高考数学立体几何部分知识点归纳(共9页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上立体几何直线、平面、简单几何体三个公理、三个推论平面平行直线异面直线相交直线公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念、判定与性质三垂线定理垂直斜交直线与平面所成的角空间直线与平面空间两个平面棱柱棱锥球两个平面平行两个平面相交距离两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质二面角定义及有关概念性质综合应用多面体面积公式体积公式正多面体一、平面的基本性质：公理1 如果一条直线上的 两点 在同一个平面内，那么这条直线上的 所有点 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)公理2 如果两个平面有 一 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 一条直线 (证明多点共线的依据)公理3 经过不在 一条直线上 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论2 经过两条 相交 直线，有且只有一个平面推论3 经过两条 平行 直线，有且只有一个平面【小结归纳】1证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面 2证明点、线共面问题有两种基本方法：先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合 3证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点二、空间直线：1空间两条直线的位置关系为 平行 、 相交 、 异面 2相交直线 有且仅有 一个公共点，平行直线 无 没有公共点，异面直线：不同在任 一个 平面，没有公共点3公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 相等 5异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 不过这点 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6异面直线的距离：和两条异面直线 都垂直相交 的直线称为异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离【小结归纳】1求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角 2证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法 3求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法三、直线和平面平行：1直线和平面的位置关系 平行 、 包含 、 相交 直线在平面内，有 无数个 公共点直线和平面相交，有 一个 公共点直线和平面平行，没有公共点直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外2直线和平面平行的判定定理如果平面外 一条直线 和这个平面内 一条直线 平行，那么这条直线和这个平面平行(记忆口诀：线线平行 线面平行)3直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面 平行 ，且经过 这条直线的另一个 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行(记忆口诀：线面平行 线线平行)【小结归纳】1证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法 2辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用四、直线和平面垂直：1直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的 所有 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直2直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的 两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直性质：若a，b则 ；若a，b则 ；若a，a则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条4点到平面距离过一点作平面的垂线 的线段长度 叫做点到平面的距离5直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离【小结归纳】线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义；(2)判定定理；(3) 面面垂直的性质；(4) 面面平行的性质：若，a则a 。五、三垂线定理：1和一个平面相交，但不和这个平面 垂直 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 交点 2射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 垂线在平面上的射影只是 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线COBA3如图，AO是平面斜线，A为斜足，OB，B为垂足，AC，OAB，BAC，OAC，则cos 4直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线和平面所成角斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 5三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直【小结归纳】1求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决 2三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影 证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线面线线；向量法六、平面和平面平行：1两个平面的位置关系： 2两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行（记忆口诀：面面平行，则线线平行)4两个平行平面距离：和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离【小结归纳】1判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理 2正确运用两平面平行的性质 3注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线线线面面面七、两个平面垂直：1两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直3两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面4异面直线上两点间的距离公式：EF，其中：d是异面直线a、b的 ，为a、b ，m、n分别是a、b上的点E、F到 AA'与a、b的交点A，A'的距离【小结归纳】在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键。八、空间的角：1两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a' a，b' b，把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 2直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角规定： 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角； 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角其范围是 公式：coscos1cos2，其中，1是 ，2是 ，是 3二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角4二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 【小结归纳】1两异面直线所成角的作法： 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线； 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角 2作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影 3平面角的作法： 定义法； 三垂线法； 垂面法 4二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S'Scos来求 5空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成九、空间距离：1点与点的距离：两点间 的长2点与线的距离：点到直线的 的长3平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长4点与面的距离：点到平面的 的长5平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长6两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长7两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长【小结归纳】1对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离 2、求点到平面的距离的方法： 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质 转化法即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求. (3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距. 3距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决具体见第11节的小结4、5两点.十、棱锥、棱柱：（一）棱柱1定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 2性质： 侧棱 ，侧面是 ； 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形3分类： 按底面边数可分为 ； 按侧棱与底面是否垂直可分为：棱柱 4特殊的四棱柱：四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体5长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 （二）棱锥1定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 2性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 3正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥4正棱锥的性质： 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）； 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形【小结归纳】柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点1要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延2要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系3在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个十一、球：1球：与定点的距离 或 定长的点的集合2球的性质(1) 用一个平面去截一个球，截面是 (2)球心和截面圆心的连线 于截面(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系： (4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 被不经过球心的平面截得的圆叫 (5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫 3球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S ；球的体积V 【小结归纳】1因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比2球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题3球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开4计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)专心-专注-专业