等差数列的前n项和(二)(共17页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上等差数列的前n项和（二）学习目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.知识点一等差数列前n项和及其最值1前n项和公式：Snna1dn2(a1)n.2等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10，d0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值知识点二数列中an与Sn的关系对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为an思考若Snn2n，则an_.答案2n解析n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a1S112122×1，an2n.知识点三裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和常见的拆项方法：(1)()；(2)()；(3)()题型一已知Sn求an例1已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2n23n，试判断数列an是不是等差数列解Sn2n23n，当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1.当n1时，a1S154×11.n1时，适合an4n1.数列的通项公式是an4n1.故数列an是等差数列跟踪训练1本例中，若Sn2n23n1，试判断该数列是不是等差数列解Sn2n23n1.n2时，anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n1.当n1时，a1S164×11.an故数列an不是等差数列题型二等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，9×25d17×25d，解得d2.Sn25n×(2)n226n(n13)2169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同法一，求出公差d2.an25(n1)×(2)2n27.a125>0，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a1>0，d<0.a13>0，a14<0.当n13时，Sn有最大值169.方法四设SnAn2Bn.S9S17，二次函数对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.跟踪训练2已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)·d112n.(2)方法一a19，d2，Sn9n·(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值方法二由(1)知a19，d2<0，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an>0，n6时，an<0.当n5时，Sn取得最大值题型三求数列|an|的前n项和例3已知数列an的前n项和Snn2n，求数列|an|的前n项和Tn.解a1S1×12×1101.当n2时，anSnSn13n104.n1也适合上式，数列an的通项公式为an3n104(nN*)由an3n1040，得n34.7.即当n34时，an>0；当n35时，an<0.(1)当n34时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn2n；(2)当n35时，Tn|a1|a2|a34|a35|an|(a1a2a34)(a35a36an)2(a1a2a34)(a1a2an)2S34Sn2n2n3 502.故Tn跟踪训练3已知等差数列an中，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.解设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S216，S424得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n (nN*)当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2×(5210×5)(n210n)n210n50，故Tn题型四裂项相消法求和例4等差数列an中，a13，公差d2，Sn为前n项和，求.解等差数列an的首项a13，公差d2，前n项和Snna1d3n×2n22n(nN*)，()，(1).跟踪训练4已知数列an的通项公式为an，求数列an的前n项和Sn.解an()，Sn(1)()()()()(1)，Sn.已知Sn求an忽略n1的情况例5已知数列an的前n项和为Snn21，则数列an的通项公式为an_.错解anSnSn1(n21)(n1)212n1.答案2n1错因分析运用anSnSn1求通项公式时，要求n2，只有验证n1满足通项公式后，才能用一个式子来表示，否则必须分段表示正解当n2时，anSnSn1(n21)(n1)212n1.当n1时，a1S11210，不符合上式，an答案误区警示根据前n项和Snan2bnc判断an是不是等差数列时，只有当c0时是等差数列，否则不是1已知数列an的前n项和Snn2，则an等于()An Bn2 C2n1 D2n12已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：d<0；S11>0；S12<0；数列Sn中的最大项为S11，其中正确命题的序号是()A B C D3已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_4数列an的通项公式an，其前n项和Sn9，则n_.5已知数列an的前n项和Sn32n，求an.一、选择题1若数列an的前n项和Snn21，则a4等于()A7 B8 C9 D172数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是()A2 B1 C0 D13设等差数列的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A3 B4 C5 D64已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于()A100 B101 C200 D2015若数列an的前n项和是Snn24n2，则|a1|a2|a10|等于()A15 B35 C66 D1006设数列an是等差数列，若a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A18 B19 C20 D217.等于()A. B.(1) C.() D.(1)二、填空题8若等差数列an满足a7a8a9>0，a7a10<0，则当n_时，数列an的前n项和最大9已知数列an满足a12a23a3nann2，则数列an的通项公式为_10已知数列：1，则其前n项和等于_三、解答题11数列an的前n项和Sn100nn2(nN*)(1)判断an是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设bn|an|，求数列bn的前n项和12在数列an中，a11，an(n2)，求数列an的通项公式13已知数列an，anN*，Sn是其前n项和，Sn(an2)2.(1)求证an是等差数列；(2)设bnan30，求数列bn的前n项和的最小值当堂检测答案1答案D解析当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，又因a11符合an2n1，所以，an2n1(nN*)2答案B解析S6>S7，a7<0，S7>S5，a6a7>0，a6>0，d<0，正确又S11(a1a11)11a6>0，正确S12(a1a12)6(a6a7)>0，不正确Sn中最大项为S6，不正确故正确的是.3答案6或7解析由|a5|a9|且d0得a50，a90，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小4答案99解析an，Sn(1)()()19，n99.5解(1)当n1时，a1S1325.(2)当n2时，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1(n2)又当n1时，a121115，an课时精练答案一、选择题1答案A解析a4S4S3(421)(321)7.2答案B解析等差数列前n项和Sn的形式为Snan2bn，1.3答案C 解析amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以公差dam1am1，由Sm0，得a12，所以am2(m1)·12，解得m5，故选C.4答案A解析A、B、C三点共线a1a2001，S200(a1a200)100.5答案C解析易得an|a1|1，|a2|1，|a3|1，令an>0则2n5>0，n3.|a1|a2|a10|11a3a102(S10S2)2(1024×102)(224×22)66.6答案C解析a1a3a51053a3，a335，a2a4a6993a4，a433，d2，ana3(n3)d412n，令an>0，412n>0，n<，n20.7.答案C解析通项an()，原式(1)()()()()(1)()二、填空题8答案8解析a7a8a93a8>0，a8>0.a7a10a8a9<0，a8>0，a9<0.故前8项的和最大9答案an解析a12a23a3nann2，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n1)2，nan2n1，an.当n1时，a11，符合上式，数列an的通项公式为an.10答案解析2()，所求的和为2(1)()()2(1).三、解答题11解(1)当n2时，anSnSn1(100nn2)100(n1)(n1)21012n.a1S1100×11299适合上式，an1012n(nN*)an1an2为常数，数列an是首项为99，公差为2的等差数列(2)令an1012n0，得n50.5，nN*，n50(nN*)当1n50时，an>0，此时bn|an|an，bn的前n项和Sn100nn2.当n51时，an<0，此时bn|an|an，由b51b52bn(a51a52an)(SnS50)S50Sn，得数列bn的前n项和SnS50(S50Sn)2S50Sn2×2 500(100nn2)5 000100nn2.由得数列bn的前n项和为Sn12解anSnSn1，SnSn1，即(SnSn1)(2Sn1)2S，即Sn1Sn2SnSn1，即2，为等差数列，且1，12(n1)，即Sn.anSnSn1(n2)，又a11，an13(1)证明当n1时，a1S1(a12)2，解得a12.当n2时，anSnSn1(an2)2(an12)2，即8an(an2)2(an12)2，整理得(an2)2(an12)20，即(anan1)(anan14)0.anN*，anan10，anan140，即anan14(n2)故an是以2为首项，4为公差的等差数列(2)解设bn的前n项和为Tn，bnan30，且由(1)知an2(n1)×44n2，bn(4n2)302n31，故数列bn是递增的等差数列令2n310，得n15，nN*，当n15时，bn0；当n16时，bn0，即b1b2b150b16b17，当n15时，Tn取得最小值，最小值为T15×15225.专心-专注-专业