2022年三角函数中辅助角公式的应用.pdf

欢迎共阅辅助角公式在高考三角题中得应用对于形如 y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosxabxaabxbab222222(sincos)。上式中的aab22与bab22的平方和为 1，故可记aab22=cos，bab22=sin，则。)xs i n (ba)s i nxc o sc o sx( s i nbay2222由 此 我 们 得 到 结 论 ： asinx+bcosx=abx22sin() ， （ * ） 其 中 由aabbab2222cos ,sin来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题， 最终化为 y=Asin(x)+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一. 求周期例 1 求函数yxxx24432cos() cos()sin的最小正周期。解：)6x2sin(2x2cosx2sin3x2sin3)2x2sin(x2sin3)4xsin()4xcos(2y所以函数 y 的最小正周期 T=。评注：将三角式化为y=Asin(x)+k 的形式，是求周期的主要途径。二. 求最值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 欢迎共阅例 2. 已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x ,02，求 f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=224sin()x。由 0242434 xx。当244x，即 x=0 时，sin()24x最小值22；当 24238xx，即时sin()24x取最大值 1。从而 f(x)在 ,02上的最大值是 1，最小值是2。三. 求单调区间例 3. 已知向量， axxbx( cos,tan()(sin()2224224，tan()x24，令ba)x(f，求函数 f(x)在0，上的单调区间。解：fxab( ) 先由 04454 xx。反之再由4420424544 ； xxxx。所以 f(x)在04，上单调递增，在4，上单调递减。评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为 y=Asin(x+)+k 的形式，是求单调区间的通法。四. 求值域例 4. 求函数 f xkxkxx( )cos()cos()sin()613261322 332(,)xR kZ的值域。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 欢迎共阅解：。)2x2sin(46sin)x23cos(6cos)x23sin(4)x23sin(32)x23cos(2)x23sin(32)x23k2cos()x23k2cos()x(f所以函数 f(x)的值域是 -4，4。五. 图象对称问题例 6. 如果函数 y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称，那么 a=( ) （A）2（B）2（C）1 （D）-1 解：可化为 yax122sin()。知x8时，y 取得最值 12a ，即六. 图象变换例7 已 知 函 数。Rx, 1xcosxsin23cos21y2该 函 数 的 图 象 可 由yx xRsin ()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：yxx14123421(cos)sin可将函数 y=sinx 的图象依次进行下述变换：（1）向左平移6，得到 y=sin(x+6)的图象；（2）将（ 1）中所得图象上各点横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，得y=)6x2sin(的图象；（3）将（ 2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的21倍，横坐标不变，得y=21sin(2x+6)的图象；（4） 将（3）中所得图象向上平移45个单位长度， 得到 y=21sin(2x+6)+45的图象。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 欢迎共阅综上，依次经过四步变换，可得y=1xcosxsin23xcos212的图象。七. 求值例 8. 已知函数 f(x)=xsin32+sinxcosx。设（0，），f(2)=2341，求sin的值。解：f(x)=x2sin21)x2cos1(23=sin23)3x2(。由 f(2)=sin(3)412323，得 sin(3)=41。又（0，）)34,3(3。而 sin41233，故+),2(3，则cos(+3)=415。sin=sin3)3( =sin3sin)3cos(3cos)3(=23)415(2141=8531。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sin时，巧用凑角法： =（+3）-3，并且判断出 +3的范围，进而求出 cos(+3)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。八. 求系数例 9. 若函数 f(x)=)2xcos(2xsina)x2sin(4x2cos1的最大值为 2， 试确定常数 a 的值。解：f(x)=cos2xsinaxcos4xcos222x=xsin2axcos21=)xsin(4a412，其中角由 sin=22a1acos,a11来确定。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 欢迎共阅由已知有44a412，解得 a=15。九. 解三角不等式例 10. 已知函数 f(x)=sin2x+sin2x，x2,0，求使 f(x)为正值的 x 的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x =1+)4x2sin(2。由 f(x)0，有 sin(2x-,22)4则得 2k-45k24x24，故 kxk+)Zk(43。再由 x0,2，可取 k=0，1，得所求集合是47 x ，43x0 x或。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -