2022年三角函数大题专项.pdf

三角函数专项训练1在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2Asin2C）（ab）sinB（1）证明a2+b2c2ab；（2）求角C和边c2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinAacos（B） （）求角B的大小；（）设a2，c3，求b和 sin （2AB）的值3已知 ， 为锐角， tan ， cos（ +）（1）求 cos2 的值；（2）求 tan （）的值4在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5（1）求 cosADB；（2）若DC2，求BC5已知函数f（x） sin2x+sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间 ，m 上的最大值为，求m的最小值6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知asinA4bsinB，ac（a2b2c2）（）求cosA的值；（）求sin （2BA）的值7设函数f（x） sin （x） +sin （x） ，其中 0 3，已知f（） 0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在 ， 上的最小值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 8在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a 5，c6，sinB（）求b和 sinA的值；（）求sin （2A+）的值9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC1，a3，求ABC的周长10ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin （A+C） 8sin2（1）求 cosB；（2）若a+c6，ABC的面积为 2，求b11已知函数f（x） cos（2x） 2sinxcosx（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x ， 时，f（x）12已知向量（cosx，sinx） ，（ 3，），x 0 ， （1）若，求x的值；（2）记f（x），求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值13在ABC中，A60，ca（1）求 sinC的值；（2）若a7，求ABC的面积14已知函数f（x） 2sin xcosx+cos2x（ 0）的最小正周期为（1）求 的值；（2）求f（x）的单调递增区间15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c2acosB（1）证明：A2B；（2）若 cosB，求 cosC的值16设f（x） 2sin （x）sinx（ sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，再把得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（）的值17在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2BbsinA（1）求B；（2）已知 cosA，求 sinC的值18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c2acosB（）证明：A2B；（）若ABC的面积S，求角A的大小19在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 +（）证明：sinAsinBsinC；（）若b2+c2a2bc，求 tanB20在ABC中，AC6，cosB，C（1）求AB的长；（2）求 cos（A）的值21已知函数f（x） 4tanxsin （x） cos（x）（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间 ， 上的单调性22ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）c（）求C；（）若c，ABC的面积为，求ABC的周长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 参考答案1在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2Asin2C）（ab）sinB（1）证明a2+b2c2ab；（2）求角C和边c【解答】 证明： （1）在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，由正弦定理得：2R2，sinA， sinB， sinC，2（sin2Asin2C）（ab）sinB，2（）（ab） ? ，化简，得：a2+b2c2ab，故a2+b2c2ab解： （2）a2+b2c2ab，cosC，解得C，c2sinC2?2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinAacos（B） （）求角B的大小；（）设a2，c3，求b和 sin （2AB）的值【解答】 解： （）在ABC中，由正弦定理得，得bsinAasinB，又bsinAacos（B） asinBacos（B） ，即 sinBcos（B） cosBcos+sinBsin cosB+，tanB，又B（ 0，） ，B（）在ABC中，a 2，c3，B，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 由余弦定理得b，由bsinAacos（B） ，得 sinA，ac， cosA，sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，sin （2AB） sin2AcosBcos2AsinB3已知 ， 为锐角， tan ， cos（ +）（1）求 cos2 的值；（2）求 tan （）的值【解答】 解： （1）由，解得，cos2；（2）由（ 1）得， sin2 ，则 tan2 ，（0， ） ， +（ 0，） ，sin （ +）则 tan （ +）tan （）tan2 （ +） 4在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5（1）求 cosADB；（2）若DC2，求BC【解答】 解： （1）ADC90，A45，AB2，BD5由正弦定理得：，即，sin ADB，ABBD，ADBA，cosADB（2）ADC90， cosBDCsin ADB，DC2，BC 5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 5已知函数f（x） sin2x+sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间 ，m 上的最大值为，求m的最小值【解答】 解： （I）函数f（x） sin2x+sinxcosx+sin2xsin （2x） +，f（x）的最小正周期为T；（）若f（x）在区间 ，m 上的最大值为，可得 2x ， 2m ，即有 2m，解得m，则m的最小值为6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知asinA4bsinB，ac（a2b2c2）（）求cosA的值；（）求sin （2BA）的值【解答】（）解：由，得asinBbsinA，又asinA4bsinB，得 4bsinBasinA，两式作比得： ，a2b由，得，由余弦定理，得；（）解：由（） ，可得，代入asinA4bsinB，得由（）知，A为钝角，则B为锐角，于是， ，故7设函数f（x） sin （x） +sin （x） ，其中 0 3，已知f（） 0（）求；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - （）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在 ， 上的最小值【解答】 解： （）函数f（x） sin （x） +sin （x）sin xcoscosxsin sin （x）sin x cosxsin （x） ，又f（） sin （） 0，k，kZ，解得 6k+2，又 0 3， 2；（）由（）知，f（x） sin （ 2x） ，将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变） ，得到函数ysin （x）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到ysin （x+）的图象，函数yg（x） sin （x） ；当x ， 时，x ， ，sin （x） ， 1 ，当x时，g（x）取得最小值是8在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a 5，c6，sinB（）求b和 sinA的值；（）求sin （2A+）的值【解答】 解： （）在ABC中，ab，故由 sinB，可得cosB由已知及余弦定理，有13，b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 由正弦定理，得sinAb， sinA；（）由（）及ac，得 cosA， sin2A2sinAcosA，cos2A1 2sin2A故 sin （2A+）9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC1，a3，求ABC的周长【解答】 解： （1）由三角形的面积公式可得S ABCacsinB，3csinBsinA2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA2sinA，sinA0，sinBsinC；（2） 6cosBcosC1，cosBcosC，cosBcosCsinBsinC，cos（B+C），cosA，0A，A， 2R 2，sinBsinC?，bc8，a2b2+c22bccosA，b2+c2bc9，（b+c）29+3cb9+2433，b+c精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 周长a+b+c3+10ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin （A+C） 8sin2（1）求 cosB；（2）若a+c6，ABC的面积为 2，求b【解答】 解： （1）sin （A+C） 8sin2，sinB4（1cosB） ，sin2B+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B10，16（cosB1）2+（cosB1） （cosB+1） 0，（ 17cosB15） （ cosB1） 0，cosB；（2）由（ 1）可知 sinB，SABCac?sinB2，ac，b2a2+c22accosBa2+c22a2+c215（a+c）22ac153617154，b211已知函数f（x） cos（2x） 2sinxcosx（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x ， 时，f（x）【解答】 解： （）f（x） cos（2x） 2sinxcosx，（co2x+sin2x） sin2x，cos2x+sin2x，sin （2x+） ，T，f（x）的最小正周期为，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - （）x ， ，2x+ ， ， sin （2x+） 1，f（x）12已知向量（cosx，sinx） ，（ 3，），x 0 ， （1）若，求x的值；（2）记f（x），求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值【解答】 解： （1）（ cosx，sinx） ，（ 3，）， cosx 3sinx，当 cosx 0 时， sinx1，不合题意，当 cosx 0 时， tanx，x0 ， ，x，（2）f（x） 3cosxsinx2（cosxsinx） 2cos（x+） ，x0 ， ，x+ ， ， 1cos（x+），当x0 时，f（x）有最大值，最大值3，当x时，f（x）有最小值，最小值213在ABC中，A60，ca（1）求 sinC的值；（2）若a7，求ABC的面积【解答】 解： （1）A60，ca，由正弦定理可得sinC sinA，（2）a7，则c3，CA，sin2C+cos2C1，又由（ 1）可得 cosC，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - sinBsin （A+C） sinAcosC+cosAsinC +，SABCacsinB 73 614已知函数f（x） 2sin xcosx+cos2x（ 0）的最小正周期为（1）求 的值；（2）求f（x）的单调递增区间【解答】 解：f（x） 2sin xcosx+cos2x，sin2 x+cos2x，由于函数的最小正周期为，则：T，解得： 1（2）由（ 1）得：函数f（x），令（kZ） ，解得： （k Z） ，所以函数的单调递增区间为： （kZ） 15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c2acosB（1）证明：A2B；（2）若 cosB，求 cosC的值【解答】（1）证明：b+c2acosB，sinB+sinC2sinAcosB，sinCsin （A+B） sinAcosB+cosAsinB，sinBsinAcosBcosAsinBsin （AB） ，由A，B（ 0，） ，0AB，BAB，或B（AB） ，化为A 2B，或A（舍去）A2B（II）解： cosB， sinBcosAcos2B2cos2B 1， sinAcosC cos（A+B） cosAcosB+sinAsinB+精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 16设f（x） 2sin （x）sinx（ sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（）的值【解答】 解： （）f（x） 2sin （x）sinx（ sinxcosx）2 2sin2x1+sin2x2?1+sin2xsin2xcos2x+ 12sin （2x） +1，令 2k 2x 2k +，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+ ，kZ（）把yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，可得y2sin （x） +1 的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x） 2sinx+1 的图象，g（） 2sin+ 117在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2BbsinA（1）求B；（2）已知 cosA，求 sinC的值【解答】 解： （1）asin2BbsinA，2sinAsinBcosB sinBsinA，cosB，B（2） cosA， sinA，sinCsin （A+B） sinAcosB+cosAsinB18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c2acosB（）证明：A2B；（）若ABC的面积S，求角A的大小【解答】（）证明：b+c2acosB，sinB+sinC2sinAcosB，sinB+sin （A+B） 2sinAcosB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - sinB+sinAcosB+cosAsinB2sinAcosBsinBsinAcosBcosAsinBsin （AB）A，B是三角形中的角，BAB，A2B；（）解：ABC的面积S，bcsinA，2bcsinAa2，2sinBsinCsinAsin2B，sinCcosB，B+C90，或CB+90，A90或A4519在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 +（）证明：sinAsinBsinC；（）若b2+c2a2bc，求 tanB【解答】（）证明：在ABC中， +，由正弦定理得： ，sin （A+B） sinC整理可得：sinAsinBsinC，（）解：b2+c2a2bc，由余弦定理可得cosAsinA，+ 1，tanB420在ABC中，AC6，cosB，C（1）求AB的长；（2）求 cos（A）的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 【解答】 解： （1）ABC中， cosB，B（ 0，），sinB，AB 5；（2）cosA cos（A） cos（C+B） sinBsinCcosBcosCA为三角形的内角，sinA，cos（A） cosA+sinA21已知函数f（x） 4tanxsin （x） cos（x）（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间 ， 上的单调性【解答】 解： （1）f（x） 4tanxsin （x）cos（x）xk+，即函数的定义域为x|xk+，kZ ，则f（x） 4tanxcosx? （cosx+sinx）4sinx（cosx+sinx）2sinxcosx+2sin2xsin2x+（ 1cos2x）sin2xcos2x2sin （2x） ，则函数的周期T；（2）由 2k 2x 2k+，kZ，得kxk+，kZ，即函数的增区间为（k，k+） ，kZ，当k0 时，增区间为（， ） ，kZ，x， ，此时x（， ，由 2k+2x 2k+，kZ，得k+xk+，k Z，即函数的减区间为（k+，k+） ，kZ，当k 1 时，减区间为（，），kZ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - x， ，此时x ，），即在区间 ， 上，函数的减区间为 ，），增区间为（， 22ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）c（）求C；（）若c，ABC的面积为，求ABC的周长【解答】 解： （）在ABC中， 0C， sinC 0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA） sinC，整理得： 2cosCsin （A+B） sinC，即 2cosCsin （A+B） ） sinC2cosCsinCsinCcosC，C；（）由余弦定理得7a2+b2 2ab? ，（a+b）23ab7，SabsinCab，ab6，（a+b）2187，a+b5，ABC的周长为5+精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -