , , )nx y zur，则由1100nABnAFur uuu rur uuu r得202220 xyyz。令1,z得21xy，1(2, 1,1)nu r同理，可求得平面ADF 的法向量2( 2, 1,1)nuu r。由120n nu r uu r知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直，二面角 B-AF-D 的大小等于2。（II ） 连 EB、 EC、 ED， 设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H， 则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD 。过 H 作 HP平面 ABCD ，P 为垂足。因为 EA平面 ABCD ，FC平面 ABCD ， ，所以平面ACFE平面 ABCD ，从而,.PAC HPAC由1,HPHPAPPCCFAEACAC得23HP。又因为12,2ABCDSAC BD菱形故四棱锥 H-ABCD的体积12 2.39ABCDVSHP菱形（19） （本小题满分12 分）已知函数2( )(2ln),0f xxax ax，讨论( )f x的单调性 . (19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 想方法和运算求解的能力。本小题满分12 分。解：( )f x的定义域是 (0,+),22222( )1.axaxfxxxx设2( )2g xxax,二次方程( )0g x的判别式28a.当280,0aa，即02 2a时，对一切0 x都有( )0fx. 此时( )f x在(0,)上是增函数。当280,0aa,即2 2a时，仅对2x有( )0fx,对其余的0 x都有( )0fx, 此时( )f x在(0,)上也是增函数。当280,0aa，即2 2a时，方程( )0g x有两个不同的实根2182aax,2282aax,120 xx. x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x( )fx+ 0 _ 0 + ( )f x单调递增极大单调递减极小单调递增此时( )f x在28(0,)2aa上单调递增, 在2288(,)22aaaa是上单调递减, 在28(,)2aa上单调递增 . （20） （本小题满分13 分）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab上，00cos,sin,0.2xayb直线2l与直线00122:1xylxyab垂直， O 为坐标原点， 直线 OP 的倾斜角为，直线2l的倾斜角为. （I）证明 : 点P是椭圆22221xyab与直线1l的唯一交点；（II ）证明 :tan,tan,tan构成等比数列。（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13 分。解： （I） （方法一）由00221xyxyab得22020(),byax xa y代入椭圆22221xyab, 得22222002422200021()(1)0b xb xbxxaa ya yy. 将00cossinxayb代入上式 ,得2222 coscos0,xaxa从而cos .xa因此 ,方程组2222002211xyabxyxyab有唯一解00 xxyy,即直线1l与椭圆有唯一交点P. (方法二 )显然 P是椭圆与1l的交点，若 Q111( cos,sin),02ab是椭圆与1l的交点，代入1l的方程cossin1xyab，得11coscossinsin1,即11cos()1,故 P与 Q 重合。（方法三）在第一象限内，由22221xyab可得222200,bbyaxyaxaa椭圆在点 P 处的切线斜率200022200(),bxb xky xa ya ax切线方程为200020(),b xyxxya y即00221x xy yab。因此，1l就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线1l的唯一交点。（II ）00tantan,ybxa1l的斜率为2020,x by a2l的斜率为2020tantan,y aax bb由此得2tantantan0, tan,tan,tan构成等比数列。（21） （本小题满分13 分）首项为正数的数列na满足211(3),.4nnaanN（I）证明：若1a为奇数，则对一切2,nna都是奇数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （II ）若对一切nN都有1nnaa，求1a的取值范围。（21）本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13 分。解： （I）已知1a是奇数，假设21kam是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得213(1)14kkaam m是奇数。根据数学归纳法，对任何nN，na都是奇数。（II ） （方法一）由11(1)(3)4nnnnaaaa知，1nnaa当且仅当1na或3na。另一方面，若01,ka则113014ka；若3ka，则21333.4ka根据数学归纳法，1101,01,;33,.nnaanNaanN综合所述，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a。（方法二）由21213,4aaa得211430,aa于是101a或13a。22111133()(),444nnnnnnnnaaaaaaaa因为21130,4nnaaa所以所有的na均大于 0，因此1nnaa与1nnaa同号。根据数学归纳法，nN，1nnaa与21aa同号。因此，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -