小学数学奥数基础教程（六年级）目30讲全(共121页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上小学奥数基础教程(六年级)第1讲 比较分数的大小第2讲 巧求分数第3讲 分数运算的技巧第一讲 比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。1.“通分子”。当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数m和n，若mk，kn，则mn。（2）对于分数m和n，若m-kn-k，则mn。前一个差比较小，所以mn。（3）对于分数m和n，若k-mk-n，则mn。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。练习11.比较下列各组分数的大小：答案与提示练习1 第二讲 巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。数。分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。，这个分数是多少？分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？于是与例3类似，可以求出在例1例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？数a。分析与解：分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。 求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到分析与解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加8×2=16。在例8中，分母应加的数是在例9中，分子应加的数是由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）×3=（x+5）×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。练习2是多少？ 答案与提示练习25.5。解：(53+79)÷(4+7)=12， a=53-4×12=5。6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。解：设分子为x，根据分母可列方程第三讲 分数运算的技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。2.约分法3.裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。例7 在自然数1100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的就非常简单了。括号。此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合题意的解。4.代数法5.分组法分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为原式中分母为220的分数之和依次为练习38.在自然数160中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。答案与提示 练习31.3。 8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。9.5680。解：从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人一般地，分子与分母之和等于n的有(n-1)个。分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+106=5671（个）5671+9=5680（个）。第四讲 循环小数与分数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？分析与解：上述分数都是最简分数，并且32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，117=33×13，850=2×52×17，根据上面的结论，得到：不循环部分有两位。将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。1.将纯循环小数化成分数。将上两式相减，得将上两式相减，得从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。2.将混循环小数化成分数。将上两式相减，得将上两式相减，得从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。混循环小数化成分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。例6 计算下列各式：练习41.下列各式中哪些不正确？为什么？2.划去小数0.后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，例如0.。请找出这样的小数中最大的与最小的。3.将下列纯循环小数化成最简分数：4.将下列混循环小数化成最简分数：5.计算下列各式：答案与提示练习41.（1）（3）（4）不正确。第五讲 工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了12天。例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后15分钟两人相遇。练习51.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从40千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示 练习52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8时。提示：甲管12时都开着，乙管开7.280千米。第六讲 工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。 例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后么还要几天才能完成？分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独例3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要例4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？分析与解：同时打开1，2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，2，4号阀门1分钟，这时，1，2，3，4号阀门各打开了3分钟，放水量等于一例5 某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。由最后一轮完成的工作量相同，得到练习61.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成有多少个？需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？3.加工一批零件，王师傅先做6时李师傅再做12时可完成，王师傅先做8时李师傅再做9时也可完成。现在王师傅先做2时，剩下的两人合做，还需要多少小时？独修各需几天？5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？6.单独完成某项工作，甲需9时，乙需12时。如果按照甲、乙、甲、乙、的顺序轮流工作，每次1时，那么完成这项工作需要多长时间？7.一项工程，乙单独干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天？答案与提示练习61.360个。2.甲18天，乙12天。3.7.2时。解：由下页图知，王干2时等于李干3时，所以单独干李需12+6÷2×3=21（时），王需21÷3×2=14（时）。所求为5.上午9时。6.10时15分。7.8.5天。解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。第七讲 巧用单位“1”在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位答：这本故事书共有240页。分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了3个不同的单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的共有多少本图书？分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，可以以 图书室原来共有图书分析与解：与例3类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。例5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，设这段距离为单位“1”。由“走了10分钟，小轿车追上了货车”，可知小轿可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段距离的两班各有多少人？乙班有84-48=36（人）。练习7树上原有多少个桃？剩下的部分收完后刚好又装满6筐。共收西红柿多少千克？ 7.六年级两个班共有学生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本答案与提示练习71.35个。2.60个。3.64吨。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。  第八讲 比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作56。比值。表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，37=921。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果ab=cd，那么a×d=b×c。两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如abc。连比中的“”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如， 甲乙=56，乙丙=43， 因为6，4=12，所以 5 6=10 12， 43=129， 得到甲乙丙=10129。例1 已知3(x-1)=79，求x。解： 7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2 六年级一班的男、女生比例为32，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。分析与解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为32知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为 2420=65。在例2中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。例3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1212，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。分析：总量是2700千克，各分量的比是1212，总份数是1+2+12=15， 答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。例4 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率有多少学生？按比例分配得到例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是56，小客车与小轿车之比是411，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将56中的6与411中的4统一成4，6=12，就可以得到大客车小客车小轿车的连比。由56=1012和411=1233，得到大客车小客车小轿车=101233。以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过大客车=10×7=70（辆），小客车=12×7=84（辆），小轿车=33×7=231（辆）。练习81.一块长方形的地，长和宽的比是53，周长是96米，求这块地的面积。2.一个长方体，长与宽的比是43，宽与高的比是54，体积是450分米3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？3.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是35；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是911。问：两人原来共有多少钱？5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。问：最后三人各分到多少只贝壳？6.一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是123，某人走各段路程所用的时间之比是345。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？7.某俱乐部男、女会员的人数之比是32，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是1087。如果甲组中男、女会员的人数之比是31，乙组中男、女会员的人数之比是53，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？答案与提示练习81.540米2。2.长100厘米，宽75厘米，高60厘米。解：长宽高=201512，÷(20×15×12)=125=53。长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。3.86元。解：设小明有x元钱。根据小强的钱数可列方程36+50=86（元）。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲乙丙=252024，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。6.12时。7.5：9 第九讲 百分数百分数有两种不同的定义。 （1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分号。在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：比较数÷标准数=分率（百分数），标准数×分率=比较数，比较数÷分率=标准数。根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。例1 纺织厂的女工占全厂人数的80，一车间的男工占全厂男工的25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解：因为“女工占全厂人数的80”，所以男工占全厂人数的1-80=20。又因为“一车间的男工占全厂男工的25”，所以一车间的男工占全厂人数的20×25=5。例2 学校去年春季植树500棵，成活率为85，去年秋季植树的成活率为90。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？分析与解：去年春季种的树活了500×85=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了75-20=55（棵），活了 55÷（1-90）×90=495（棵）。所以，去年学校共种活425+495=920（棵）。例3 一次考试共有5道试题。做对第1，2，3，4，5题的人数分别占参加考试人数的85，95，90，75，80。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参加考试的人数为100。由此得到做错第1题的有100×（1-85）=15（人）；同理可得，做错第2，3，4，5题的分别有5，10，25，20人。总共做错15+5+10+25+20=75（题）。一人做错3道或3道以上为不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是说至少有75人及格，及格率至少是75。例4 育红小学四年级学生比三年级学生多25，五年级学生比四年级学生少10，六年级学生比五年级学生多10。如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125，五年级是三年级的125×（1-10），六年级是三年级的125×（1-10）×（1+10）。因为已知六年级比三年级多38人，所以可根据六年级的人数列方程。解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程： x×125×（1-10）×（1+10）=x+38， x×125×90×110=x+38， 1.2375x=x+38， 0.2375x=38， x=160。三年级有160名学生。四年级有学生 160×125=200（名）。五年级有学生200×（1-10）180（名）。六年级有学生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年级共有学生738名。在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：溶液重量=溶质重量+溶剂重量，溶质含量=溶质重量÷溶液重量，溶液重量=溶质重量÷溶质含量，溶质重量=溶液重量×溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶例5 有含糖量为7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？分析与解：在600克含糖量为7的糖水中，有糖（溶质）600×7=42（克）。设再加x克糖，可使其含糖量加大到10。此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程需要再加入20克糖。例6 仓库运来含水量为90的一种水果100千克，一星期后再测，发现含水量降低到80。现在这批水果的总重量是多少千克？分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重100×（1-90）=10（千克）。一星期后含水量变为80，“果”与“水”的比值为因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为所以总重量是10+40=50（千克）。练习91.某修路队修一条路，5天完成了全长的20。照此计算，完成任务还需多少天？2.服装厂一车间人数占全厂的25，二车间人数比一车间少20，三车间人数比二车间多30。已知三车间有156人，全厂有多少人？3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80，第三块地的面积比第二块多20，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。4.某工厂四个季度的全勤率分别为90，86，92，94。问：全年全勤的人至少占百分之几？5.有酒精含量为30的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？6.配制硫酸含量为20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18和23的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？答案与提示练习91.20天。解：5÷20-5=20（天）。2.600人。解：156÷(1-20) × (1+30)÷25=600（人）。3.第一、二、三块依次为25，20和24公顷。解：第一块地的面积为69÷1+80+80×(1+20)=25（公顷），第二块地为25×80=20（公顷），第三块地为69-25=24（公顷）。4.62。解；设全厂有100人，则四个季度没有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没有全勤的人最多，为38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少为62。5.20。解：设酒精含量为30的酒精溶液有100克，则溶质为30克。稀释成酒精含量为24的酒精溶液需加水30÷24-100=25（克）。若再加入25克水，则酒精含量变为30÷(100+25+25)=20。6.600克，400克。提示：设需要18的溶液x克，则需要23的溶液(100-x)克。根据溶质重量可得x×18+(1000-x)×23=1000×20。解得x=600。7.95。解：设原有100吨煤，则有水份14.5吨。又设风干掉水份x吨，则由含现在煤的重量为100-5=95（吨），是原来的95。第十讲 商业中的数学市场经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经历，都知道商品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉及到商品的成本、利润等听起来有些陌生的名词。这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。利润=售出价-成本，例如，一件商品进货价是80元，售出价