选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)(共14页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上推理与证明单元测试题考试时间120分钟 总分150分一选择题（共50分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ()A在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳出an的通项公式B某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D两条直线平行，同旁内角互补，由此若A，B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则AB180°2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80 C86 D923. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，则72012的末两位数字为（） A01 B43 C07 D494. 以下不等式（其中）正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D35.如图，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，当时，有，从而得其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）A B C D第2件第4件第3件第5件第1件6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 A100 B110 C120 D1307.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)8.把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an，若an=1625，则n=（ ）A833 B820 C832 D539.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则 ,类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若, 则 ( ) A. B. C. D. 10. 函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意xC（CA）有x+tA，使得 f（x+t）f（x）恒成立，则称f（x）为C上的t度低调函数已知定义域为0，+）的函数f（x）=，且f（x）为0，+）上的6度低调函数，那么实数m的取值范围是（）A B。 C D二填空题（共25分）11.用反证法证明命题“存在a、bR，a2+b2<2（ab1）”，正确的反设为_12. 观察下列等式：可以推测：132333n3_ (nN*，用含n的代数式表示)13. 若定义在区间D上的函数f（x）对D上的任意n个值x1，x2，xn，总满足f（x1）+f（x2）+f（xn）f（），则称f（x）为D上的凸函数已知函数y=sinx在区间（0，）上是“凸函数”，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 _14. 在面积为S的正三角形ABC中，E是边AB上的动点，过点E作EFBC，交AC于点F，当点E运动到离边BC的距离为ABC高的时，EFB的面积取得最大值为类比上面的结论，可得，在各棱长相等的体积为V的四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG平面BCD，分别交AC、AD于点F、G，则四面体EFGB的体积的最大值等于_V15.以下是拉面师一个工作环节的数学模型：在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标都变成，原来的坐标变成1，等等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的原坐标是 ；原闭区间上（除两个端点外）的点， 在第次操作完成后（），恰好被拉到与1重合的点所对应的原坐标为 .（用含n的式子表示）10三解答题（共75分）16. 用数学归纳法证明：+（n1，且nN*）17. 用分析法证明：若a0，则18. 已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数19. 如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差（1）证明：一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列；（2）若正项数列an是首项为、公方差为2的等方差数列，且存在实数使得等式成立，求，并证明等式成立。20. 如图1所示为抛物线的一个几何性质：过抛物线y2=4x的焦点F任作直线l与抛物线交于A，B两点，则在x轴上存在定点M（1，0），使直线MF始终是AMB的平分线；如图2所示，对于椭圆，设它的左焦点为F；请写出一个类似地性质；并证明21.如图，、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是 正三角形（是坐标原点）（1）尝试用表示点坐标；（2）求出的值，继而写出、的值；（3）猜想的表达式并用数学归纳法证明.参考答案一选择题（共50分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是 (D)A在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳出an的通项公式B某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D两条直线平行，同旁内角互补，由此若A，B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则AB180°2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为(B)A76 B80C86 D923. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，则72012的末两位数字为（A） A01 B43 C07 D49分析：通过观察前几项，发现末两位数字分别为49、43、01、07、，以4为周期出现重复，由此不难求出72012的末两位数字解：根据题意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=，77=，78=，79=，发现：74k2的末两位数字是49，74k1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、），2012=503×4，72012的末两位数字为01故选A4. 以下不等式（其中）正确的个数是（ C ） A0 B1C2 D35.如图，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，当时，有，从而得离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ B ） ABC D分析：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，当时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，由此可知b2+c2+c2=a2+c2+2ac，整理得c2=a2+ac，即e2e1=0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e解：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，当时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，b2+c2+c2=a2+c2+2ac，b2=c2a2，整理得c2=a2+ac，e2e1=0，解得 ，或 （舍去）故黄金双曲线的离心率6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第8件首饰上应有（C ）颗珠宝。第2件第4件第3件第5件第1件 A100 B110C120 D1307.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是(B)A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析：选B依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第n组整数对的和为n1，且有n个整数对，这样的前n组一共有个整数对，注意到<60<，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个整数对是(5,7)8.把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an，若an=1625，则n=（ A ）A833 B820C832 D539.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则 ,类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若, 则 ( B ) A. B. C. D. 10. 函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意xC（CA）有x+tA，使得 f（x+t）f（x）恒成立，则称f（x）为C上的t度低调函数已知定义域为0，+）的函数f（x）=，且f（x）为0，+）上的6度低调函数，那么实数m的取值范围是（D）A B。 C D二填空题（共25分）11.用反证法证明命题“存在a、bR，a2+b2<2（ab1）”，正确的反设为任意a，bR，a2+b22（ab1）12. 观察下列等式：可以推测：132333n3_n2(n1)2 (nN*，用含n的代数式表示) 解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边比较即可得，132333n3(123n)2n2(n1)2.答案：n2(n1)213. 若定义在区间D上的函数f（x）对D上的任意n个值x1，x2，xn，总满足f（x1）+f（x2）+f（xn）f（），则称f（x）为D上的凸函数已知函数y=sinx在区间（0，）上是“凸函数”，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 14. 在面积为S的正三角形ABC中，E是边AB上的动点，过点E作EFBC，交AC于点F，当点E运动到离边BC的距离为ABC高的时，EFB的面积取得最大值为类比上面的结论，可得，在各棱条相等的体积为V的四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG平面BCD，分别交AC、AD于点F、G，则四面体EFGB的体积的最大值等于V解答：解：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，中位线与中截面进行类比：在面积为S的正三角形ABC中，当点E运动到离边BC的距离为ABC高的时，EFB的面积取得最大值为类比上面的结论，可得，在各棱条相等的体积为V的四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG平面BCD，分别交AC、AD于点F、G，设AE=xAB（0x1），则四面体EFGB的体积V1=x2（1x）V=xx（22x）VV=，最大值等于V四面体EFGB=V四面体AEFG=故答案为：点评：本题考察了立体几何和平面几何的类比推理，一般平面图形的边、面积分别于几何体中的面和体积进行类比，从而得到结论15.以下是面点师一个工作环节的数学模型：在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标都变成，原来的坐标变成1，等等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间上（除两个端点外）的点， 在第次操作完成后（），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 .（用含n的式子表示）10答案：；为中的所有奇数.三解答题（共75分）16. 用数学归纳法证明：+（n1，且nN*）证明：（1）n=2时，左边=，不等式成立；（2）假设n=k（k1，且kN*）时结论成立，即+则n=k+1时，左边=+=+=即n=k+1时结论成立综上，+（n1，且nN*）17. 用分析法证明：若a0，则证明：a0，要证，只要证 +4+4+2（）+4，即证 2 （）只要证4（ ）2（+2），即证2由基本不等式可得 2 成立，故原不等式成立18. 已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1，又(ab)(cd)acbdadbcacbd>1，这与上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数19. 如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差（1）证明：一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列；（2）若正项数列an是首项为、公方差为2的等方差数列，且存在实数使得等式都成立，求，并证明等式成立。解：（1）若数列an是等差数列，设an=an+b（a，bR），则，要使an也是等方差数列，应有（k为与n无关的常数），得a2=0，即a=0，这时an=b必为一常数数列，因此不存在一个非常数数列的等差数列，同时也是等方差数列（5分）（2）由于an是首项为，公方差为2的等方差数列，取n=1,得m=1用数学归纳法证明之。20. 如图1所示为抛物线的一个几何性质：过抛物线y2=4x的焦点F任作直线l与抛物线交于A，B两点，则在x轴上存在定点M（1，0），使直线MF始终是AMB的平分线；如图2所示，对于椭圆，设它的左焦点为F；请写出一个类似地性质；并证明解答：过椭圆的左焦点F（2，0）任作直线l与椭圆交于A，B两点，则在x轴上存在定点，使直线MF始终是AMB的平分线；证明如下：设直线l的方程为y=k（x+2），（k不存在时，显然成立）；由，得（1+5k2）x2+20k2x+20k25=0；，设M（t，0），则；将根与系数的关系式代入，得4t+10=0，即得点21.如图，、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）（1）尝试用表示点坐标；（2）求出的值，继而写出、的值；（3）猜想的表达式并用数学归纳法证明解:（2）.6分（3）依题意，得，由此及得，即由（）可猜想：下面用数学归纳法予以证明：（1）当时，命题显然成立；（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及得，即，解之得（不合题意，舍去），即当时，命题成立 由（1）、（2）知：命题成立.10分专心-专注-专业
