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    数学分析三试卷及答案(共14页).doc

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    数学分析三试卷及答案(共14页).doc

    精选优质文档-倾情为你奉上数学分析(三)参考答案及评分标准一. 计算题(共8题,每题9分,共72分)。1. 求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解: ,因此二重极限为.(4分)因为与均不存在,故二次极限均不存在。 (9分)2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.解: 对两方程分别关于求偏导: , (4分)。解此方程组并整理得. (9分)3. 取为新自变量及为新函数,变换方程。设 (假设出现的导数皆连续).解:看成是的复合函数如下:。 (4分)代人原方程,并将变换为。整理得: 。 (9分)4. 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解: 设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值,其中目标函数: ,约束条件: 。 (3分) 构造Lagrange函数:。令 (6分) 解得,故有 由题意知问题的最小值必存在,当底面半径为高为时,制作圆桶用料最省。 (9分)5. 设,计算.解:由含参积分的求导公式 (5分) 。 (9分)6. 求曲线所围的面积,其中常数.解:利用坐标变换 由于,则图象在第一三象限,从而可以利用对称性,只需求第一象限内的面积。 (3分)则 (6分) . (9分)7. 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线(为一椭圆),从轴的正向看去,是逆时针方向. 解: 取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面,定向为上侧,则的法向量为 。 (3分) 由Stokes公式得 (6分) (9分)8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧.解:椭球的参数方程为,其中且 。 (3分)积分方向向下,取负号,因此, (6分) (9分) 二. 证明题(共3题,共28分)。9.(9分) 讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.解:连续性:当时,当,从而函数在原点处连续。 (3分)可偏导性:, ,即函数在原点处可偏导。 (5分)可微性: 不存在,从而函数在原点处不可微。 (9分)10.(9分) (9分) 设满足:(1)在上连续,(2),(3)当固定时,函数是的严格单减函数。试证:存在,使得在上通过定义了一个函数,且在上连续。证明:(i)先证隐函数的存在性。由条件(3)知,在上是的严格单减函数,而由条件(2)知,从而由函数的连续性得 , 。现考虑一元连续函数。由于,则必存在使得, 。同理,则必存在使得, 。取,则在邻域内同时成立 , 。 (3分)于是,对邻域内的任意一点,都成立 , 。 固定此,考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知,存在的零点使得0。 而关于严格单减,从而使0的是唯一的。再由的任意性,证明了对内任意一点,总能从找到唯一确定的与相对应,即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。(6分)(ii)下证隐函数的连续性。设是内的任意一点,记。对任意给定的,作两平行线, 。由上述证明知 , 。由的连续性,必存在的邻域使得 , , 。对任意的,固定此并考虑的函数,它关于严格单减且, 。于是在内存在唯一的一个零点使,即 对任意的,它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。 (9分)11.(10分)判断积分在上是否一致收敛,并给出证明。证明:此积分在上非一致收敛。证明如下:作变量替换,则。 (3分)不论正整数多么大,当时,恒有。 (5分)因此, (7分) ,当时。因此原积分在上非一致收敛。 (10分)注:不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下:尽管对任意的积分一致有界,且函数关于单调,但是当时,关于并非一致趋于零。事实上,取 相应地取,则,并非趋于零。 数学分析3 模拟试题一、 解答下列各题(每小题5分,共40分)1、 设求;2、求3、设求在点处的值;4、求由方程所确定的函数在点处的全微分;5、求函数在点处的梯度;6、求曲面在点(1,2,0)处的切平面和法线方程;7、计算积分:;8、计算积分:;二、 (10分)求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面。三、 (10分)若是由和两坐标轴围成的三角形区域,且,求四、 (10分)计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .五、 (10分)计算,其中为,的全部边界曲线,取逆时针方向。六、 (10分)计算,其中是半球面。七、 (10分)讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案一、解答下列各题(每小题5分,共40分)1、 设求;解:;。2、求;解:3、设求在点处的值;解:。4、求由方程所确定的函数在点处的全微分;解:在原方程的两边求微分,可得将代入上式,化简后得到5、求函数在点处的梯度;解:。6、求曲面在点(1,2,0)处的切平面和法线方程;解:记在点(1,2,0)处的法向量为:则切平面方程为:即法线方程为:,即。7、计算积分:;解:而在上连续,且在1,2上一致收敛,则可交换积分次序,于是有原式。8、计算积分:;解:交换积分顺序得:八、 求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面。解:设长方体在第一卦限的顶点坐标为(x,y,z),则长方体的体积为:拉格朗日函数为 由 解得:根据实际情况必有最大值,所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大。九、 若D是由和两坐标轴围成的三角形区域,且,求解:十、 计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .解:。十一、 计算,其中为,的全部边界曲线,取逆时针方向。解:由格林公式:所以十二、 计算,其中是半球面。解:十三、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解:,而收敛,所以由M判别法知,在内的一致收敛。 数学分析3 模拟试题十四、 解答下列各题(每小题5分,共40分)1、设,求;2、,求;3、设,求;4、设是方程所确定的与的函数,求;5、求函数在点处沿从点到点的方向导数;6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面,求P点的坐标。7、计算积分:;8、计算积分:;二、 (10分)原点到曲线的最大距离和最小距离。三、(10分)已知,其中为球体:,求四、(10分)计算,其中D是由圆周所围成的区域。五、(10分)计算,其中为圆周,取逆时针方向。六、(10分)计算,其中为锥面被拄面所割下部分。七、 (10分)讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案十五、 解答下列各题(每小题5分,共40分)1、设,求;解:。2、,求;解:。3、设,求;解:。4、设是方程所确定的与的函数,求;解:方程两边求微分,得。5、求函数在点处沿从点到点的方向导数;解:方向即向量的方向,因此x轴到方向的转角。故所求方向导数为:。6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面,求P点的坐标。解:设P点的坐标为,则P点处的切平面为又因该平面与平面平行,则有 ,即。7、计算积分:;解:而在上连续,且在2,3上一致收敛,则可交换积分次序,于是有原式。8、计算积分:;解:交换积分顺序得:三、 原点到曲线的最大距离和最小距离。解:设P(x,y,z)为曲线上任意点,则目标函数为,约束条件为,建立拉格朗日函数:由 得驻点:和,根据实际情况必有最大值和最小值,。四、 已知,其中为球体:,求解:用球坐标计算,得故。四、计算,其中D是由圆周所围成的区域。解:由对称性知:故五、计算,其中为圆周,取逆时针方向。解:由格林公式:所以 。六、计算,其中为锥面被拄面所割下部分。解:在xoy面上的投影为八、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解:当时,而收敛,所以由M判别法知,在内的一致收敛。专心-专注-专业

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