2022年上海市七宝中学高三模拟考试数学理试题含答案.pdf

数学试题（理答）一、填空题（本大题满分56 分）1. 函数0.5logyx的定义域为 _. 2. 已知2|,My yxxR，22|2, ,Nx xyx yR，则MN_. 3. 在41(1)(1)xx的展开式中2x项的系数为 _. 4. 已知地球的半径为R，在北纬45东经30有一座城市A，在北纬45西经60有一座城市B，则坐飞机从城市A飞到B的最短距离是 _. （飞机的飞行高度忽略不计）5. 已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差D_. 6. 在极坐标系中， 点(2,)A，(2,)2B，C为曲线2cos的对称中心， 则三角形ABC面积等于 _. 7. 高三（ 1）班班委会由4 名男生和 3 名女生组成，现从中任选3 人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是_. （结果用最简分数表示）8. 在复数范围内，若方程22012690 xx的一个根为，则|_. 9. 将sin3( )cos1xf xx的图象按(,0)(0)naa平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a的最小值为 _. 10. 已知( )yf x是定义在R上的增函数，且( )yf x的图象关于点(6,0)对称 . 若实数, x y满足不等式22(6 )(836)0f xxfyy，则22xy的取值范围是_. 11. 函数( )f x对任意12, xxm n，都有1212|( )( ) | |fxfxxx，则称( )fx为在区间, m n上的可控函数，区间, m n称为函数( )f x的“可控”区间，写出函数2( )21f xxx的一个“可控”区间是_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 12. 椭圆22221(0)43xyaaa的左焦点为F， 直线xm与椭圆相交于点AB， 当FAB的周长最大时，FAB的面积是 _. 13. 用符号( x表示小于x的最大整数，如(3，( 1,22，有下列命题：若函数( )( ,f xxx xR，则( )f x的值域为 1,0)；若(1,4)x，则方程1( 5xx有三个根；若数列na是等差数列，则数列(na也是等差数列；若57,3, 32x y，则( ( 2xy的概率为29P. 则所有正确命题的序号是_. 14. 设( )cos2 ()cxf xaxbxxR，, ,a b cR且为常数 . 若存在一公差大于0 的等差数列*()nxnN，使得()nf x为一公比大于1 的等比数列， 请写出满足条件的一组, ,a b c的值（答案不唯一，一组即可）二、选择题（本大题满分20 分）15. 若直线l的一个法向量(3,1)n，则直线l的一个方向向量d和倾斜角分别为（）A(1,3)d，arctan3 B(1, 3)d，arctan( 3)C(1,3)d，arctan3 D(1, 3)d，arctan316. 在ABC中， “coscoscos0ABC”是“ABC为钝角三角形”的（）A充分必要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既不充分又不必要条件17. 定义域是一切实数的函数( )yf x，其图象是连续不断的，且存在常数()R使得()( )0f xf x对任意实数x都成立， 则称( )f x是一个 “伴随函数” . 有下列关于“伴随函数” 的结论： ( )0f x是常数函数中唯一一个“伴随函数” ；“12伴随函数”至少有一个零点；2( )f xx是一个“伴随函数” ；其中正确结论的个数是（）A1 个 B2 个 C3个 D0 个18. 已知数据123,nx xxx是上海普通职工*(3,)n nnN个人的年收入， 设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入1nx，则这1n个数据中，下列说法正确的是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - A年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）19. （本题满分12 分，其中第1小题 6 分，第 2 小题 6 分）在直三棱柱111ABCA B C中，1ABAC，90BAC，且异面直线1A B与11B C所成的角等于60，设1AAa. （1）求a的值；（2）求直线11B C到平面1A BC的距离 . 20. （本题满分14 分，其中第1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）某海域有AB、两个岛屿，B岛在A岛正东 4 海里处 .经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8 海里处发现过鱼群. 以AB、所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C的标准方程；（2）某日，研究人员在AB、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），AB、两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5:3. 问你能否确定P处的位置 （即点P的坐标） ? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 21. （本题满分14 分，其中第1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）设函数*( )(, ,)nnfxxbxc nNb cR. （1）设2n，1b，1c，证明：( )nfx在区间1(,1)2内存在唯一的零点；（2）设2n，若对任意12, 1,1x x，有2122|()() | 4fxfx，求b的取值范围 . 22. （本题满分16 分，其中第1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）一青蛙从点000(,)Axy（开始依次水平向右和竖直向上跳动），其落点坐标依次是111(,)A xy（如图所示， ）000(,)Axy坐标以已知条件为准） ，nS表示青蛙从点0A到点nA所经过的路程. （1）若点000(,)A xy为抛物线22(0)ypx p准线上一点，点12AA，均在该抛物线上，并且直线12AA，经过该抛物线的焦点，证明23Sp. （2）若点(,)nnnAxy要么落在yx所表示的曲线上，要么落在2yx所表示的曲线上，并且01 1(, )2 2A，试写出limnnS（不需证明）；（3）若点(,)nnnAxy要么落在1 812xy所标示的曲线上，要么落在1 8+12xy所表示的曲线上，并且0(0,4)A，求nS的表达式 . 23. （本题满分18 分，其中第1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）已知 nnab，为两非零有理数列（即对任意的*iN，iiab，均为有理数），nd为一无精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 理数列（即对任意的*iN，id为无理数） . （1）已知2nnba，并且22()(1)0nnnnnnab da dd，对任意的*nN恒成立，试求nd的通项公式；（2）若2nd为有理数列， 试证明： 对任意的*nN，22()(1)1nnnnnnnab da ddd恒成立的充要条件为421111nnnnadbd. （3）已知24sin2(0)252，3tan( 1)2nndn，对任意的*nN，22()(1)1nnnnnnab da dd恒成立，试计算nb. 试卷答案一、填空题1.(0,1；2.0,2； 3.10； 4.3R； 5.11 6.3； 7.3135；8.3 501006； 9.56； 10.16,36； 11.1,02； 12.23a； 13. 14.00,0abc，二、选择题15-18 ：DAAB三、解答题19. 解： （1）11/ /BCB C，1A BC就是异面直线1A B与11B C所成的角，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 由1ABAC，902BACBC，212121ABaa. 6 分（2）易知11/ /B C平面1A BC，又D是11B C上的任意一点，所以点D到平面1A BC的距离等于点1B到平面1A BC的距离 . 8 分设其为d，连接1B C，则由三棱锥11BA BC的体积等于三棱锥11CA B B的体积，求d，11A B B的面积12S，1A BC的面积233(2)42S，10 分又1CAA A，CAAB，CA平面11A B C，所以113333S ACS dd，即11B C到平面1A BC的距离等于33. 12分20. 解： （1）由题意知曲线C是以AB、为焦点且长轴长为8 的椭圆，又24c，则2c，4a，故2 3b，所以曲线C的方程是2211612xy. （2）由于AB、两岛收到鱼群发射信号的时间比为5:3 ，因此设此时距AB、两岛的距离分别比为5:3 ，即鱼群分别距AB、两岛的距离为5 海里和 3 海里 . 设( , )P x y，(2,0)B，由|3PB，22(2)3xy，2222(2)91161244xyxyx，解得2x，3y，点P的坐标为(2,3)或(2,3). 21. 解： （1）证明： 因为1( )02nf，(1)0nf，所以1( )(1)02nnff，所以( )nfx在1(,1)2内存在零点 . 任取121,(,1)2x x，且12xx，则121212()()()()0nnnnfxfxxxxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 所以( )nfx在1(,1)2内单调递增，所以( )nfx在1(,1)2内存在唯一零点. （2）当2n时，2( )nfxxbxc. 对任意12, 1,1x x都有2122|()() | 4fxfx等价于2( )fx在 1,1上的最大值与最小值之差，4M，据此分类讨论如下：当| 12b，即| 2b时，22|(1( 1) | 2 | 4Mffb），与题设矛盾；当102b，即02b时，222(1()(1)422bbMff）恒成立；当012b，即20b时，222(1)()(1)422bbMff恒成立 . 综上可知22b. 注：，也可合并证明如下：用max , a b表示,a b中的较大者 . 当112b，即22b时，222max(1),( 1)()2bMfff222222( 1)(1)|( 1)(1)|()1| ()2224ffffbbfcbc2| |(1)42b恒成立 . 22. 解： （1）设00(,)2pAy，由于青蛙依次向右向上跳动，所以10(,)2pAy，20(,)2pAy，由抛物线定义知：23Sp. 4 分（2）依题意，2121nnxx，221nnxx，*22121()nnnyyxnN. 011223342221212lim|nnnnnnSA AA AA AA AAAAA1021324354212221()()()()()()()nnnnxxyyxxyyxxxxyy1032542122()2()2()2()nnxxxxxxxx随着n的增大，点nA无限接近点(1,1)，6 分横向路程之和无限接近11122，纵向路程之和无限接近11122. 8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 所以11lim122nnS. 10 分（3）由题意知21(1,2 )A，42(1,2 )A，43(3,2 )A，64(3,2 )A，65(6, 2 )A，86(6, 2 )A，其中21(1,2 )A，43(3,2 )A，65(6,2 )A，87(10,2 )A42(1,2 )A，64(3,2 )A，86(6,2 )A，108(10,2 )A观察规律可知： 下标为奇数的点的纵坐标为首项为22，公比为 4 的等比数列 . 相邻横坐标之差为首项为2，公差为 1 的等差数列 . 下标为偶数的点也有此规律.并由数学归纳法可以证明. 12 分所以当n为偶数时，284nnnx，22nny，当n为奇数时，2438nnnx，12nny，当n为偶数时，220()()(2)484nnnnonnSxyxy，当n为奇数时，21043()()(2)48nnnnonnSxyxy，16 分所以，212243(2)4()8(2)4()84nnnnnnSnnn为奇数为偶数. 18 分23. 解： （1）210nd，20nnnnnab da d，即20nnnnna db da，220nnnnna da da，0na，2210nndd，12nd. （2）22()(1)1nnnnnnnab da ddd，341nnnnnnnnab db da dd，431nnnnnnnnaa db db dd，42(1)(1)1nnnnnnadb ddd，2nd为有理数列，42(1)1(1)1nnnnadbd，421111nnnnadbd，以上每一步可逆. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （3）22tan24sin21tan25，225tan1212tan，3tan4或4tan3. 3tan( 1)2nndn，3tan( 1)2nndn，当*2 ()nk kN时，3tan(2)tan2ndk，当*21()nkkN时，3tan(21)cot2ndk，3nd为有理数列，22()(1)1nnnnnnab da dd，23421nnnnnnnnnnna dab db da da d，33()1nnnnnnnab ddba d，na，nb，3nd为有理数列，nd为无理数列，3310nnnnnnab dba d，361nnndbd，362tan( 1)12sin(2( 1)121tan ( 1)2nnnnnnndbndn，当*2 ()nk kN时，1112sin(22 )sin22225nbk，当*21()nkkN时，1112sin(21)2 )sin22225nbk，1225nb. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -