2022年三角函数极限等价无穷小公式.pdf

名师推荐精心整理学习必备三角函数公式整合：两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A= （2tanA ）/（1-tanA2）和差化积sin +sin = 2 sin( +)/2 cos( -)/2 sin -sin = 2 cos( +)/2 sin( -)/2 cos+cos = 2 cos( +)/2 cos( -)/2 cos-cos = -2 sin( +)/2 sin( -)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sin sin = -1/2*cos(+)-cos( -) coscos = 1/2*cos(+)+cos( -) sin cos = 1/2*sin(+)+sin( -)cossin = 1/2*sin(+)-sin( -)诱导公式sin(- ) = -sin cos(- ) = cossin( /2-) = cos cos( /2-) = sin sin( /2+) = cos cos( /2+) = -sin sin( -) = sin 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备cos( -) = -cossin( +) = -sin cos( +) = -cos tanA= sinA/cosA tan （ /2 ） cot tan （ /2 ） cot tan （ ） tan tan （ ） tan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式1. 极限的概念（1）数列的极限：0，N（正整数），当Nn时，恒有AxnAxnnlim或Axn)(n几何意义：在),(AA之外，nx至多有有限个点Nxxx,21（2）函数的极限x的极限：0，0X，当Xx时，恒有Axf)(Axfx)(lim或Axf)()(x几何意义：在（)XxX之外，)(xf的值总在),(AA之间。0 xx的极限：0，0，当00 xx时，恒有Axf)(Axfxx)(lim0或Axf)()(0 xx几何意义：在0000(,)(,)xxxx x邻域内，)(xf的值总在),(AA之间。（3） 左右极限左极限：0，0，当00 xxx时，恒有Axf)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备Axfxx)(lim0或Axfxf)0()(00右极限：0，0，当00 xxx时，恒有Axf)(Axfxx)(lim0或Axfxf)0()(00极限存在的充要条件：00lim( )lim( )xxxxfxAf x（4）极限的性质唯一性：若Axfxx)(lim0，则A唯一保号性：若Axfxx)(lim0，则在0 x的某邻域内0A(0)A( )0f x( )0)f x；( )0f x( )0)f x0A(0)A有界性：若Axfxx)(lim0，则在0 x的某邻域内，)(xf有界2. 无穷小与无穷大（1）定义：以0 为极限的变量称无穷小量；以为极限的变量称无穷大量；同一极限过程中，无穷小（除0 外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。注意：0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。例如当x时，xxsin是无界变量，但不是无穷大量。（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；Axfxx)(lim0成立的充要条件是Axf)(（00(,)xxx，0lim）（3）无穷小的比较（设0lim，0lim） ：若lim0，则称是比高阶的无穷小， 记为( )o； 特别称为()o的主部若lim，则称是比低阶的无穷小；若limC，则称与是同阶无穷小；若lim1，则称与是等价无穷小，记为；若limkC， （0,0 kC）则称为的k阶无穷小；（4）无穷大的比较：若lim u，lim v，且limuv，则称u是比v高阶的无穷大，记为1( )o v；特别u称为1( )uvo vv的主部3. 等价无穷小的替换精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备若同一极限过程的无穷小量，且lim存在，则( )( )limlim( )( )f xf xg xg x(lim0)常用等价无穷小sintanarcsinarctanln(1)111e2111cos211121(1)11 lnnnaa注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形；（3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即若lim()(0)ff，则() ()ff4. 极限运算法则 （设Axf)(lim，Bxg)(lim）（1）)()(limxgxf)(limxfBAxg)(lim（2）)()(limxgxf)(limxfBAxg)(lim特别地，)(lim)(limxfCxCf，nxf)(limnnAxf)(lim（3）)()(limxgxfBAxgxf)(lim)(lim(0B) 5. 准则与公式 （lim0，lim0）准则 1： （夹逼定理）若)()()(xxfx，则Axx)(lim)(limAxf)(lim准则 2： （单调有界数列必有极限）若nx单调，且nxM（0M） ，则limnnx存在（nx收敛）准则 3： （主部原则）()limlim()oo；1111121212()()limlim()()oooo精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备公式 1：0sinlim1xxxsi nl i m1公式 2：10lim(1)1lim(1)xxnnxen1l i m ( 1)1l i m ( 1)e公式 3：limlim(1)e，一般地，limlim(1)ffe公式 4：1101100limlimnnnnnnnmmmxxmmmmnma xaxaa xanmb xbxbb xbnm6. 几个常用极限(0,1)aa（1）1limnna，1limnnn；（2）1lim0 xxx，limxxx；（3）10limxxe，10lim0 xxe；（4）0lim lnxx；（5）001lim arctan21lim arctan2xxxx；（6）011lim111nnqqqqq不存在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -