2022年全等三角形压轴题.pdf

全等三角形压轴题 3 1. 在ABC中，BC=AC ，BCA=90 0，P为直线 AC上一点，过A作 AD BP于 D，交直线BC于 Q （1）如图 1，当 P在线段 AC上时，求证： BP=AQ （2）当 P在线段 AC的延长线上时，请在图2 中画出图形，并求 CPQ （3）如图 3，当 P在线段 CA的延长线上时， DBA = 时， AQ =2BD 2. 我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边如图1，SABD=S ADC ，则 BD=CD 成立请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD是ABC的中线，沿AD翻折ADC，使点C落在点E，DE交AB于F，若ADE与ADB重叠部分面积等于ABC面积的14，问线段AE与线段BD有什么关系在图中按要求画出图形，并说明理由（2）已知：如图3，在ABC中，ACB = 900，AC=2，AB =4 ，点D是AB边的中点，点P是BC边上的任意一点，连接PD，沿PD翻折ADP，使点A落在E，若PDE与PDB重叠部分的面积等于ABP面积的14，直接写出BP的值3. 在ABC中，已知 D为边 BC上一点，若,ABCxBADyoo.（1）当 D为边 BC上一点，并且CD=CA ，40 x，30y时，则 AB _ AC（填“=”或“”）；QCBPDA图 1CBA图 2 QCBPDA图 3CBDA图 1CBDA图 2图 3CBDAP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - DCBA备用图NMCABNMCDAB图 1BAQDCMPG图 2NFE（2）如果把（ 1）中的条件“ CD=CA ”变为“ CD=AB ”，且x,y的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若 CD= CA =AB ，请写出 y 与 x 的关系式及x 的取值范围 .（不写解答过程，直接写出结果）4. 在 RtABC中， AC=BC ，P是 BC垂直平分线MN 上一动点，直线PA交 CB于点 E，F是点 E关于 MN的对称点，直线PF交 AB于点 D，连接 CD交 PA于点 G.（1）如图 1，若 P点在 ABC的边 BC上时，此时点P、E、F 重合，线段 AP上的点Q关于的对称点D恰好在边 AB上，连接 CQ ，求证： CQ平分 ACB ；（2）如图 2，若点 P移到 BC上方，且 CAP= ，求 CDP的度数；（3）若点 P移动到 ABC的内部时，线段AE 、CD 、DF有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论： .5. 如图 1，已知 A（a，0）， B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足221212720abab，OC OA=1 3.（1）求 A、B、C三点的坐标；（2）若 D（1，0），过点 D的直线分别交AB 、BC于 E、F两点，设 E、F 两点的横坐标分别为EFxx、. 当 BD平分 BEF的面积时，求EFxx+的值；DCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - O图 1ABDCyxFExyCAOHMGP图 2ADCBEEBCGFDAABCOyOxyxQFEDBA（3）如图 2，若 M （2，4），点 P 是x轴上 A 点右侧一动点， AH PM于点 H，在 HM上取点 G ，使 HG=HA ，连接 CG ，当点 P在点 A 右侧运动时， CGM 的度数是否改变若不变，请求其值；若改变，请说明理由. 6. 如图，点 D、E 分别在等边 ABC的 AB 、AC上，且 CD BD ，AE EC ，AD和 BE相交于点 F.（1）若 BAD= CBE ，则 AD BE；（填“”、“=”、“”）（2）若 AD=BE ，求证： BAD= CBE ；（3）在（ 2）的条件下，以AB为边作如图所示的等边ABG ，连接 FG ，若 FG=11 ，BF=3，请直接写出线段AF的长度为 .7. 如图 1，已知 A（a，0）， B（0，b）.（1）当a、b满足2288320aabb时，求 BAO的度数；（2）如图 1，在（ 1）的条件下，点C为线段 AB上一点（ BC CA ），以点 C为直角顶点， OC为腰作等腰RtOCD ，连接 BD ，求证： BDO= BCO ；（3）如图 2， ABO的两条角平分线AE 、BF交于点 Q ，若 ABQ的面积为 24，求四边形 AFEB的面积 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 8. 已知：点 A、C分别是 B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA 、BC上的点，直线 AE 、CD相交于点 P(1) 点 D、E分别在线段BA 、BC上 若B60（如图 1），且 AD BE ，BD CE ，则 APD的度数为 _ 若B90（如图 2），且 AD BE ，BD CE ，求 APD的度数(2) 如图 3，点 D 、E分别在线段AB 、BC的延长线上，若B90， AD BC ， APD 45，求证： BD CE9. 已知 A(a，0)、B(0，b)，且满足2a2b24a4b6，以 A为直角顶点，且以AB为腰作等腰直角ABC(1) 求 C点的坐标(2) 如图，若点 C在第二象限，点M在 BC的延长线上，且AM AN ，AM AN ，则 CM与BN存在怎样的关系请予以证明(3) 如图，若点 C在第二象限，以AB为边在直线 AB的另一侧做等边ABD ，连接 CD ，过 A 作 AFBC于 F，AF与 CD交于点 E，试判断线段CE 、AE、CD之间存在何种数量关系，并证明你的结论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 10. 如图（ 1），已知 A(0,a),B(b,0),且 a,b 满足 a2+2ab+b2+（b+3)2=0,D 为x 轴上 B点左边一动点，连AD,过 A 作 AE AD交 x 轴于 F, 且 AE=AD, 连 BE交 y 轴于点 P.(1) 求ABO的度数；(2) 若 AO=3OP, 求 E 点的坐标 ; (3)如图（ 2）若 C为线段 BF(靠近 B)的一个三等分点，且 ACO=600, 试求AFB 的度数。11. （1）如图， ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE 求证： AD=BE （2）如图 2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB= DCE=90 ，点A、D 、E在同一直线上， CM 为DCE边 DE上的高，连接BE 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 求证： 2CM+BE=AE；若将图 2 中的DCE绕点 C旋转至图 3 所示位置，中的结论还成立吗若不成立，写出它们之间的数量关系12. （1）如图 1，在 ABC中， ABC的平分线 BF交 AC于 F，过点 F 作 DFBC ，求证： BD=DF （2）如图 2，在 ABC中， ABC的平分线 BF与A CB的平分线 CF相交于 F，过点 F作 DE BC ，交直线 AB于点 D ，交直线 AC于点 E那么 BD ，CE ，DE之间存在什么关系并证明这种关系（3）如图 3，在 ABC中， ABC的平分线 BF与 ACB的外角平分线CF相交于 F，过点 F 作 DE BC ，交直线 AB于点 D，交直线 AC于点 E那么 BD ，CE ，DE之间存在什么关系。请写出你的猜想（不需证明）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 13. 已知在等腰 ABC中，AB=AC ，在射线 CA上截取线段 CE ，在射线 AB上截取线段BD ，连接 DE ，DE所在直线交直线BC与点 M 。请探究：（1）如图（），当点E在线段 AC上，点 D在 AB延长线上时，若BD=CE ，请判断线段 MD和线段 ME的数量关系，并证明你的结论。（2）如图（ 2），当点 E在 CA的延长线上，点D在 AB的延长线上时，若BD=CE ，则（）中的结论还成立吗如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；（3）如图（ 3），当点 E在 CA的延长线上，点D在线段 AB上（点 D不与 A，B重合）， DE所在直线与直线BC交于点 M ，若 CE BD ，请直接写出线段MD与线段 ME的数量关系。14. 已知两个共一个顶点的等腰直角ABC和等腰直角 CEF ，ABC= CEF=90 ，连接 AF，M是 AF的中点，连接MB 、ME （1）如图 1，当 CB与 CE在同一直线上时，求证：MB CF ；（2）如图 1，若 CB=a ，CE=2a ，求 BM ，ME的长；（3）如图 2，当BCE=45 时，求证：BM=ME 15. 如图， ABC中，AB=AC ，点 P是三角形右外一点，且 APB= ABC 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （1）如图 1，若BAC=60 ，点P恰巧在 ABC的平分线上， PA=2 ，求 PB的长；（2）如图 2，若BAC=60 ，探究PA ，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图 3，若BAC=120 ，请直接写出PA ，PB ，PC的数量关系16. 如图，若ABC和ADE为等边三角形，,M N分别为,EB CD的中点，易证：CDBE，AMN是等边三角形（1）当把ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CDBE是否仍然成立若成立, 请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图11 的位置时，AMN是否还是等边三角形若是，请给出证明，若不是，请说明理由17. 如图，四边形ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形，连接BG与 DE相交于点 H精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （1）证明： ABG ADE ；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD 绕点 A 逆时针旋转（ 0BAE 180），设 ABE的面积为1S，ADG 的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并给予证明18. 直线 CD经过BCA的顶点 C，CA=CB E、F 分别是直线 CD上两点，且BECCFA（1）若直线 CD经过BCA的内部，且E、F 在射线 CD上，请解决下面两个问题：如图 1，若90 ,90BCAoo，则EFBEAF（填“”，“”或“”号）；如图 2，若0180BCAoo，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是；（2）如图 3，若直线 CD经过BCA的外部，BCA，请探究 EF 、与 BE 、AF三条线段的数量关系，并给予证明CFGEDBAHABCEFDDABCEFADFCEB图 1图 2图 3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 19. 如图 1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC. 你认为（ 1）中的结论是否还成立若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.20. 已知RtABC中，ACBC，90C， D 为 AB 边的中点，90EDF，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E 、 F 当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图 1），易证12DEFCEFABCSSS当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立 若成立，请给予证明；若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明FEDCBA图1AECFBD图2AECFBD图321. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形， M是 AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E在 AB边上滑动（点E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM的平分线 BF相交于点 F.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 如图 141，当点 E在 AB边的中点位置时： 通过测量DE ，EF的长度，猜想DE与 EF满足的数量关系是； 连接点 E与 AD边的中点 N，猜想 NE与 BF满足的数量关系是； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E在 AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得 NE=BF ，进而猜想此时DE与 EF有怎样的数量关系并证明22. 在 RtABC中，AC BC ，ACB 90， D是 AC的中点， DG AC交 AB于点 G.（1）如图 1，E为线段 DC上任意一点，点F 在线段 DG上，且 DE=DF ，连结 EF与 CF，过点 F 作 FH FC ，交直线 AB于点 H求证： DG=DC判断 FH与 FC的数量关系并加以证明（2）若 E为线段 DC的延长线上任意一点，点F 在射线 DG上，(1) 中的其他条件不变，借助图2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1) 中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）23. 以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰Rt ACE，90BADCAE. 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系如图 当ABC为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是；线段 AM 与DE的数量关系是；ADBCGE图GHFEDCBA图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由图NMEDCBA图NMEDCBA24. 锐角为 45o 的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板把两块全等的等腰直角三角板按如图1 放置，其中边BC 、FP均在直线 l 上，边 EF与边AC重合(1) 将EFP沿直线 l 向左平移到图2 的位置时， EP交 AC于点 Q，连结 AP ，BQ 猜想并写出 BQ与 AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(2) 将EFP沿直线 l 向左平移到图3 的位置时， EP的延长线交AC的延长线于点Q ，连结 AP ，BQ 你认为 (1) 中所猜想的BQ与 AP的数量关系和位置关系还成立吗若成立，给出证明；若不成立，请说明理由A(E)BC(F)Pl图1EAQB FC Pl图2EFPAlCBQ图3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -