《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(共14页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上选修45不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解2含有绝对值的不等式的性质|a|b|a±b|a|b|.问题探究：不等式|a|b|a±b|a|b|中，“”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|.3基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均值不等式)如果a1、a2、an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立4柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2b2)·(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(iN*)为实数，则()()(ibi)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|·|·|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立1判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)对|ab|a|b|当且仅当a>b>0时等号成立()(2)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(3)|axb|c(c>0)的解等价于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|<2的解集为Ø.()(5)若实数x、y适合不等式xy>1，xy>2，则x>0，y>0.()答案(1)×(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x<1的解集是()Ax|0<x<2 Bx|1<x<2Cx|0<x<1 Dx|1<x<3解析解法一：x1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.解法二：令f(x)则f(x)<1的解集为x|0<x<2答案A3设|a|<1，|b|<1，则|ab|ab|与2的大小关系是()A|ab|ab|>2 B|ab|ab|<2C|ab|ab|2 D不能比较大小解析|ab|ab|2a|<2.答案B4若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值为()A1 B C. D2解析()2(1×1×1×)2 (121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.故应选C.答案C5若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为2a4.答案2a4考点一含绝对值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(1)(2015·山东卷)不等式|x1|x5|<2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax2|<3的解集为，则a_.解题指导切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论解析(1)当x<1时，不等式可化为(x1)(x5)<2，即4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当1x5时，不等式可化为x1(x5)<2，即2x6<2，解得x<4，又1x5，所以此时不等式的解集为1,4)；当x>5时，不等式可化为(x1)(x5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为(，4)故选A.(2)|ax2|<3，1<ax<5.当a>0时，<x<，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a<0时，<x<，又不等式的解集为，故a3.答案(1)A(2)3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值 对点训练已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2<x<3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0考点二利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|xa|xb|>c或|xa|xb|<c的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性|xa|xb|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和，应注意x的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_(2)不等式|x1|x2|>k的解集为R，则实数k的取值范围是_解题指导切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2a23，解得a.即实数a的取值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PAPB>k恒成立AB3，即|x1|x2|3.故当k<3时，原不等式恒成立解法二：令y|x1|x2|，则y要使|x1|x2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<3即可故k<3满足题意答案(1)(2)(，3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立a>f(x)max，f(x)>a恒成立a<f(x)min. 对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)|2xa|a，aR，g(x)|2x1|.(1)若当g(x)5时，恒有f(x)6，求a的最大值；(2)若当xR时，恒有f(x)g(x)3，求a的取值范围解(1)g(x)5|2x1|552x152x3；f(x)6|2xa|6aa62xa6aa3x3.依题意有，a32，a1.故a的最大值为1.(2)f(x)g(x)|2xa|2x1|a|2xa2x1|a|a1|a，当且仅当(2xa)(2x1)0时等号成立解不等式|a1|a3，得a的取值范围是2，)考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件(2015·新课标全国卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若ab>cd，则>；(2)>是|ab|<|cd|的充要条件解题指导切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，ab>cd得()2>()2.因此>.(2)若|ab|<|cd|，则(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因为abcd，所以ab>cd.由(1)得>.若>，则()2>()2，即ab2>cd2.因为abcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.综上，>是|ab|<|cd|的充要条件分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 对点训练(2014·新课标全国卷)设a、b、c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.方法规律总结方法技巧1绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号2绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件3在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数易错点睛1对含有参数的不等式求解时，分类要完整2应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件 课时跟踪训练(七十)一、填空题1不等式|2x1|<3的解集为_解析|2x1|<33<2x1<31<x<2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|<2的解集为_解析当x时，原不等式等价为(2x1)(x1)<2，即3x<2，x>，此时<x.当<x<1时，原不等式等价为(2x1)(x1)<2，即x<0，此时<x<0.当x1时，原不等式等价为(2x1)(x1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为<x<0，即原不等式的解集为.答案4已知关于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当k<1时，不等式|x1|x|k无解，故k<1.答案(，1)5(2015·西安统考)若关于实数x的不等式|x5|x3|<a无解，则实数a的取值范围是_解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，86(2015·重庆卷)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.解析当a1时，f(x)3|x1|0，不满足题意；当a<1时，f(x)f(x)minf(a)3a12a5，解得a6；当a>1时，f(x)f(x)minf(a)a12a5，解得a4.答案6或47若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_解析f(x)|x1|x2|f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即a3或a3.答案(，33，)8已知关于x的不等式|xa|1x>0的解集为R，则实数a的取值范围是_解析若x1<0，则aR；若x10，则(xa)2>(x1)2对任意的x1，)恒成立，即(a1)(a1)2x>0对任意的x1，)恒成立，所以(舍去)或对任意的x1，恒成立，解得a<1.综上，a<1.答案(，1)9设a，b，c是正实数，且abc9，则的最小值为_解析(abc)()2()2()2218，2，的最小值为2.答案210(2014·陕西卷)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则 的最小值为_解析由柯西不等式，得(a2b2)(m2n2)(ambn)2，即5(m2n2)25，m2n25，当且仅当anbm时，等号成立的最小值为.答案11对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为_解析|x1|x|y1|y1|(|1x|x|)(|1y|1y|)|(1x)x|(1y)(1y)|123，当且仅当(1x)·x0，(1y)·(1y)0，即0x1，1y1时等号成立，|x1|x|y1|y1|的最小值为3.答案312若不等式|x1|x4|a，对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是_解析只要函数f(x)|x1|x4|的最小值不小于a即可由于|x1|x4|(x1)(x4)|5，所以5|x1|x4|5，故只要5a即可当a>0时，将不等式5a整理，得a25a40，无解；当a<0时，将不等式5a整理，得a25a40，则有a4或1a<0.综上可知，实数a的取值范围是(，41,0)答案(，41,0)二、解答题13已知不等式2|x3|x4|<2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式即为2|x3|x4|<2，若x4，则3x10<2，x<4，舍去；若3<x<4，则x2<2，3<x<4；若x3，则103x<2，<x3.综上，不等式的解集为.(2)设f(x)2|x3|x4|，则f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示由图象可知，f(x)1，2a>1，a>，即a的取值范围为.14(2015·新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)当a1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)>1化为|x1|2|x1|1>0.当x1时，不等式化为x4>0，无解；当1<x<1时，不等式化为3x2>0，解得<x<1；当x1时，不等式化为x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，)15设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，f(x)作出函数f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式f(x)3的解集为.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若a<1，f(x)f(x)的最小值为1a；若a>1，f(x)f(x)的最小值为a1.对于xR，f(x)2的充要条件是|a1|2，a的取值范围是(，13，)16(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a>0，b>0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.专心-专注-专业