2022年全国高考理科数学试题数列.pdf

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 （2013 年高考上海卷（理）在数列na中,21nna, 若一个 7 行 12 列的矩阵的第i 行第 j 列的元素, i jijijaaaaa,(1,2,7;1,2,12ijLL) 则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A. 2 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对） ）已知数列na满足12430,3nnaaa, 则na的前 10 项和等于(A)106 13 (B)101139 (C)103 13 (D)103 1+3【答案】C 3 （2013 年高考新课标1 （理） ）设nnnA B C的三边长分别为,nnna b c,nnnA B C的面积为nS,1,2,3,nL,若11111,2bc bca,111,22nnnnnnnncabaaabc, 则( ) A.Sn 为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列 ,S2n为递减数列D.S2n-1 为递减数列 ,S2n为递增数列【答案】B 4 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理） 试题（纯 WORD版） ）函数= ( )y f x的图像如图所示,在区间,a b上可找到(2)n n个不同的数12,.,nx xx使得1212()()()=,nnf xf xf xxxx则n的取值范围是(A)3,4 (B)2,3,4 (C) 3,4,5 (D)2,3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【答案】B 5 （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版） ）已知等比数列na的公比为q, 记(1) 1(1) 2(1).,nm nm nm nmbaaa*(1) 1(1) 2(1).(,),nm nm nm nmcaaam nN?则以下结论一定正确的是( ) A.数列nb为等差数列 , 公差为mq B.数列nb为等比数列 ,公比为2mqC.数列nc为等比数列 , 公比为2mq D.数列nc为等比数列 , 公比为mmq【答案】C 6 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学（理） （纯 WORD版含答案）等比数列na的前n项和为nS, 已知12310aaS,95a, 则1a(A)31 (B)31 (C)91 (D)91【答案】C 7 （2013年高考新课标1（理）设等差数列na的前n项和为11,2,0,3nmmmS SSS, 则m( ) A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C 8 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版） ）下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题 : 1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数列是递增数列；4:3npand数列是递增数列；其中的真命题为(A)12,p p (B)34,pp (C)23,pp (D)14,p p【答案】D 9 （2013 年高考江西卷（理） ）等比数列x,3x+3,6x+6,.的第四项等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 10 （2013 年高考四川卷 （理）在等差数列na中,218aa, 且4a为2a和3a的等比中项 , 求数列na的首项、公差及前n项和 . 【答案】解: 设该数列公差为d, 前n项和为ns. 由已知 , 可得21111228,38adadadad. 所以114,30add da, 解得14,0ad, 或11,3ad, 即数列na的首相为 4, 公差为 0, 或首相为1, 公差为 3. 所以数列的前n项和4nsn或232nnns11 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD版含答案） ）等差数列na的前n项和为nS, 已知10150,25SS, 则nnS的最小值为 _.【答案】4912（2013 年高考湖北卷 （理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为2111222n nnn. 记第n个k边形数为,N n k3k, 以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式 : 三角形数211,322Nnnn正方形数2,4N nn五边形数231,522Nnnn六边形数2,62N nnn可以推测,N n k的表达式 , 由此计算10,24N_. 选考题【答案】1000 13 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题） ）在正项等比 数 列na中 ,215a,376aa, 则 满 足nnaaaaaa2121的 最 大 正 整 数n的 值 为_.【答案】12 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 14 （2013 年高考湖南卷（理） ）设nS为数列na的前 n 项和 ,1( 1),2nnnnSanN则(1)3a_; (2)12100SSS_.【答案】116;10011(1)3 215 （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版） ）当,1xR x时, 有如下表达式 :211.1nxxxx两边同时积分得:111112222220000011.1ndxxdxx dxx dxdxx从而得到如下等式:23111111111()().().ln 2.2223212nn请根据以下材料所蕴含的数学思想方法, 计算 : 0122311111111( )().( )_2223212nnnnnnnCCCC【答案】113()112nn16 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）已知na是等差数列 ,11a, 公差0d,nS为其前n项和 , 若125,a aa成等比数列 , 则8_S【答案】6417 （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）若等差数列的前6 项和为 23, 前 9 项和为 57, 则数列的前n项和n=S_.【答案】25766nn18 （ 2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版） ）在等差数列na中 , 已知3810aa, 则573aa_.【答案】2019 （2013 年高考陕西卷（理） ）观察下列等式 : 2112212322212632222124310精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 照此规律 , 第n个等式可为 _)1(2) 1-n1-32-1121-n222nnn（）（_. 【答案】)1(2) 1-n1-32-1121-n222nnn（）（20 （2013年高考新课标1（理）若数列 na 的前n项和为Sn=2133na, 则数列 na 的通项公式是na=_.【答案】na=1( 2)n. 21 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版） ）如图 , 互不 - 相同的点12,nA AXKK和12,nB BBKK分别在角 O的两条边上 , 所有nnA B相互平行 , 且所有梯形11nnnnA B BA的面积均相等 . 设.nnOAa若121,2,aa则数列na的通项公式是 _. 【答案】*,23Nnnan22 （ 2013年高考北京卷（理）若等比数列an 满足a2+a4=20,a3+a5=40, 则公比q=_; 前n项和Sn=_.【答案】2,122n23（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版） ）已知等比数列na是递增数列 ,nS是na的前n项和 , 若13aa，是方程2540 xx的两个根 , 则6S_.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【答案】63 三、解答题24 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版） ）设函数22222( )1(,)23nnnxxxfxxxR nNnK, 证明: ( ) 对每个nnN, 存在唯一的2,13nx, 满足()0nnfx; ( ) 对任意npN, 由 ( ) 中nx构成的数列nx满足10nnpxxn. 【答案】解: ( ) 224232224321)(0nxxxxxxfnxyxnnn是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是 n 的单调递增函数. 011) 1(, 01)0(nnff且. 010)(,1 , 0(321nnnnxxxxxfx，且满足存在唯一xxxxxxxxxxxxxfxnnn1141114122221)(,).1 ,0(2122242322时当 1 ,320)23)(2(1141)(02nnnnnnnnxxxxxxxf综上 , 对每个nnN, 存在唯一的2,13nx, 满足()0nnfx;( 证毕 ) ( ) 由题知04321)(,012242322nxxxxxxfxxnnnnnnnnpnn0)() 1(4321)(2212242322pnxnxnxxxxxxfpnpnnpnnpnpnpnpnpnpnpn上式相减:22122423222242322)() 1(432432pnxnxnxxxxxnxxxxxpnpnnpnnpnpnpnpnpnnnnnnn）（）（2212244233222)() 1(-4-3-2-pnxnxnxxxxxxxxxxpnpnnpnnnnpnnpnnpnnpnpnnnxxnpnnpnn1-111. 法二 : 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 25 （2013 年高考上海卷 （理）(3 分+6 分+9 分 )给定常数0c, 定义函数( )2 |4 |fxxcxc,数列123,a a a L满足*1(),nnaf anN. (1) 若12ac, 求2a及3a;(2) 求证 :对任意*1,nnnNaac,; (3) 是否存在1a, 使得12,na aaLL成等差数列 ?若存在 , 求出所有这样的1a, 若不存在 , 说明理由 .【答案】:(1) 因为0c,1(2)ac, 故2111()2|4| 2af aacac, 3122()2|4|10af aacacc(2) 要证明原命题, 只需证明( )f xxc对任意xR都成立 , ( )2 |4|f xxcxcxcxc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 即只需证明2|4| | +xcxcxc若0 xc, 显然有2|4 | |+=0 xcxcxc成立 ; 若0 xc, 则2|4| | +4xcxcxcxcxc显然成立综上 ,( )f xxc恒成立 , 即对任意的*nN,1nnaac(3) 由(2) 知, 若na为等差数列 , 则公差0dc, 故 n 无限增大时 , 总有0na此时 ,1()2(4)()8nnnnnaf aacacac即8dc故21111()2|4|8af aacacac, 即1112|4| |8acacac, 当10ac时, 等式成立 , 且2n时,0na, 此时na为等差数列 , 满足题意 ; 若10ac, 则11|4| 48acac, 此时 ,230,8,(2)(8)naacancL也满足题意 ; 综上 , 满足题意的1a的取值范围是,)8cc. 26 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题） ）本小题满分 10 分. 设数列122,3,3,34444naL： ，- ，-，- ，- ，- ，- ， ，-1-1-1-1kkkkk6 4 4 4 7 4 4 4 8L个（） ， ，（）,即当1122kkk kn（）（）kN时,11knak（- ）, 记12nnSaaaLnN, 对于lN, 定义集合lP1nnn SanNnl是的整数倍，且(1) 求集合11P中元素的个数 ; (2)求集合2000P中元素的个数 . 【答案】本题主要考察集合. 数列的概念与运算. 计数原理等基础知识, 考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列na的定义得:11a,22a,23a,34a,35a,36a,47a,48a,49a,410a,511a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 11S,12S,33S,04S,35S,66S,27S,28S,69S,1010S,511S111 aS?,440 aS?,551 aS?,662aS?,11111 aS?集合11P中元素的个数为5 (2) 证明 : 用数学归纳法先证)12()12(iiSii事实上 , 当1i时,3)12(13)12(?SSii故原式成立假设当mi时, 等式成立 , 即)12()12(?mmSmm故原式成立则:1mi, 时, 2222)12(32)(1( 1)1(2)1()22() 12()12()22()12(mmmmmmSSSmmmmmm)32)(1()352(2mmmm综合得 :)12()12(iiSii于是) 1)(12() 12() 12() 12(2212( 12)1(iiiiiiSSiiii由上可知 :12( iiS是)12( i的倍数而)12, 2, 1(12 12)(1(ijiajii, 所以)12()12()12(ijSSiijii是)12, 2, 1( 12)(1(ijajii的倍数又)12)(1(12)1(iiSii不是22i的倍数 , 而)22, 2, 1)(22( 12)(1(ijiajii所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(ijiiijSSiijii不是)22,2, 1(12)(1(ijajii的倍数故当) 12( iil时, 集合lP中元素的个数为2i1-i231）（于是当）（1i 2j1j)12( iil时, 集合lP中元素的个数为ji2又471312312000）（故集合2000P中元素的个数为100847312精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 27 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版） ）在公差为d的等差数列na中, 已知101a, 且3215, 22,aaa成等比数列 . (1) 求nad,; (2)若0d,求. |321naaaa【答案】解:( ) 由已知得到: 22221 311(22)54(1)50(2 )(11)25(5)aa aadaddd224112122125253404611nndddddddanan或; ( ) 由 (1) 知, 当0d时,11nan, 当111n时, 123123(1011)(21)0 |22nnnnnnnaaaaaaaaag g gg g g当12n时, 1231231112132123111230|()11(2111)(21)212202()()2222nnnnaaaaaaaaaaaannnnaaaaaaaagg gg g gg g gg g gg gg所以 , 综上所述 :1232(21),(111)2|21220,(12)2nnnnaaaannng g g; 28 （2013 年高考湖北卷（理） ）已知等比数列na满足 :2310aa,123125aa a. (I) 求数列na的通项公式 ; (II)是否存在正整数m, 使得121111maaaL?若存在 , 求m的最小值 ; 若不存在 , 说明理由 . 【答案】解:(I)由已知条件得 :25a, 又2110a q,13q或, 所以数列na的通项或253nna(II)若1q,12111105maaaL或,不存在这样的正整数m; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 若3q,12111919110310mmaaaL, 不存在这样的正整数m. 29 （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设等差数列na的前 n 项和为nS,且424SS,221nnaa. ( ) 求数列na的通项公式 ; ( ) 设数列nb前 n 项和为nT,且12nnnaT(为常数 ). 令2nncb*()nN. 求数列nc的前n项和nR. 【答案】解:( ) 设等差数列na的首项为1a, 公差为d, 由424SS,221nnaa得11114684(21)22(1)1adadanand, 解得 ,11a,2d因此21nan*()nN( ) 由题意知 :12nnnT所以2n时,112122nnnnnnnbTT故,1221221(1)( )24nnnnncbn*()nN所以01231111110()1 ()2()3 ()(1)()44444nnRn, 则12311111110()1 ( )2 ()(2)()(1)( )444444nnnRnn两式相减得1231311111()( )( )( )(1)( )444444nnnRn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 11( )144(1)( )1414nnn整理得1131(4)94nnnR所以数列数列nc的前 n 项和1131(4)94nnnR30 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题） ）本小题满分 16 分. 设na是首项为a, 公差为d的等差数列)0(d,nS是其前n项和 . 记cnnSbnn2,*Nn, 其中c为实数 . (1) 若0c, 且421bbb，成等比数列 , 证明 :knkSnS2(*,Nnk); (2) 若nb是等差数列 , 证明 :0c. 【答案】证明: na是首项为a, 公差为d的等差数列)0(d,nS是其前n项和dnnnaSn2)1(1) 0cdnanSbnn21421bbb，成等比数列4122bbb)23()21(2daada041212dad0)21(21dad0dda21ad2anannnadnnnaSn222)1(2)1(左边 =aknankSnk222)(右边 =aknSnk222左边 =右边原式成立(2) nb是等差数列设公差为1d, 11) 1(dnbbn带入cnnSbnn2得 : 11) 1(dnbcnnSn2)()21()21(11121131bdcncdndadbndd对Nn恒成立精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 0)(0021021111111bdccddadbdd由式得 :dd211 0d 01d由式得 :0c法二 : 证:(1) 若0c, 则dnaan) 1(,22) 1(adnnSn,22)1(adnbn. 当421bbb，成等比数列 ,4122bbb, 即:2322daada,得:add22, 又0d, 故ad2. 由此 :anSn2,aknankSnk222)(,aknSnk222. 故:knkSnS2(*,Nnk). (2)cnadnncnnSbnn22222) 1(, cnadncadncadnn2222) 1(22)1(22) 1(cnadncadn222) 1(22)1(. ()若nb是等差数列 ,则BnAnbn型. 观察( ) 式后一项 ,分子幂低于分母幂, 故有 :022) 1(2cnadnc, 即022)1(adnc,而22) 1(adn0,故0c. 经检验 , 当0c时nb是等差数列 . 31 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案 （已校对） ）等差数列na的前n项和为nS, 已知232=Sa, 且124,S S S成等比数列 , 求na的通项式 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【答案】32 （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知首项为32的等比数列 na不是递减数列 , 其前n项和为(*)nS nN, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列 . ( ) 求数列 na的通项公式 ; ( ) 设*()1nnnTSnSN, 求数列 nT的最大项的值与最小项的值. 【答案】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 33 （2013 年高考江西卷（理） ）正项数列 an的前项和 an 满足 :222(1)()0nnsnnsnn(1) 求数列 an 的通项公式an; (2) 令221(2)nnbna, 数列 bn 的前n项和为nT. 证明 :对于任意的*nN, 都有564nT【答案】(1) 解: 由222(1)()0nnSnnSnn, 得2() (1)0nnSnnS. 由于na是正项数列 , 所以20,nnSSnn. 于是112,2aSn时,221(1)(1)2nnnaSSnnnnn. 综上 , 数列na的通项2nan. (2) 证明 : 由于2212 ,(2)nnnnan bna. 则222211114(2)16(2)nnbnnnn. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)nTnnnn222211111151(1)162(1)(2)16264nn. 34 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理） 卷（纯 WORD版） ）设数列na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - ( ) 求2a的值; ( ) 求数列na的通项公式 ; ( ) 证明 :对一切正整数n, 有1211174naaaL. 【答案】.(1) 解:Q2121233nnSannn,nN. 当1n时 ,112212221233aSaa又11a,24a(2) 解:Q2121233nnSannn,nN. 321112122333nnnn nnSnannnna当2n时,111213nnnn nSna由 , 得112211nnnnSSnanan n1222nnnaSSQ1211nnnananan n111nnaann数列nan是以首项为111a, 公差为 1 的等差数列 . 21 11,2nnannannn当1n时,上式显然成立 . 2*,nannN(3) 证明 : 由(2) 知,2*,nannN当1n时,11714a,原不等式成立 . 当2n时, 121117144aa,原不等式亦成立. 当3n时, 221111 ,11nnnnnnQ精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 2221211111111111121 32 4211naaannnnnLLL1 111 1111111111112 1322423522211nnnnL1 111111111112 132435211nnnnL1 11117111712 1214214nnnn当3n时,原不等式亦成立. 综上 , 对一切正整数n, 有1211174naaaL. 35 （2013年高考北京卷（理） ）已知 an 是由非负整数组成的无穷数列, 该数列前n项的最大值记为An, 第n项之后各项1na,2na, 的最小值记为Bn,dn=An-Bn .(I) 若an 为 2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列 ( 即对任意nN*,4nnaa), 写出d1,d2,d3,d4的值 ; (II)设d为非负整数 , 证明 :dn=-d(n=1,2,3) 的充分必要条件为an为公差为d的等差数列 ; (III)证明 :若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则an 的项只能是1 或者 2, 且有无穷多项为1. 【答案】(I)12341,3.dddd(II)(充分性 ) 因为na是公差为d的等差数列 , 且0d, 所以12.naaaLL因此nnAa,1nnBa,1(1,2,3,)nnndaadnL. ( 必要性 ) 因为0 (1,2,3,)nddnL, 所以nnnnABdB. 又因为nnaA,1nnaB, 所以1nnaa. 于是nnAa,1nnBa. 因此1nnnnnaaBAdd, 即na是公差为d的等差数列 . (III)因为112,1ad, 所以112Aa,1111BAd. 故对任意11,1nnaB. 假设(2)nan中存在大于2 的项 . 设m为满足2na的最小正整数 , 则2m, 并且对任意1,2kkm a,. 又因为12a, 所以12mA, 且2mmAa. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 于是211mmmBAd,1min,2mmmBaB. 故111220mmmdAB, 与11md矛盾. 所以对于任意1n, 有2na, 即非负整数列na的各项只能为1 或 2. 因此对任意1n,12naa, 所以2nA. 故211nnnBAd. 因此对于任意正整数n, 存在m满足mn, 且1ma, 即数列na有无穷多项为1. 36 （2013 年高考陕西卷（理） ）设 na是公比为q的等比数列 . ( ) 导 na的前n项和公式 ; ( ) 设q 1, 证明数列 1na不是等比数列. 【答案】解:( ) 分两种情况讨论. .111111naaaaSaaqnn的常数数列，所以是首项为时，数列当nnnnnnqaqaqaqaqSaaaaSq1211211时，当. 上面两式错位相减: .)()()()-11123121nnnnnqaaqaqaaqaaqaaaSq（qqaqqaaSnnn-1)1(.-111. 综上 ,) 1(,1)1() 1(,11qqqaqnaSnn( ) 使用反证法 . 设 na是公比q1 的等比数列 , 假设数列 1na是等比数列 . 则当1*naNn，使得=0 成立 , 则1na不是等比数列 . 当01*naNn，使得成立 ,则恒为常数11111111nnnnqaqaaa1,0111111qaqaqann时当. 这与题目条件q1 矛盾 . 综上两种情况, 假设数列 1na是等比数列均不成立, 所以当q1 时, 数列 1na不是等比数列. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -