2022年全国高考理科数学试题及答案-浙江卷-二次校对.pdf

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5 页，选择题部分1 至 3 页，非选择题部分4至 5 页。满分150 分，考试时间120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50 分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。参考公式如果事件 A,B 互斥 ，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率Pn(k)= (1)(0,1,2,.,)kknknC ppkn台体的体积公式V=11221()3h SSSS其中 S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体体积公式V=Sh 其中 S表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式V=13Sh 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 其中 S表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球体的面积公式S=4R2球的体积公式V=43R3其中 R表示球的半径一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 A=x|1 x4，集合 B =x|2x-2x-30, 则 A（ CRB）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)（ 3,4）2. 已知 i 是虚数单位，则31ii= A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 3. 设 aR ，则“ a1”是“直线l1：ax+2y-1=0 与直线 l2 ：x+(a+1)y+4=0 平行”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是5. 设 a，b 是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则 ab B.若 ab，则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数，使得b=a D.若存在实数，使得b=a，则|a+b|=|a|-|b| 6. 若从 1,2,3 ， 9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - A.60 种B.63 种C.65 种D.66 种7.设nS是公差为 d（d0）的无穷等差数列an的前 n 项和，则下列命题错误的是A.若 d0，则列数 Sn有最大项B.若数列 Sn有最大项，则d0 C.若数列 Sn是递增数列，则对任意*nN，均有 Sn0 D.若对任意*nN均有 Sn0，则数列 Sn是递增数列8.如图， F1,F2分别是双曲线C：22221xyab（a,b0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与 C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M，若 |MF2|=|F1F2|,则 C的离心率是A. 2 33B62C.2D. 39.设 a0，b0. A.若 2a+2a=2b+3b，则 ab B.若 2a+2a=2b+3b，则 ab C.若 2a-2a=2b-3b，则 ab D.若 2a-2a=ab-3b，则 ab 10. 已知矩形 ABCD ，AB=1，BC=2。将 ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线AC与直线 BD 垂直 . B.存在某个位置，使得直线AB与直线 CD垂直 . C.存在某个位置，使得直线AD 与直线 BC垂直 . D.对任意位置，三对直线“AC与 BD” ， “AB 与 CD” ， “AD 与 BC ”均不垂直精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2012 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分。11.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于_cm3. 12.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_。13.设公比为 q （q0） 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn. 若 S2=3a2+2， S4=3a4+2， 则 q=_。14.若将函数 f（x）=x5表示为f （x）=a0a1（1x）a2（1x）2 a5（1x）5，其中 a0，a1，a2，a5为实数，则 a3=_。15.在ABC中， M 是 BC的中点， AM=3，BC=10，则ABAC?uu u ruu u r=_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 16 定义： 曲线 C上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线C到直线 l 的距离，已知曲线2XCxa：y到直线 l:y=x 的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线 l:y=x 的距离，则实数a=_。17设 aR ，若 x0 时均有 (a-1)x-1(x2-ax-1) 0，则 a=_。三、解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. （本题满分14 分）在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 cosA=23， sinB=5 cosC。（1）求 tanC的值；（2）若 a=2，求 ABC的面积。19.（本题满分14 分）已知箱中装有4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得2 分，取出一个黑球得1 分。现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3 个球，记随机变量X 为取出此 3 球所得分数之和。（1）求 X的分布列；（2）求 X的数学期望E（X）. 20.（本题满分15 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2 3的菱形， BAD=120，且PA 平面 ABCD，PA =2 6,M，N 分别为 PB,PD的中点。（1）证明： MN平面 ABCD；（2）过点 A 作 AQPC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q 的平面角的余弦值。21.（ 本题满分 15 分）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，其左焦点到点（ ,）的距离为10，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （）求椭圆C 的方程；（）求 ABP面积取最大值时直线l 的方程。22.（本题满分14 分）已知 a0,bR，函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b。（）证明：当0 x1 时。（）函数f(x)的最大值为 |2aba（） f(x)+ 2aba0; （）若 -1f(x) 1 对 x0,1恒成立，求a+b 的取值范围。参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 【解析】 A（1，4） ，B（ 3， 1） ，则 A（ CRB）（ 1，4） 【答案】 A 2 【解析】3 + i1i3+i1+i22+ 4i212i【答案】 D 3 【解析】当a1 时，直线 l1：x2y10 与直线 l2：x2y40 显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：211aa，解之得： a1 or a 2所以为充分不必要条件【答案】 A 4 【解析】把函数ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）得：y1cosx1，向左平移1 个单位长度得：y2cos（x1） 1，再向下平移1 个单位长度得：y3cos（x1） 令 x0，得： y30；x12，得： y30；观察即得答案【答案】 B 5 【解析】利用排除法可得选项C 是正确的， | a b| | a| | b| ，则 a， b 共线，即存在实数 ，使得 a b如选项 A：| ab| | a| | b| 时，a，b 可为异向的共线向量；选项B：若 ab，由正方形得 | ab| | a| | b| 不成立；选项D：若存在实数 ，使得 a b，a，b 可为同向的共线向量，此时显然| a b| | a| | b| 不成立精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 【答案】 C 6 【解析】 1，2，2，9 这 9 个整数中有5 个奇数， 4 个偶数要想同时取4 个不同的数其和为偶数，则取法有：4 个都是偶数： 1 种；2 个偶数， 2 个奇数：225460C C种；4 个都是奇数：455C种不同的取法共有66 种【答案】 D 7 【解析】选项C显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3， 满足数列 Sn是递增数列，但是 S n0 不成立【答案】 C 8 【解析】如图：| OB| b，| O F1| c kPQbc，kMNbc直线 PQ为：ybc（xc） ，两条渐近线为：ybax由()byxccbyxa，得： Q（acca，bcca） ；由()byxccbyxa-，得： P（acca，bcca） 直线MN 为： ybccabc（xacca） ，令 y0 得：xM322cca又 | MF2| | F1F2| 2c，3cxM322cca，解之得：2232acea，即 e62【答案】 B 9 【解析】若2223abab ，必有 2222abab 构造函数：22xfxx，则2ln 220 xfx恒成立，故有函数22xfxx在 x0 上单调递增， 即 a b成立其余选项用同样方法排除【答案】 A 10 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的【答案】 C 二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分11 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形故体积等于11312123【答案】 1 12 【解析】 T，i 关系如下图：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - T1 12161241120i2 3 4 5 6 【答案】112013 【解析】将2232Sa，4432Sa两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子即111233111113232aa qa qaa qa qa qa q，两式作差得：2321113(1)a qa qa q q，即：2230qq，解之得：312qorq（舍去）【答案】3214 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等即：545543315544310100aC aaaC aC aa法二：对等式：2550125111fxxaaxaxaxL两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)xaaxax，再运用赋值法，令1x得：3606a ，即310a【答案】 10 15 【解析】此题最适合的方法是特例法假设ABC是以 ABAC的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABAC34 cosBAC 3434102923434AB ACuu u r uu u rcos29ABACBACuuu ruu u r【答案】 29 16【 解析】C2： x 2 （y4）2 2， 圆心 （0， 4） ， 圆心到直线l： yx 的距离为：0( 4)2 22d，故曲线 C2到直线 l：yx 的距离为22ddrd另一方面：曲线C1：yx 2a，令20yx，得：12x，曲线 C1：y x 2a 到直线 l：yx 的距离的点为（12，14a） ，111()72442422aada【答案】7417 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：（A）2(1)1010axxax， 无解；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （B）2(1)1010axxax， 无解因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在x0 的整个区间上，我们可以将其分成两个区间（为什么是两个？），在各自的区间内恒正或恒负（如下答图）我们知道：函数y1（a1）x1，y2x 2ax1 都过定点P（0，1） 考查函数 y1（ a1）x1：令 y0，得 M（11a，0） ，还可分析得：a1；考查函数 y2x 2ax1：显然过点M（11a，0） ，代入得：211011aaa，解之得：2a，舍去2a，得答案：2a【答案】2a三、解答题：本大题共5 小题，共72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。（ ） cosA230， sinA251cos3A，又5 cosCsinBsin（AC） sinAcosCsinCcosA 53cosC23sinC整理得： tanC5 （）由图辅助三角形知：sinC56又由正弦定理知：sinsinacAC，故3c （1）对角 A 运用余弦定理：cosA222223bcabc （2）解（ 1） （2）得：3borb33（舍去）ABC的面积为： S 52精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 【答案】（ ）5 ； （）5219 【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。（ ） X 的可能取值有：3，4，5，635395(3)42CP XC；21543920(4)42C CP XC；12543915(5)42C CP XC；34392(6)42CP XC故，所求 X的分布列为X 3 4 5 6 P 542201042211554214214221（）所求 X的数学期望E （X）为：E（X）6491()21ii P Xi【答案】（ ）见解析；（）912120 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。（ ）如图连接BDM，N 分别为 PB ，PD的中点，在PBD中， MNBD又 MN平面 ABCD ，MN平面 ABCD ；（）如图建系：A（0，0，0） ，P（0，0， 2 6） ，M（32，32，0） ，N（3 ，0，0） ，C（3 ，3， 0） 设 Q（x，y，z） ，则(33)(33 26)CQxyzCPuuu ruuu r，(332 6 )CQCPuuu ruuu r，(33332 6)Q，由0OQCPOQ CPuuu ruuu ruuu ruuu r，得：13即：2 32 6(2)33Q， ，对于平面 AMN：设其法向量为()nabcr， ，33(0)=(3 00)22AMANu uu u ruuu r， ， ， ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 则33330012230300aAMnabbANnacuuuu rruuu rr31(0)33nr，同理对于平面AMN 得其法向量为(3 16)vr，记所求二面角AMNQ 的平面角大小为，则10cos5n vnvr rrr所求二面角AMNQ 的平面角的余弦值为105【答案】（ ）见解析；（）10521 【解析】（ ）由题：12cea； （1）左 焦 点 （ c， 0 ） 到 点P（ 2 ， 1） 的 距 离 为 ：22(2)1dc10 （2）由（ 1） （2）可解得：222431abc，所求椭圆C的方程为：22+143xy（）易得直线OP的方程： y12x，设 A（xA，yA） ，B（xB，yB） ，R（x0，y0） 其中 y012x0A，B在椭圆上，220220+123334344 22+143AAABABABABABBBxyxyyxxkxxyyyxy设直线 AB 的方程为 l：y32xm（m0） ，代入椭圆：2222+143333032xyxmxmyxm -显然222(3)43(3)3(12)0mmm12 m12 且 m0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 由上又有：ABxx m，AByy 233m| AB| 1ABk|ABxx | 1ABk2()4ABABxxx x1ABk243m点 P（2，1）到直线 l 的距离为：31211ABABmmdkkSABP12d| AB| 12| m2|243m，当| m2| 243m，即 m 3 orm0（舍去）时，（SABP）max12此时直线 l 的方程 y3122x【答案】（）22+143xy； （）y3122x21 【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。（ ）（ ）2122fxaxb当 b0 时，2122fxaxb0 在 0 x1 上恒成立，此时fx的最大值为：1423fababab |2 ab| a；当 b0 时，2122fxaxb在 0 x1 上的正负性不能判断，此时fx的最大值为：max2max(0)1 max()332babafxffbaabab ba，（），()，|2 ab| a；综上所述：函数fx在 0 x1 上的最大值为 |2 ab| a；（ ） 要证fx|2 ab| a0，即证gxfx |2 ab| a亦即证g x在 0 x1 上的最大值小于（或等于）|2 ab| a，342g xaxbxab，令212206bgxaxbxa当 b0 时，2122gxaxb0 在 0 x1 上恒成立，此时g x的最大值为：03gabab|2 ab| a；当 b0 时，2122gxaxb在 0 x1 上的正负性不能判断，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - maxmax ()1 6bgxgga，（）4max2 36463662bbabbaabbababababa，|2 ab| a；综上所述：函数g x在 0 x1 上的最大值小于（或等于）|2 ab| a即fx|2 ab| a0 在 0 x1 上恒成立（）由（ ）知：函数fx在 0 x1 上的最大值为 |2 ab| a，且函数fx在 0 x1 上的最小值比（|2 ab| a）要大 1fx1 对 x0，1恒成立，|2 ab| a1取 b 为纵轴， a 为横轴则可行域为：21baba和231baab，目标函数为zab作图如下：由图易得：当目标函数为zab 过 P（1，2）时，有max3z所求 ab 的取值范围为：3，【答案】（） 见解析；（）3，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -