数学分析(华东师大)第九章定积分(共65页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上第 九 章 定 积 分§1 定积分概念 一 问题提出不定积分和定积分是积分学中的两 大基 本问 题 .求不定 积分 是求导 数的 逆 运算 , 定积分则是某种特殊和式的极 限 , 它们 之间 既有区 别又 有联系 .现 在先 从 两个例子来看定积分概念是怎样提出来的 .1 . 曲边梯形的面积 设 f 为闭区 间 a , b 上 的连 续函 数 , 且 f ( x ) 0 . 由曲线 y = f ( x ) , 直线 x = a , x = b 以及 x 轴所 围成 的平 面图 形 ( 图 9 - 1) , 称 为曲边梯形 .下面讨论曲边梯形的面积 ( 这是求任何曲线边界图形面积的基础 ) .图 9 - 1图 9 - 2在初等数学里 , 圆面积是用一系列边 数无 限增多 的内 接 ( 或 外切 ) 正 多边 形 面积的极限来定义的 .现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积 .在区间 a , b 内任取 n - 1 个分点 , 它们依次为a =x0 <x1 <x2 <<xn - 1 <x n = b,这些点把 a , b 分割成 n 个小区间 xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .再用 直线 x = xi , i = 1 , 2 , n - 1把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形 ( 图 9 - 2 ) .在每个小区间 xi - 1 , xi 上任取一点 i , 作 以 f (i ) 为高 , x i - 1 , xi 为底 的 小矩形 .当分割 a , b 的分点较多 , 又分割得较细密时 , 由于 f 为连续函 数 , 它 在 每个小区间上的值变化不大 , 从而可 用这些 小矩 形的 面积近 似替 代相应 小曲 边专心-专注-专业§1 定积分概念201梯形的面积 .于是 , 这 n 个小矩形 面积 之和 就可 作为 该曲 边梯 形 面积 S 的近 似 值 , 即nS i = 1f (i )xi ( xi =xi -xi - 1 ) .( 1) 注意到 (1 ) 式右边的和式既依赖于对区间 a , b 的分割 , 又与所 有中间点 i ( i = 1 , 2 , , n ) 的 取法 有关 .可 以 想象 , 当 分点 无 限增 多 , 且 对 a , b 无限 细 分 时 , 如果此和式与某一常数无限接近 , 而且与分点 xi 和中间点i 的选取无关 , 则 就把此常数定义作为曲边梯形的面积 S .2 . 变力所作 的 功 设 质 点 受 力 F 的 作 用沿 x 轴由点 a 移动到点 b, 并设 F 处处平行 于 x 轴 ( 图 9 - 3 ) .如 果 F 为 常力 , 则它 对 质点所作的功为 W = F( b - a) .现在的问题是 ,图 9 - 3F 为变力 , 它连续依赖于质点所在位置的坐 标 x , 即 F = F( x) , x a , b 为 一 连续函数 , 此时 F 对质点所作的功 W 又该如何计算 ?由假设 F( x ) 为一 连续 函数 , 故在 很小 的一 段位 移 区间 上 F( x ) 可以 近 似 地看作 一 常 量 .类 似 于 求 曲 边 梯 形 面 积 那 样 , 把 a , b 细 分 为 n 个 小 区 间 xi - 1 , xi , xi = xi - xi - 1 , i = 1 , 2 , , n ; 并在每个小区间上任取一点 i , 就有F( x) F(i ) , x xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .于是 , 质点从 xi - 1 位移到 xi 时 , 力 F 所作的功就近似等于 F(i )xi , 从而nW F(i )xi .( 2)i = 1 同样地 , 对 a , b 作无限细分时 , 若 (2 ) 式右边的和 式与某 一常数无 限接近 ,则就把此常数定义作为变力所作的功 W .上面两个例子 , 一个是计算曲边梯形面积的几何问题 , 另一个是求变力作功 的力学问题 , 它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近 .在科学技术中还有许 多同样类型的数学问题 , 解决这类问 题的思 想方 法概括 说来 就是“分 割 , 近似 求 和 , 取极限”.这就是产生定积分概念的背景 . 二 定积分的定义定义 1 设闭区间 a, b 内有 n - 1 个点 , 依次为a =x0 <x1 <x2 <<xn - 1 <x n = b,它们把 a , b 分成 n 个小 区间 i = xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .这些分 点或这 些 闭子区间构成对 a , b 的一个分割 , 记为T = x0 , x1 , xn 或 1 ,2 ,n .小区间 i 的长度为 xi = x i - xi - 1 , 并记202第九章 定 积 分称为分割 T 的模 . T = max xi ,1 i n注 由于 xi T , i = 1 , 2 , , n , 因此 T 可 用来 反映 a , b 被 分 割的细密程度 .另外 , 分割 T 一旦给出 , T 就随之而确定 ; 但是 , 具有同 一细 度 T 的分割 T 却有无限多个 .定义 2 设 f 是定义在 a , b 上的 一个 函数 .对于 a , b 的一 个 分割 T =1 , 2 ,n , 任取点 i i , i = 1 , 2 , n , 并作和式ni = 1f (i ) xi .称此和式为函数 f 在 a , b 上的一个积分和 , 也称黎曼和 .显然 , 积分和既与分割 T 有关 , 又与所选取的点集 i 有关 .定义 3 设 f 是定义在 a , b 上的 一个 函数 , J 是一 个确 定的实 数 .若对 任 给的正数 , 总存在某一正数 , 使得对 a , b 的任何分割 T , 以及在其上任意选 取的点集 i , 只要 T < , 就有ni = 1f (i )xi - J< ,则称函数 f 在区间 a , b 上可积 或黎 曼可 积 ; 数 J 称为 f 在 a , b 上 的 定积 分或黎曼积分 , 记作bJ =f ( x) d x .( 3)a其中 , f 称为被积函数 , x 称为积分变量 , a , b 称为积分 区间 , a、b 分别 称为 这 个定积分的下限和上限 .以上定义 1 至定义 3 是定积分抽象 概念 的完 整叙述 .下 面是 与定积 分概 念 有关的几点补充注释 .注 1 把定积分定 义的 - 说法和 函数极限 的- 说法相 对照 , 便会 发 现两者有相似的陈述方式 , 因此我们也常用极限符号来表达定积分 , 即把它写作J =lim T 0ni = 1bf (i )xi =f ( x )d x .( 4)a然而 , 积 分 和 的 极 限 与 函 数 的 极 限 之 间 其 实 有 着 很 大 的 区 别 : 在 函 数 极 限limx af ( x) 中 , 对每一个极限变量 x 来说 , f ( x ) 的值是唯 一确定 的 ; 而 对于积分 和的极限而言 , 每一个 T并不唯一对应积分和的一个值 .这使得积 分和的极 限 要比通常的函数极限复杂得多 .注 2 可积性是函数的又一分析性质 .稍后 ( 定理 9 .3) 就会知道连续函数是 可积的 , 于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示 :1) 连 续 曲 线y=f ( x) 0 在 a , b 上 形 成 的 曲 边 梯 形 面 积 为§1 定积分概念203bS =f ( x ) d x;a2) 在 连 续 变 力F ( x ) 作 用 下 , 质 点 从a 位 移 到 b 所 作 的 功 为 W=bF( x )d x .a注 3 ( 定积 分的几 何意 义 ) 由 上 述 1) 看到 , 对 于 a , b 上 的 连 续 函 数 f , 当 f ( x) 0 , x a , b 时 , 定积 分 (3 ) 的几 何 意义就是该曲边梯形的面积 ; 当 f ( x ) 0 ,bx a , b 时 , 这 时 J = - -f ( x) d xa是位 于 x 轴 下 方 的 曲 边 梯形面积的 相 反图 9 - 4数 , 不妨称之为“ 负面积”; 对于一般非定号的 f ( x ) 而 言 ( 图 9 - 4 ) , 定积 分 J 的 值则是曲线 y = f ( x ) 在 x 轴 上方 部分所 有曲 边梯 形的 正面 积与 下 方部 分所 有 曲边梯形的负面积的代数和 .注 4 定积分作为积分和的极限 , 它的值只与被积函数 f 和积分区间 a, b有关 , 而与积分变量所用的符号无关 , 即bbbf ( x) d x =f ( t ) d t =f () d =.aaa 例 1 求 在 区 间 0 , 1 上 , 以抛 物 线 y = x2 为 曲 边 的 曲 边 三 角 形 的 面 积( 图 9 - 5) . 解 由注 3 , 因 y = x2 在 0 , 1 上连 续 , 故所 求面积为1S = x2 d x =limnii2 x.0 T 0i = 1为求得此极限 , 在定 积 分 存 在的 前 提 下 , 允 许 选 择某种特殊的分割 T 和特殊的点集 i .在此只 需取等分分割 :T = 0 , 1, 2, n - 1 , 1 , T = 1 ;n i - 1nn i - 1 in图 9 - 5并取 i =nn, n, i = 1 , 2 , n .则有2nS = lim i - 1· 1= lim 1 n( i - 1) 2n i = 1nnn 3 i = 1n= limn ( n - 1) n (2 n - 1 )16 n3=3 .204第九章 定 积 分习 题1 . 按定积分定义证明:bkd x = k( b - a) .a2 . 通过对 积分区间作等分分割 , 并取适当的点集 i , 把定积分看作是对 应的积分和的 极限 , 来计算下列定积分 :( 1)n1x3 d x; 提示 : i3 = 1 n2 ( n + 1 )20i= 141b( 2)ex d x; (3 )0bex d x;a( 4)d x (0 < a < b) .(提示 : 取 =xx )a x2ii - 1i§2 牛顿莱布尼茨公式从上节例题和习题看到 , 通过求 积分和 的极 限来 计算定 积分 一般是 很困 难 的 .下面要介绍的牛顿莱布尼茨公 式不仅 为定 积分 计算提 供了 一个有 效的 方 法 , 而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来 .定理 9 .1 若函数 f 在 a , b 上连续 , 且 存在原函 数 F , 即 F( x ) = f ( x ) , x a , b , 则 f 在 a , b 上可积 , 且bf ( x ) d x = F( b) -F( a) .( 1)a这称为牛顿莱布尼茨公式 , 它也常写成bbf ( x ) d x = F( x).aa 证 由定积分定 义 , 任给 > 0 , 要 证存 在 > 0 , 当 T < 时 , 有ni = 1f (i ) xi - F( b) -F( a) < .下 面证 明满足 如此 要求 的 确 实是 存在的 .事实上 , 对于 a , b 的任一分割 T = a = x0 , x1 , , xn = b , 在每个小区 间 xi - 1 , xi 上对 F( x) 使用拉 格朗 日中 值 定理 , 则 分别 存 在 i ( xi - 1 , xi ) , i = 1 , 2 , , n , 使得nF( b) -F( a) = F( xi ) -F( xi - 1 ) i = 1n= i = 1nF(i ) xi = i = 1f (i )xi .( 2)因为 f 在 a , b 上连 续 , 从而 一 致 连 续 , 所 以 对 上 述 > 0 , 存 在 > 0 , 当 x、§2 牛顿莱布尼茨公式205x a , b 且 | x- x| < 时 , 有f ( x) -f ( x)< .b -a于是 , 当 xi T < 时 , 任取 i xi - 1 , x i , 便有 |i - i | < , 这就证得ni = 1f (i ) xi - F( b) -F( a) n= f (i ) -f (i ) xii = 1n i = 1f (i ) -f (i ) xib -a< nx= .·ii = 1所以 f 在 a , b 上可积 , 且有公式 (1 ) 成立 .注 1 在应用牛顿莱布尼茨公式时 , F( x ) 可由积分法求得 .注 2 定理条件尚可适当减弱 , 例如 :1) 对 F 的要 求可 减 弱为 : 在 a , b 上连 续 , 在 ( a , b) 内 可导 , 且 F( x ) =f ( x) , x ( a , b) .这不影响定理的证明 .2) 对 f 的要 求可 减 弱为 : 在 a, b 上可 积 ( 不 一定 连 续 ) .这 时 ( 2 ) 式 仍 成b立 , 且由 f 在 a , b 上可积 , (2 ) 式右 边当 T 0 时的 极限 就是f ( x ) d x ,a而左边恒为一常数 .( 更一般的情形参见本节习题第 3 题 .)注 3 至§5 证得连续函数 必有 原函 数之 后 , 本 定理 的条 件中 对 F 的假 设 便是多余的了 .例 1 利用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分 :b1)2)xn d x( n 为正整数 ) ;abe x d x; 3 )ad x (0 < a < b) ;ba x224)sin x d x;5 )0x4 -x2 d x .0解 其中 1 ) 3) 即为 §1 中 的例题和 习题 , 现在 用牛顿莱布 尼茨公式 来 计算就十分方便 :1)b n + 1 xxn d x =an + 1bb= 1( bn + 1 -an + 1 ) .ban + 12)e x d x = e xab= eb - e a .ab3)d x1a x2= -x 11a =a -b .206第九章 定 积 分4)sin x d x = - cos x0= 2 .0( 这是图 9 - 6 所 示 正 弦 曲 线一 拱 下 的 面 积 ,其余各题也可作此联想 .)5 )先 用 不 定 积 分 法 求 出f ( x ) =x4 - x2 的任一原函 数 , 然 后完 成定 积分 计 算 :图 9 - 62x4 -x2 d x = - 124 -x2 d(4 -x2 ) = - 132(4 -x2 ) 3 + C, x4 -x2 d x = - 1(4 -x2 )3= 8 .0303 例 2 利用定积分求极限 :limn 1n + 1+ 1n + 2+ 1 2 n= J . 解 把此极限式化为某个积分和的极限式 , 并转化为计算定积分 .为此作如 下变形 :nJ = lim 1· 1 .n i = 11 + in n不难看出 , 其中的和式是函数 f ( x ) = 1在区间 0 , 1 上 的一 个积分 和 ( 这 里1 + x所取的是等分分割 ,xi = 1 , i = i i - 1 , i, i = 1 , 2 , n ) .所以nnnn11J = d x 0 1 + x = ln ( 1 + x )= ln 2 .0 当然 , 也可把 J 看作 f ( x) = 1 在 1 , 2 上的定积分 , 同样有x23J = d xd x 1x=2x - 1 = ln 2 .习 题1 . 计算下列定积分 :112( 1)( 2 x + 3) d x; ( 2)01 - x d x ;0 1 + x2e 21x- x( 3) d x ;( 4)exln xe- ed x;029( 5)32tan xd x;( 6)04x + 1xd x;§3 可 积 条 件207( 7)4 d xe 12x;( 8) ( ln x) d x .e0 1 +x12 . 利用定积分求极限 :( 1) lim 1 (1 + 23 + n3 ) ;n n4( 2) limn 1+ 1+ 1;n ( n + 1) 2( n + 2) 2( n + n )2( 3) limn 1+ 1+ 1;n n2 + 1n2 + 222 n2( 4) lim 1 sin + sin 2+ sin n - 1.n nnnn3 . 证明 : 若 f 在 a , b 上可积 , F 在 a , b 上连续 , 且除有限个 点外有 F( x ) = f ( x ) , 则有bf ( x )d x = F( b) - F( a) .a§3 可 积 条 件从定理 9 .1 及其后 注 中看 到 , 要 判 别一 个 函数 是 否 可积 , 必须 研 究可 积 条件 . 一 可积的必要条件定理 9 .2 若函数 f 在 a , b 上可积 , 则 f 在 a , b 上必定有界 .证 用反证法 .若 f 在 a , b 上 无界 , 则对 于 a , b 的 任一 分割 T , 必存 在 属于 T 的某个小区间k , f 在 k 上无界 .在 i k 的各个小区间 i 上任意取定 i , 并记G = f (i )xi.i k 现对任意大的正数 M , 由于 f 在 k 上无界 , 故存在 k k , 使得于是有f (k )> M + G.xkni = 1f (i ) xif (k )xk- f (i ) xii k> M + G· xk -G =M .xk由此可见 , 对于无论多小的 T , 按上 述 方法 选取 点集 i 时 , 总 能使 积分 和 的绝对值大于任何预先给出的正数 , 这与 f 在 a, b 上可积相矛盾 .208第九章 定 积 分这个定理指出 , 任何可积函数一 定是 有界的 ; 但要注 意 , 有界 函数却 不一 定 可积 .例 1 证明狄利克雷函数在 0 , 1 上有界但不可积 .D( x) =1 ,x 为有理数 ,0 ,x 为无理数证 显然 | D( x ) | 1 , x 0 , 1 .对于 0 , 1 的任一分割 T , 由有理数和无 理数在 实数中的 稠密性 , 在属 于 Tnn的任一小区间 i 上 , 当取 i 全为有理数时 , D(i ) xi = xi = 1 ; 当 取i = 1ni = 1i 全为无理数时 , D(i ) xi = 0 .所以不论 T 多 么小 , 只要点集 i 取i = 1法不同 ( 全取有理数或全取无理数 ) , 积分和有不同 极限 , 即 D( x) 在 0 , 1 上 不 可积 .由此例可见 , 有界是可积的必要 条件 .所 以在 以后讨 论函 数的可 积性 时 , 总 是首先假设函数是有界的 , 今后不再一一申明 . 二 可积的充要条件要判断一个函数是否可积 , 固然可以根据定义 , 直接考察积分和是否能无限 接近某一常数 , 但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知 , 因此这是极其困难 的 .下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关 , 而不涉及定积分的值 .设 T = i | i = 1 , 2 , , n 为对 a , b 的任一分割 .由 f 在 a , b 上有界 , 它 在每个 i 上存在上、下确界 :Mi = sup f ( x) , mi =inf f ( x ) , i = 1 , 2 , n .x i作和x inS( T ) = i = 1nMi xi , s( T) = i = 1mixi ,分别称为 f 关于 分 割 T 的 上 和 与 下 和 ( 或 称 达 布 上 和 与 达 布 下 和 , 统 称 达 布 和 ) .任给 i i , i = 1 , 2 , n , 显然有ns( T ) i = 1f (i ) xi S ( T) .( 1)与积分和相比较 , 达布和只与分割 T 有关 , 而与点 集 i 无关 .由不等 式 ( 1 ) , 就 能通过讨论上和与下和当 T 0 时的极限来揭示 f 在 a , b 上是否可积 .所 以 , 可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的 .定理 9 .3 ( 可积准则 ) 函数 f 在 a , b 上可积的充要条件是 : 任给 > 0 ,§3 可 积 条 件209总存在相应的一个分割 T , 使得S( T ) - s( T) < .( 2) 本定理的证明依赖对上和与下和性质的详尽讨论 , 这里从略 ( 完整证明补述 于§6) .iiiii设 = M - m , 称为 f 在 上的振幅 , 有必要时也记为 f .由于nS( T ) - s( T) = ixi ( 或记为i xi ) ,因此可积准则又可改述如下 :i = 1T定理 9 .3 函数 f 在 a , b 上 可 积的 充要 条件 是 : 任 给 > 0 , 总存 在相 应 的某一分割 T , 使得i xi < .( 2)T 不等式 (2 ) 或 ( 2) 的几 何意 义 是 : 若 f 在 a , b 上 可 积 , 则 图 9 - 7 中 包 围 曲 线 y = f ( x) 的一系列小矩形面积之和可以达到 任意 小 , 只要分割充分地细 ; 反之亦然 . 三 可积函数类根据可 积 的 充 要 条 件 , 我 们 证 明 下 面 一 些类 型 的 函 数 是 可 积 的 ( 即 可 积 的 充 分 条 件 ) .图 9 - 7定理 9 .4 若 f 为 a , b 上的连续函数 , 则 f 在 a , b 上可积 .证 由于 f 在闭区间 a , b 上 连续 , 因 此在 a , b 上 一致 连续 .这就 是说 ,任给 > 0 , 存在 > 0 , 对 a, b 中任意两点 x、x, 只要 | x- x| < , 便有f ( x) -f ( x)< .b -a所以只要对 a , b 所 作 的分 割 T 满足 T < , 在 T 所 属 的任 一 小区 间 i 上 , 就能使 f 的振幅满足从而导致i =Mi -mi =supx, x i|f ( x) -f ( x) | b -a ,ixi b -a xi = .TT由定理 9 .2证得 f 在 a , b 上可积 .此 等式成 立的 证明留 作本节 习题 ( 第 5 题 ) .210第九章 定 积 分读者应该注意到 , 一致连续性在本定理证明中所起的重要作用 .定理 9 .5 若 f 是区间 a, b上只有有限个间断点的有界函数 , 则 f 在 a, b上可积 .证 不失一般性 , 这里只证明 f 在 a , b 上仅有一个间断点的情形 , 并假 设 该间断点即为端点 b .任给 > 0 , 取 满足 0 < < 2 ( M - m)< b - a , 其中 M 与 m 分别为 f 在 a , b 上的上确界与下确界 ( 设 m < M , 否则 f 为常量函数 , 显然 可积 ) .记 f 在 小区间 = b - , b 上的振幅为 , 则< ( M -m) · 2 ( M -m)= .2 因为 f 在 a , b - 上连续 , 由 定理 9 .3 知 f 在 a , b - 上 可积 .再 由定 理 9 .2( 必要性 ) , 存在对 a , b - 的某个分割 T= 1 ,2 ,n - 1 , 使得2i xi <.T 令n =, 则 T = 1 ,2 , n - 1 ,n 是对 a , b 的一个分割 , 对于 T , 有ixi = i xi + <2 + 2= .TT根据定理 9 .2( 充分性 ) , 证得 f 在 a , b 上可积 .定理 9 .6 若 f 是 a , b 上的单调函数 , 则 f 在 a , b 上可积 .证 设 f 为增函数 , 且 f ( a ) < f ( b) ( 若 f ( a ) = f ( b) , 则 f 为常量 函数 , 显 然可积 ) .对 a , b 的任一分割 T , 由 f 的增 性 , f 在 T 所属的 每个 小区 间 i 上 的振幅为i =f ( xi ) -f ( xi - 1 ) ,于是有nixi f ( xi ) -f ( xi - 1 ) TTi = 1= f ( b) -f ( a) T .由此可见 , 任给 > 0 , 只要 T < , 这时就有f ( b) - f ( a )i xi < ,T所以 f 在 a , b 上可积 .注意 , 单调函数即使有无限多个间断点 , 仍不失其可积性 .例 2 试用两种方法证明函数0 ,x = 0 ,f ( x) =1n , 1n + 1 <x 1n , n = 1 , 2 ,§3 可 积 条 件211在区间 0 , 1 上可积 .证 证法一 由 于 f 是 一增函数 ( 图 9 - 8) ,虽然它在 0 , 1 上有无限多个间断点 xn = 1 , n = 2 ,n3 , 但由定理 9 .5 , 仍保证它在 0 , 1 上可积 . 证法二 ( 仅利用定理 9 .2和定理 9 .4 ) 任给> 0 , 由于 lim 1 = 0 , 因此当 n 充分大时 1 < , 这n nn2说明 f 在, 1 上 只 有 有 限 个 间 断 点 .利 用 定 理29 .4 和定理 9 .2推知 f 在, 1上可 积 , 且存 在对2图 9 - 82 , 1的某一分割 T, 使得2i xi <.T再把小区间 0 , 2与 T合并 , 成为对 0 , 1 的一 个分 割 T .由于 f 在0 , 上2的振幅 0 < 1 , 因此得到i xi = 0 · 2 + i xi <2 + 2= .TT所以 f 在 0 , 1 上可积 .事实上 , 例 2 的第二种证法并不限于该例中的具体函数 , 更一般的命题见本 节习题第 4 题 .下面例 3 的证明思想与它可谓异曲同工 .例 3 证明黎曼函数f ( x ) = 1q ,x = pq , p、q 互素 , q > p ,在区间 0 , 1 上可积 , 且0 ,x = 0 , 1 以及 (0 , 1 ) 内的无理数1f ( x) d x = 0 .0分析 已 知 黎曼 函 数 在 x = 0 , 1 以 及一切无理 点处 连续 , 而 在 ( 0 , 1 ) 内 的 一 切有理点处 间断 .证 明它 在 0 , 1 上 可 积 的直观构思如下 : 如图 9 - 9 所示 , 在黎 曼函数的图象中画一条水平直线 y = .在2图 9 - 9此直线上方只有函数图象中有限个点 , 这