二次根式知识点总结及习题带答案(共11页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上【基础知识巩固】一、 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。二、取值范围1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2、乘法法则：=·（a0，b0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则： （b0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）步骤：如果有括号，根据去括号的法则去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数相同的二次根式。6、混合运算：与有理数的运算一致，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。解：（1）要使有意义，必须，由得， 当时，式子在实数范围内有意义。（2）要使有意义，必须 的范围内。 当时，式子在实数范围内有意义。小练习：1、（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？ （3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数3已知y=+5，求的值4若+有意义，则=_5. 若有意义，则的取值范围是 。最简二次根式 例2：把下列各根式化为最简二次根式：解：同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解： 分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。解：求值：例5：计算：分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解： （1）原式 化简：例6：化简：分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。解：例7：化简练习：解： 化简求值：例8：已知：求：的值。分析：如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。解：小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例9：在实数范围内因式分解： 来源:学*科*网Z*X*X*K1、2x24；【提示】先提取2，再用平方差公式【答案】 2（x）（x）2、x42x23【提示】先将x2看成整体，利用x2pxq（xa）（xb）其中abp，abq分解再用平方差公式分解x23【答案】（x21）（x）（x）例10、综合应用：如图所示的RtABC中，B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、成立的条件是：ABCD2、把化成最简二次根式，结果为：ABCD3、下列根式中，最简二次根式为：ABCD4、已知t<1，化简得：ABC2D05、下列各式中，正确的是：ABCD6、下列命题中假命题是：A设B设C设D设7、与是同类根式的是：ABCD8、下列各式中正确的是：ABCD三、1、化简2、已知： 求：【答案】：一、选择题：1、B2、C3、B4、D5、B6、C7、D8、D9、C10、B 二、计算：三、二次根式测试题（一）1 下列式子一定是二次根式的是（ ）A B C D2若，则（ ）Ab>3 Bb<3 Cb3 Db33若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）Am=0 Bm=1 Cm=2 Dm=34若x<0，则的结果是（ ）A0 B2 C0或2 D25下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A B C D6如果，那么（ ）Ax0 Bx6 C0x6 Dx为一切实数7小明的作业本上有以下四题：；。做错的题是（ ）A B C D8化简的结果为（ ）A B C D9若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（ ）A B Ca=1 Da= 110化简得（ ）A2 B C2 D 11 ； 。12二次根式有意义的条件是 。13若m<0，则= 。14成立的条件是 。15比较大小： 。16 ， 。17计算= 。18的关系是 。19若，则的值为 。20化简的结果是 。21求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1） （2） （3） （4）22化简：（1） （2） （3） （4）23计算：（1） （2） （3）（4） （5） （6）24若x，y是实数，且，求的值。二次根式（一）1C 2D 3B 4D 5A 6B 7D 8C 9C 10A110.3 12x0且x9 13m 14x1 15<16 18 17 18相等 191 2021（1） （2） （3）全体实数 （4）22解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=。23解：（1）原式=49×；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=；（5）原式=；（6）原式=。24解：x10, 1x0,x=1，y<.=.专心-专注-专业