人教版平面向量的数量积及平面向量的应用(共7页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b|a|b|cos ，规定0·a0.2向量数量积的运算律(1)a·bb·a；(2)(a)·b(a·b)a·(b)；(3)(ab)·ca·cb·c.来源:学科网ZXXK3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件a·b0x1x2y1y20【问题思考】1若a·ba·c，则bc吗？为什么？提示：不一定a0时不成立，另外a0时，由数量积概念可知b与c不能确定来源:学科网2等式(a·b)ca(b·c)成立吗？为什么？提示：(a·b)ca(b·c)不一定成立(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等来源:学§科§网Z§X§X§K3|a·b|与|a|·|b|的大小之间有什么关系？提示：|a·b|a|·|b|.因为a·b|a|b|cos ，所以|a·b|a|b|cos |a|·|b|.【基础自测】1若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)·b0，则a与b的夹角为()A30° B60° C120° D150°解析：选C(2ab)·b0，2a·bb20，来源:Zxxk.Com2|a|b|cos |b|20.又|a|b|，2cos 10，即cos .又0，即a与b的夹角为120°.2已知向量a(1，1)，b(2，x)，若a·b1，则x()A1 B C. D1解析：选Da(1，1)，b(2，x)，a·b1，2x1，即x1.3设向量a，b满足|a|b|1，a·b，则|a2b|()A. B. C. D.解析：选B|a2b| .4已知两个单位向量a，b的夹角为60°，ct a(1t)b.若b·c0，则t_.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b，由b·c0，得b·t a(1t)b0，即t a·b(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.5已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·_.解析：选向量的基底为，则，那么··()2.【考点分析】【考点一】平面向量数量积的概念及运算例1(1)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D(2)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·，则·的值是_解(1)A(1,1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3,4)，(2,1)，(5,5)，因此cos，向量在方向上的投影为|·cos，×.(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x，2)(0x)，由·xx1，所以F(1,2)，·(，1)·(1，2).【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求·的值及·的最大值解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0a1.·(a，1)·(0，1)a×0(1)×(1)1.·(a，1)·(1,0)a(1)×0a1，故·的最大值为1. 【方法规律】平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b|a|b|cos ；二是坐标公式a·bx1x2y1y2.(2)求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简变式：1若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)·c30，则x_.解析：a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又c(3，x)，(8ab)·c183x30，x4.2若e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，则实数k的值为_解析：e1，e2的模为1，且其夹角.a·b(e12e2)·(ke1e2)kee1·e22ke1·e22ek(12k)cos22k.又a·b0，2k0，即k.【考点二】平面向量的夹角与模的问题1平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题2高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模例2(1)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_(2)已知向量与的夹角为120°，且|3，|2.若，且，则实数的值为_(3)在平行四边形ABCD中， AD1，BAD60°，E为CD的中点若·1, 则AB的长为_ 解(1)由|a|a2b|，两边平方，得|a|2|a2b|2|a|24|b|24a·b，所以a·b|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(2)，·0，()·0，即()·()·22·0.向量与的夹角为120°，|3，|2，(1)| |·cos 120°940，解得.(3)法一：由题意可知，.因为·1，所以()·1，即2·21.因为|1，BAD60°，所以|，即AB的长为.法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD1，BAD60°，可知AM，DM.来源:学科网ZXXK设|AB|m(m>0)，则B(m,0)，C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以，.来源:学科网由·1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故AB的长为.答案(1)(2)5(3)【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，则|a|.变式：1若a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B. C. D.解析：选C2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)·(ab)9，|2ab|3，|ab|3.设所求两向量夹角为，则cos ，又0，故.2已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析：a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)·(kab)0，即ka2ka·ba·bb20.k1ka·ba·b0，即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0，又a与b不共线，cos 1，k1.3已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，则|2|的值为_解析：(2,0)，|2，又(2)，·(2)22·12·0.·.(2)24224·44210.|2|.【考点三】 平面向量数量积的应用例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22a·bb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22a·b2，即a·b0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos()，由0<<，得0<<，又0<<，故.代入sin sin 1，得sin sin ，而>，所以，.【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.变式：设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)若tan tan 16，求证：ab.解：(1)由a与b2c垂直，得a·(b2c)a·b2a·c0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)证明：由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4cos ·4cos sin sin 0，所以ab.小结】1个条件两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为：aba·b0.2个结论与向量夹角有关的两个结论(1)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0°；(2)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或180°.4个注意点向量运算中应注意的四个问题(1)在求ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角如在等边ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a·b0推出a0或b0成立实际上由a·b0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若a·ba·c(a0)，则不一定得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线【巩固练习】1若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60°，则|ab|等于()来源:学_科_网A2 B2 C4 D12解析：选B|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60°442×2×2×12，|ab|2.2平面向量a与b的夹角为60°，且a(2,0)，|b|1，则|ab|()A. B. C3 D4解析：选C|ab|2|a|2|b|22|a|·|b|·cos 60°412×2×1×3.3在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10解析：选C依题意得，·1×(4)2×20.所以，所以四边形ABCD的面积为|·|××5.4. 如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则·()A2 B. C D.解析：选D建系如图设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，(xCxB，yC)，(xB,1)， ，xCxBxBxC(1)xB，yC，(1)xB，)，(0，1)，·.5已知a，b，c均为单位向量，且|ab|1，则(ab)·c的取值范围是()A0,1 ；B1,1； C， ；D0，解析：选C由a、b为单位向量和|ab|1的几何意义，可知|ab|，设ab与c的夹角为，所以(ab)·c|ab|c|cos ，6已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1) ，R，若·，则()A. ； B.；C. ；D.解析：选A以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由，得P(2，0)，由(1) ，得Q(1，(1)，所以·(1，(1)·(21，)(1)·(21)×(1)，解得.7单位圆上三点A，B，C满足0，则向量，的夹角为_解析：A，B，C为单位圆上三点，|1，又0，2()2222·，可得来源:学。科。网cos，向量，的夹角为120°.8.如图所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P, 且AP3，则·_.解析：设PAC，则··22|·cos 2|22×3218.9(2013·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析：当x0时，0，当x0时，24，所以的最大值是2，当且仅当时取到最大值10已知a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围解：a与ab均为非零向量，且夹角为锐角，a·(ab)>0，即(1,2)·(1，2)>0.(1)2(2)>0.>.当a与ab共线时，存在实数m，使abma，即(1，2)m(1,2)，解得0.即当0时，a与ab共线，综上可知，实数的取值范围为(0，)11在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值解：(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为2，4.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，从而5t11，所以t.专心-专注-专业