2022年全国高考理科数学试题及其解析.pdf

2000 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类 ) 本试卷分第I 卷(选择题 )和第 II 卷(非选择题 )两部分第I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至 9页共 150 分考试时间120 分钟第卷(选择题共 60 分) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射BAf :把集合 A 中的元素n映射到集合 B 中的元素nn2，则在映射f下，象 20 的原象是( ) A2 B3 C 4 D 5 2. 在复平面内，把复数i 33对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是（）A23Bi 32Ci 33D3i 33. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长是( ) A23B32C 6 D64已知sinsin，那么下列命题成立的是( ) A若、是第一象限角，则coscosB若、是第二象限角，则tgtgC若、是第三象限角，则coscosD若、是第四象限角，则tgtg5函数xxycos的部分图像是( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 6 中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800 元的部分不必纳税，超过800 元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过 500 元的部分5% 超过 500 元至 2000 元的部分10% 超过 2000 元至 5000 元的部分15% 某人一月份应交纳此项税款2678 元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A800900 元B9001200 元C12001500 元D15002800 元7若1ba，P=ba lglg，Q=balglg21， R=2lgba，则( ) ARPQ BPQ R C Q PR D P RQ 8以极坐标系中的点1,1为圆心， 1 为半径的圆的方程是( ) A4cos2B4sin2C1cos2D1sin29一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A221B441C21D24110过原点的直线与圆03422xyx相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( ) Axy3Bxy3Cxy33Dxy3311过抛物线02aaxy的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF与FQ 的长分别是p、q，则qp11等于( ) Aa2Ba21Ca4Da4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 12如图， OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( ) A321arccosB21arccosC21arccosD421arccos第 II 卷(非选择题共90 分) 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分把答案填在题中横线13 乒乓球队的10 名队员中有 3 名主力队员， 派 5 名参加比赛 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置， 其余 7 名队员选2 名安排在第二、 四位置， 那么不同的出场安排共有_种(用数字作答 ) 14 椭圆14922yx的焦点为1F、2F，点 P 为其上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是_15 设na是首项为 1 的正项数列，且011221nnnnaanaan(n=1，2，3，) ，则它的通项公式是na=_16 如图， E、F 分别为正方体的面11AADD、面11BBCC的中心，则四边形EBFD1在该正方体的面上的射影可能是_(要求：把可能的图的序号都填上 ) 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (本小题满分12 分)已知函数1cossin23cos212xxxy，Rx(I) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(II) 该函数的图像可由Rxxysin的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 18 (本小题满分12 分) 如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体ABCD-1111DCBA的 底 面ABCD是 菱 形 ， 且CBC1=CDC1=BCD=60(I) 证明：CC1BD ；(II) 假定 CD=2 ，1CC=23，记面BDC1为，面 CBD 为，求二面角BD的平面角的余弦值；(III) 当1CCCD的值为多少时，能使CA1平面BDC1？请给出证明19 (本小题满分12 分) 设函数axxxf12，其中0a(I) 解不等式1xf；(II) 求a的取值范围，使函数xf在区间,0上是单调函数20 (本小题满分12 分) (I) 已知数列nc，其中nnnc32，且数列nnpcc1为等比数列，求常数p；(II) 设na、nb是公比不相等的两个等比数列，nnnbac， 证明数列nc不是等比数列21 (本小题满分12 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示() 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=tf；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=tg；() 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天) 22 (本小题满分14 分) 如图，已知梯形ABCD 中CDAB2，点 E 分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E 三点，且以A、B 为焦点当4332时，求双曲线离心率e的取值范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分60 分(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4 分，满分16 分(13)252 (14)5353x(15)n1(16)三解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力满分12 分解： ( ) y=21cos2x23sinxcosx1 =41(2cos2x1)4143(2sinxcosx)1 =41cos2x43sin2x45=21(cos2x sin6sin2x cos6)45=21sin(2x6)45 6 分y 取得最大值必须且只需2x6=22k ，kZ，即 x=6k ，kZ所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为x|x=6k ，kZ 8 分()将函数 y=sinx 依次进行如下变换：(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移6，得到函数y=sin(x 6)的图像；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - (ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变 )， 得到函数y=sin(2x 6)的图像；(iii) 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变 )，得到函数y=21sin(2x6)的图像；(iv) 把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x6)45的图像；综上得到函数y=21cos2x23sinxcosx1 的图像 12 分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12 分()证明：连结A1C1、AC 、AC 和 BD 交于 O，连结C1O 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BD=CD 又 BCC1=DCC1，C1C= C1C， C1BC C1DC C1B=C1D， DO=OB C1OBD ， 2 分但 AC BD，AC C1O=O， BD平面 AC1，又 C1C平面 AC1 C1CBD 4 分()解：由 ( )知 AC BD ，C1OBD ， C1OC 是二面角 BD的平面角在 C1BC 中， BC=2 ，C1C=23， BCC1=60o， C1B2=22(23)22 223 cos60o =413 6 分 OCB=30o， OB=21BC=1OHGC1CDABD1B1A1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - C1O2= C1B2OB2=491413， C1O=23即 C1O= C1C作 C1HOC，垂足为 H 点 H 是 OC 的中点，且OH=23，所以 cosC1OC=OCOH1=33 8 分()当1CCCD=1 时，能使 A1C平面 C1BD 证明一：1CCCD=1， BC=CD= C1C，又 BCD= C1CB=C1CD，由此可推得BD= C1B = C1D 三棱锥 CC1BD 是正三棱锥 10 分设 A1C 与 C1O 相交于 G A1 C1AC，且 A1 C1OC=21， C1GGO=21又 C1O 是正三角形C1BD 的 BD 边上的高和中线， 点 G 是正三角形C1BD 的中心， CG平面 C1BD即 A1C平面 C1BD 12 分证明二：由()知， BD 平面 AC1， A1 C平面 AC1， BDA1 C 10 分当1CCCD=1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同 BD A1 C 的证法可得BC1A1C，OHGC1CDABD1B1A1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 又 BD BC1=B， A1C平面 C1BD 12 分(19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力满分12 分解： ( )不等式 f(x) 1即12x1 ax，由此得 11 ax，即 ax0 ，其中常数a0所以，原不等式等价于. 0,)1 (122xaxx即.02) 1(, 02axax 3 分所以，当 0a1 时，所给不等式的解集为x|0212aax；当 a1时，所给不等式的解集为x|x 0 6 分()在区间 0，+上任取 x1、x2，使得 x1x2f(x1)f(x2)=121x122xa(x1x2) =1122212221xxxxa(x1x2) =(x1x2)(11222121xxxxa) 8 分()当 a1时11222121xxxx1 11222121xxxxa0，又 x1x20，即 f(x1)f(x2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 所以，当 a1时，函数 f(x) 在区间),0上是单调递减函数 10 分(ii) 当 0a2pq，又 a1、b1不为零，因此22cc1 c3，故cn不是等比数列 12 分(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12 分解： ( )由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=;300200,3002,2000300tttt， 2 分由图二可得种植成本与时间的函数关系为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - g(t)=2001(t150)2100，0 t300 4 分()设 t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t) g(t) 即 h(t)=300200210252720012000217521200122tttttt， 6分当 0 t200 时，配方整理得h(t)=2001(t50)2100，所以，当 t=50 时， h(t)取得区间 0，200上的最大值100；当 200875 可知， h(t)在区间 0,300 上可以取得最大值100，此时 t=50，即从二月一日开始的第50 天时，上市的西红柿纯收益最大 12 分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14 分解： 如图，以 AB 的垂直平分线为y 轴，直线 AB 为 x 轴， 建立直角坐标系xoy， 则 CDy轴因为双曲线经过点C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知C、D 关于 x 轴对称 2 分依题意，记A(c，0)，C(hc，h)，E(x0, y0)，其中 c=21|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高由定比分点坐标公式得x0=12cc= )1(2)2(c，10hy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace由点 C、E 在双曲线上，将点C、E 的坐标和ace代入双曲线方程得14222bhe，1112422222bhe 7 分由式得14222ebh，将式代入式，整理得214442e，故2312e 10 分由题设4332得，43231322e解得107e所以双曲线的离心率的取值范围为107， 14 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -