2022年全国高考文科数学试卷及答案-湖北卷.pdf

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间120 分钟祝考试顺利注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置. 2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号答在试题卷上无效3将填空题和解答题用0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效4考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1tan690的值为（）3333332 如果|9Ux x是小于 的正整数，1 2 3 4A， ， ，3 4 5 6B， ， ， ， 那么UUABI痧（） 1 2， 3 4，56，7 8，3如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（） 10 6 5 3 函数21(0)21xxyx的反函数是（）21log(1)1xyxx21log(1)1xyxx21log(1)1xyxx21log(1)1xyxx5 在棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D 中，EF，分别为棱11AABB，的中点，G为棱11A B 上的一点，且1(01)A G则点G到平面1D EF 的距离为（）32223556为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100 名高中男生的体重情况，根据所1D1CCBAE1AGF1BD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示根据此图，估计该校2000 名高中男生中体重大于 70.5 公斤的人数为（）A300 B360 C420 D450 7将 5 本不同的书全发给4 名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）A1564B15128C24125D481258由直线1yx上的一点向圆22(3)1xy引切线，则切线长的最小值为（）A1 B2 2C7D39 设(4 3)，a，a在b上的投影为5 22，b在x轴上的投影为2， 且|14b， 则b为 （）A(2 14)，B227，C227，D(2 8)，10已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：s是q的充要条件；p是q的充分条件而不是必要条件；r是q的必要条件而不是充分条件；p是s的必要条件而不是充分条件；r是s的充分条件而不是必要条件则正确命题的序号是（）ABCD二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在答题卡相应位置上11设变量xy，满足约束条件30023xyxyx ， ， ，则目标函数2xy的最小值为12过双曲线22143xy左焦点1F的直线交曲线的左支于MN，两点，2F为其右焦点，频率组距0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 体重（ kg）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 则22MFNFMN的值为 _13 已 知 函 数( )yf x的 图 象 在 点(1(1)Mf，处 的 切 线 方 程 是122yx， 则(1)(1)ff14某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10 次，恰好投进3 个球的概率为 （用数值作答）15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为116tay（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本小题满分12 分）已知函数2( )2sin3cos24f xxx， 4 2x，（I）求( )f x的最大值和最小值；（II ）若不等式( )2f xm在 4 2x，上恒成立，求实数m的取值范围17 （本小题满分12 分）如图，在三棱锥VABC中，VCABC底面，ACBC，D是AB的中点，且O0.11y（毫克）t（小时）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - ACBCa，02VDC（I）求证：平面VAB平面VCD；（II ）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为618 （本小题满分12 分）某商品每件成本9 元，售价为 30 元，每星期卖出432 件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，030 x）的平方成正比，已知商品单价降低2 元时，一星期多卖出24 件（I）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（II ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？19 （本小题满分12 分）设二次函数2( )fxxaxa，方程( )0f xx的两根1x和2x满足1201xx（I）求实数a的取值范围；（II ）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小并说明理由20 （本小题满分13 分）已知数列na和nb满足：11a，22a，0na，1nnnba a（*nN） ，且nb是以q为公比的等比数列（I）证明：22nnaa q；（II ）若2122nnncaa，证明数列nc是等比数列；（III ）求和：1234212111111nnaaaaaaL21 （本小题满分14 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)Cp，作直线与抛物线22xpy（0p）相交于AB，两点（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由（此题不要求在答题卡上画图）2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分50 分12345678910二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分25 分1132128 133 141512815110110010111610tttyt， ；0.6 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分16本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力解： （）( )1cos23cos21sin23cos22f xxxxx12sin23xA B x y N C O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 又 4 2x，22633x，即212sin233x，maxmin( )3( )2f xf x，（）( )2( )2( )2f xmf xmf x， 4 2x，max( )2mf x且min( )2mf x，14m，即m的取值范围是(14)，17本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力解法 1： （）ACBCa，ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，CDAB，又VC底面ABCVCAB于是AB平面VCD又AB平面VAB，平面VAB平面VCD（）过点C在平面VCD内作CHVD于H，则由（）知CD平面VAB连接BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角依题意6CBH，所以在CHDRt中，2sin2CHa；在BHCRt中，sin62aCHa，2sin202，4故当4时，直线BC与平面VAB所成的角为6解法 2： （）以CACBCV，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0 0 0)(0 0)(00)00 0tan2 22a aCA aBaDVa， ， ， ，于是，2tan2 22a aVDauuu r， ，02 2a aCDuu u r， ，(0)ABaau uu r， ，从而2211(0)0002 222a aAB CDaaaauuu r u uu r， ， ，即ABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 同理22211(0)tan002 2222a aAB VDaaaaauuu r u uu r， ， ，即ABVD又CDVDDI，AB平面VCD又AB平面VAB平面VAB平面VCD（）设平面VAB的一个法向量为()xyz， ，n，则由00ABVDu uu r，nn得02tan0222axayaaxyaz，可取(112 cot)， ，n，又(00)BCauuu r，于是22sinsin6222cotBCaBCauuu ruuu rnn，即2sin202，4=故交4=时，直线BC与平面VAB所成的角为6解法 3： （）以点D为原点，以DCDB，所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(0 0 0)00000 0222DAaBaCa， ， ，220tan22Vaa，于是220tan22DVaauu ur，20 02DCauuu r，(02 0)ABau uu r，从而(02 0)AB DCauuu r u uu r，20 002a，即ABDC同理22(020)0tan022AB DVaaauuu r u uu r，即ABDV又DCDVDI，AB平面VCD又AB平面VAB，平面VAB平面VCDA D B C V x y z 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （）设平面VAB的一个法向量为()xyz， ，n，则由00ABDVuuu ruuu r，nn，得2022tan022ayaxaz，可取(tan01)n， ，又22022BCaauuu r，于是22tan22sinsin621tanaBCBCauuu ruuu rnn，即sin0224，=故交4时，即直线BC与平面VAB所成角为618本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、 导数的知识解决实际问题的能力解： （）设商品降价x元，则多卖的商品数为2kx，若记商品在一个星期的获利为( )f x，则依题意有22( )(309)(432)(21)(432)f xxkxxkx，又由已知条件，2242k ，于是有6k，所以32( )612643290720 30f xxxxx，（）根据（） ，我们有2( )1825243218(2)(12)fxxxxxx0 2，2 (2 12)，12 1230，( )fx0 0 ( )f x极小Z极大故12x时 ，( )fx达 到 极 大 值 因为(0)9072f，(12)11264f， 所 以 定 价 为301218元能使一个星期的商品销售利润最大19本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力解法 1： （）令2( )( )(1)g xf xxxaxa，A D B C V x y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 则由题意可得01012(1)0(0)0agg，01132 232 2aaaa，或，032 2a故所求实数a的取值范围是(0 322)，（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2fffggag，令2( )2h aaQ当0a时，( )h a单调增加，当032 2a时，20( )(32 2)2(32 2)2(1712 2)h ah112161712 2g，即1(0)(1)(0)16fffg解法 2： （I）同解法 1（II ）Q2(0)(1)(0)(0)(1)2fffgga，由（ I）知032 2a，41122170a2又4 210a，于是221112(321)(4 21)(4 21)0161616aaaa，即212016a，故1(0)(1)(0)16fff解法 3： （I）方程( )0fxx2(1)0 xaxa，由韦达定理得121xxa，12x xa，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0 xxxxx xxxxx，0132 232 2aaaa，或032 2a故所求实数a的取值范围是(0 322)，（II ）依题意可设12( )()()g xxxxx，则由1201xx，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)fffggx xxxxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 2211221112216xxxx，故1(0)(1)(0)16fff20本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法 1： （I）证：由1nnbqb，有1221nnnnnnaaaqaa a，22()nnaa qnN*（II ）证：22nnaqqQ，22221231nnnaaqa qL，222222nnnaaqa qL，22222222212121222(2)5nnnnnnncaaa qa qaaqqnc是首项为 5，以2q为公比的等比数列（III ）由（ II ）得2 221111nnqaa，2 22211nnqaa，于是1221321242111111111nnnaaaaaaaaaLLL24222422121111111111nnaqqqaqqqLL2122311112nqqqL当1q时，2422122111311112nnaaaqqqLL32n当1q时，2422122111311112nnaaaqqqLL223 121nqq2222312(1)nnqqq精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 故212222231211111.(1)nnnnqqaaaqqqL，解法 2： （I）同解法 1（I） （II ）证：222*1212221221221222()22nnnnnnnnnncaaq aq aqncaaaaN，又11225caa，nc是首项为 5，以2q为公比的等比数列（III ）由（ II ）的类似方法得222221212()3nnnnaaaaqq，34212121221234212111nnnnnaaaaaaaaaa aa aaaLL，2222212442123322kkkkkkkaaqqaaqQ，12knL， ， ，2221221113(1)2nkqqaaaLL下同解法 121本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解法 1： （）依题意，点N的坐标为(0)Np，可设1122()()A xyB xy，直 线AB的 方 程 为ykxp， 与22xpy联 立 得22xpyykxp，消 去y得22220 xpkxp由韦达定理得122xxpk，2122x xp于是12122AMNBCNACNSSSp xx2121212()4p xxpxxx x222224822pp kppk，当0k，2min()2 2ABNSp（）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，N O A C B y x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 设AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，QPQ，的中点为H，则O HPQ，Q点的坐标为1122xyp，2222111111()222O PACxypyp，111222ypO Haayp，222PHO PO H2221111()(2)44ypayp1()2paya pa，22(2)PQPH14()2paya pa令02pa， 得2pa， 此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线解法 2： （）前同解法1，再由弦长公式得222222212121211()4148ABkxxkxxx xkp kp22212pkk，又由点到直线的距离公式得221pdk从而2222211221222221ABNpSd ABpkkpkk，当0k时，2max()2 2ABNSp（）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，则以AC为直径的圆的方程为11(0)()()()0 xxxypyy，将直线方程ya代入得211()()0 xx xapay，则21114()()4()2pxap ayaya pa设直线l与以AC为直径的圆的交点为3344()()P xyQ xy，N O A C B y x Ol 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 则有34114()2()22ppPQxxaya paaya pa令02pa， 得2pa， 此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -