2022年上海市徐汇区高考数学二模试卷.pdf

2017 年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、填空题（满分54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1 （4 分）设全集 U=1，2，3，4，集合 A=x|x25x+40，xZ，则?UA= 2 （4 分）参数方程为（ t 为参数）的曲线的焦点坐标为3 （4 分）已知复数 z 满足|z|=1 ，则|z 2i| 的取值范围为4 （4 分）设数列 an 的前 n 项和为 Sn，若（ nN*） ，则= 5 （4 分）若（ n4，nN*）的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n= 6 （4 分）把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别写在 10 张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6 的数的卡片的概率为 （结果用最简分数表示）7 （5 分）若行列式中元素4 的代数余子式的值为，则实数x 的取值集合为8 （5 分）满足约束条件 |x|+2|y|2 的目标函数 z=yx 的最小值是9 （5 分）已知函数若函数g（x）=f（x）k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是10 （5 分）某部门有 8 位员工，其中 6 位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这 8 位员工月工资的中位数可能的最大值为元11 （5 分）如图，在ABC中，M为 BC上不同于 B，C的任意一点， 点 N满足若，则 x2+9y2的最小值为12 （5 分）设单调函数 y=p（x）的定义域为 D，值域为 A，如果单调函数 y=q（x）使得函数 y=p （q （x） ） 的置于也是 A， 则称函数 y=q （x） 是函数 y=p （x） 的一个“保值域函数” 已知定义域为 a ，b 的函数，函数 f （x）与 g（x）互为反函数，且h（x）是 f （x）的一个“保值域函数”， g（x）是 h（x）的一个“保值域函数”，则ba= 二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13 （5 分）“x1”是“”成立的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - C充要条件D既不充分也不必要条件14 （5 分） 九章算术是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A21 斛B34 斛C55 斛D 63 斛15 （5 分）函数 y=的图象按向量 =（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sin x（2x4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A2 B4 C6 D816 （5 分）过椭圆（ m 4）右焦点 F 的圆与圆 O ：x2+y2=1 外切，则该圆直径FQ的端点 Q的轨迹是（）A一条射线B两条射线C 双曲线的一支D抛物线三、解答题（本大题共有5 题，满分 76分）17 （15 分）如图：在四棱锥 PABCD 中，PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形， PA=AD=2 （1）求异面直线 PC与 AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点 E、F 分别是棱 AD和 PC的中点，求证： EF 平面 PBC 18 （15 分）已知函数是偶函数（1）求实数 m的值；（2）若关于 x 的不等式 2k?f （x）3k2+1在（，0）上恒成立，求实数 k 的取值范围19 （15 分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的 A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且 BC ：AB=3 ：1一架无人机在空中的 P点处对它们进行数据测量， 在同一时刻测得 APB=30 ， BPC=90 （船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100 米，求无人机到丙船的距离 （精确到 1 米）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 20 （15 分）如图：椭圆 =1 与双曲线 =1（a0，b0）有相同的焦点 F1、F2，它们在 y 轴右侧有两个交点 A、B，满足 =0将直线 AB左侧的椭圆部分（含A，B两点）记为曲线 W1，直线 AB右侧的双曲线部分（不含A，B两点）记为曲线 W2以 F1为端点作一条射线，分别交 W1于点 P（xP，yP） ，交 W2于点 M （xM，yM） （点 M在第一象限），设此时（1）求 W2的方程；（2）证明： xP=，并探索直线 MF2与 PF2斜率之间的关系；（3）设直线 MF2交 W1于点 N，求 MF1N的面积 S的取值范围21 （16 分）现有正整数构成的数表如下：第一行： 1第二行： 12第三行： 1123第四行：第五行： 345第 k 行：先抄写第 1 行，接着按原序抄写第2 行，然后按原序抄写第3 行，直至按原序抄写第 k1 行，最后添上数k （如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数 1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数 4） 将按照上述方式写下的第n 个数记作 an（如 a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，a7=3，a14=3，a15=4，）（1）用 tk表示数表第 k 行的数的个数，求数列 tk 的前 k 项和 Tk；（2）第 8 行中的数是否超过73个？若是，用表示第8 行中的第 73 个数，试求 n0和的值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 若不是，请说明理由；（3）令 Sn=a1+a2+a3+an，求 S2017的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 2017 年上海市徐汇区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 （4 分） （2017?徐汇区二模）设全集U=1，2，3，4 ，集合 A=x|x25x+40，xZ，则?UA= 1，4 【分析】 求出集合 A中的元素，从而求出A的补集即可【解答】 解：U=1，2，3，4，A=x|x25x+40，xZ=x|1 x4，xZ=2 ，3，则?UA=1，4 ，故答案为： 1，4 【点评】 本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题2 （4 分） （2017?徐汇区二模） 参数方程为 （t 为参数）的曲线的焦点坐标为（1，0）【分析】 根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为抛物线，其焦点在 x 轴上，且 p=2，由抛物线焦点坐标公式，计算可得答案【解答】 解：根据题意，曲线的参数方程为（t 为参数） ，则其普通方程为： y2=4x，即该曲线为抛物线，其焦点在x 轴上，且 p=2；则其焦点坐标为（ 1，0） ；故答案为：（1，0）【点评】 本题考查抛物线的参数方程，关键是将抛物线的参数方程转化为标准方程3 （4 分） （2017?徐汇区二模） 已知复数 z 满足|z|=1 ， 则|z 2i| 的取值范围为1 ，3 【分析】 利用公式： |z1| |z2| |z1+z2| |z1|+|z2| ，以及条件中对应的复数的模进行求解【解答】 解：根据复数模的性质：|z1| |z2| |z1+z2| |z1|+|z2| ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - |z|=1 ，|z 2i| ，z2=2i ，|z2|=2 ，1|z 2i| 3，即|z 2i| 的取值范围为 1 ，3 ，故答案为： 1 ，3 【点评】 本题考查了复数模的性质应用，即根据条件求出对应的复数模，代入公式进行求解4 （4 分） （2017?徐汇区二模）设数列 an的前 n 项和为 Sn，若（ nN*） ，则 = 1 【分析】 利用数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质即可得出【解答】 解：（ nN*） ，n=1时， ，解得 a1=n2 时，an=SnSn1=1，化为： =数列 an是等比数列，首项为，公比为=1故答案为： 1【点评】 本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （4 分） （2017?徐汇区二模）若（ n4，nN*）的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则 n= 8 【分析】 （n4，nN*）的二项展开式中前三项的系数依次为：1， ， ，由于此三个数成等差数列，可得 2=1+，解出即可得出【解答】 解： （n4，nN*）的二项展开式中前三项的系数依次为：1， ， ，由于此三个数成等差数列，2=1+，化为： n29n+8=0，解得 n=8或 1（舍去） 故答案为： 8【点评】 本题考查了二项式定理的应用、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （4 分） （2017?徐汇区二模）把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别写在 10 张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6 的数的卡片的概率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 为 （结果用最简分数表示）【分析】 先求出基本事件总数，再求出抽到写着偶数或大于6 的数的卡片包含的基本事件个数，由此能求出抽到写着偶数或大于6 的数的卡片的概率【解答】 解：把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别写在 10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，基本事件总数 n=10，抽到写着偶数或大于6 的数的卡片包含的基本事件个数为7，则抽到写着偶数或大于6 的数的卡片的概率为故答案为：【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用7 （5 分） （2017?徐汇区二模）若行列式中元素4 的代数余子式的值为，则实数x 的取值集合为【分析】 求得元素 4 的代数余子式，展开，利用二倍角公式，及特殊角的三角函数值，即可求得实数 x 的取值集合【解答】 解：行列式中元素4 的代数余子式 A13=，则 cos2sin2=，则 cosx=，解得：x=2k， kZ，实数 x 的取值集合，故答案为：【点评】 本题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题8（5 分） （2012?上海）满足约束条件 |x|+2|y|2 的目标函数 z=yx 的最小值是2 【分析】作出约束条件对应的平面区域，由z=yx 可得 y=x+z，则 z 为直线在 y 轴上的截距，解决越小， z 越小，结合图形可求【解答】 解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于 z=yx 可得 y=x+z，则 z 为直线在 y 轴上的截距，截距越小，z 越小结合图形可知，当直线y=x+z 过 C时 z 最小，由可得 C （2，0） ，此时 Z=2 最小精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 故答案为： 2【点评】 借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定9 （5 分） （2017?徐汇区二模）已知函数若函数g（x）=f（x）k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是【分析】 由题意可得函数 f（x）的图象与直线 y=k 有二个不同的交点，结合图象求出实数k 的取值范围【解答】 解：由题意可得函数f （x）的图象与直线y=k 有二个不同的交点，如图所示：故实数 k 的取值范围是，故答案为【点评】 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题10 （5 分） （2017?徐汇区二模）某部门有8 位员工，其中 6 位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为 17000 元，则这 8 位员工月工资的中位数可能的最大值为8800 元【分析】 由题意知这 8 位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于 8500，由此能求出这 8 位员工月工资的中位数的最大值【解答】 解：由题意知这 8 位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于 8500，此时这 8 位员工月工资的中位数取最大值为：=8800故答案为： 8800【点评】 本题考查中位数的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用11 （5 分） （2017?徐汇区二模）如图，在ABC中，M为 BC上不同于 B，C的任意一点，点 N满足若，则 x2+9y2的最小值为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【分析】不妨设=，0 1，根据向量的加减的几何意义可得x=，y=，代入得到 x2+9y2=（）2+，即可求出最值【解答】 解：不妨设 =， 0 1，=（+）=+=+（） =+，x=，y=，x2+9y2=+42=2+=（）2+，当 =时，x2+9y2有最小值，最小值为，故答案为：【点评】 本题考查了向量的加减的几何意义以及二次函数的性质，属于中档题12 （5 分） （2017?徐汇区二模）设单调函数y=p（x）的定义域为 D，值域为 A，如果单调函数 y=q（x）使得函数 y=p（q（x） ）的置于也是 A，则称函数 y=q（x）是函数 y=p（x）的一个“保值域函数”已知定义域为a ，b 的函数，函数 f （x）与 g（x）互为反函数，且 h（x）是 f （x）的一个“保值域函数”，g（x）是 h（x）的一个“保值域函数”，则ba= 1 【分析】 由定义可知 y=q（x）的值域为 y=p（x）的定义域，根据h（x）单调性得出 a，b的范围，求出h（x）的值域，从而得出f （x）的定义域和 g（x）的值域，再根据反函数的性质列方程即可解出a，b【解答】 解：由“保值域函数”的定义可知y=q（x）的值域为 y=p（x）的定义域，h（x）是定义在 a ，b 上的单调函数， a3 或 b3（1）若 a3，则 h（x）单调递减， h（x）的值域为 ， ，h（x）是 f （x）的一个“保值域函数”，g（x）是 h（x）的一个“保值域函数”，f （x）的定义域为 ， ，g（x）的值域为 a ，b ，函数 f （x）与 g（x）互为反函数，整理得 a=b，与 ba 矛盾（舍）（2）若 b3，则 h（x）单调递增， h（x）的值域为 ， ，同（1）可得，解得 a=1，b=2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - ba=1故答案为 1【点评】 本题考查了对新定义的理解，函数定义域与值域的计算，属于中档题二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13 （5 分） （2017?徐汇区二模）“ x1”是“”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】 根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】 解：若 x1，则 0，则成立，即充分性成立，若当 x0 时，成立，但 x1 不成立，即必要性不成立，即“x1”是“”成立的充分不必要条件，故选： A【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键14 （5 分） （2017?徐汇区二模） 九章算术 是我国古代数学著作， 书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A21 斛B34 斛C55 斛D 63 斛【分析】 根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8 尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数【解答】 解：设米堆所在圆锥的底面半径为r 尺，则2r=8，解得： r=，所以米堆的体积为V=r25=，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 所以米堆的斛数是 21，故选： A【点评】考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大15 （5 分） （2017?徐汇区二模）函数y=的图象按向量 =（1，0）平移之后得到的函数图象与函数 y=2sin x（ 2x4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A2 B4 C6 D8【分析】y1=的图象由奇函数y=的图象向右平移1 个单位而得，所以它的图象关于点 （1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sin x的图象的一个对称中心也是点（ 1，0） ，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2由此不难得到正确答案【解答】 解：函数 y=的图象按向量 =（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sin x的图象有公共的对称中心（ 1，0） ，作出两个函数的图象如图：当 1x4 时，y10，而函数 y2在（1，4）上出现个周期的图象，在（1， ）和（， ）上是减函数；在（， ）和（， 4）上是增函数函数 y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G 、H，相应地， y1在（ 2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C 、D ，且：xA+xH=xB+xGxC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8，故选： D【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数 y2=2sin x的单调性找出区间（ 1，4）上的交点个数是本题的难点所在16 （5 分） （2017?徐汇区二模）过椭圆（ m 4）右焦点 F 的圆与圆 O ：x2+y2=1外切，则该圆直径 FQ的端点 Q的轨迹是（）A一条射线B两条射线C 双曲线的一支D抛物线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【分析】 由题意可知：丨QF1丨=2 丨 OC丨，丨 QF丨=2 丨 CF丨，丨 QF1丨丨 QF丨=2丨 FF1丨=4，则 Q的轨迹为以 F，F1为焦点的双曲线的右支【解答】 解：椭圆（ m 4）右焦点 F（2，0） ，左焦点 F1（2，0）椭圆右焦点 F 的圆，圆心 C，连接 OC ，则 OC为FQF1中位线，由丨 QF1丨=2 丨 OC丨，丨 QF丨=2丨 CF丨，则丨 QF1丨丨 QF丨=2（丨 OC丨丨 CF丨）=2丨 FF1丨=4，则 Q的轨迹为以 F，F1为焦点的双曲线的右支，故选： C【点评】 本题考查椭圆的性质，考查双曲线的定义，考查数形结合思想，属于中档题三、解答题（本大题共有5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17 （15 分） （2017?徐汇区二模）如图：在四棱锥PABCD 中，PA 平面 ABCD ，底面 ABCD是正方形， PA=AD=2 （1）求异面直线 PC与 AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点 E、F 分别是棱 AD和 PC的中点，求证： EF 平面 PBC 【分析】 （1）以点 A为原点，以 AB方向为 x 轴正方向， AD方向为 y 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与 AB所成角的大小（2）求出， ， ，利用向量法能证明EF 平面 PBC 【解答】 解： （1）以点 A为原点，以 AB方向为 x 轴正方向， AD方向为 y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则 P（0，0，2） ，A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，D（0，2，0）所以， ， ，设，的夹角为 ，则，所以，的夹角为，即异面直线 PC与 AB所成角的大小为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 证明： （2）因为点 E、F 分别是棱 AD和 PC的中点，可得 E（0，1，0） ，F（1，1，1） ，所以，又， ，计算可得，所以， EF PC ，EFBC ，又 PC BC=C ，所以 EF 平面 PBC 【点评】 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题18 （15 分） （2017?徐汇区二模）已知函数是偶函数（1）求实数 m的值；（2）若关于 x 的不等式 2k?f （x）3k2+1在（，0）上恒成立，求实数 k 的取值范围【分析】 （1）运用偶函数的定义，可得f （x）=f（x） ，化简整理可得 m的值；（2）由题意可得在（，0）上恒成立，求出右边函数的取值范围，可得k 的不等式，解不等式即可得到所求范围【解答】 解： （1）因为函数即 f （x）=m ?2x+2x是定义域为 R的偶函数，所以有 f （x）=f（x） ，即 m?2x+2x=m?2x+2x，即（m 1） （2x2x）=0恒成立，故 m=1 （2） ，且 2k?f （x）3k2+1在（， 0）上恒成立，故原不等式等价于在（，0）上恒成立，又 x（， 0） ，所以 f （x）（ 2，+） ，所以，从而，即有 3k24k+10，因此， 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【点评】 本题考查函数的性质，注意定义法的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题19 （15 分） （2017?徐汇区二模）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC ： AB=3 ： 1 一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量， 在同一时刻测得 APB=30 ，BPC=90 （船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100 米，求无人机到丙船的距离 （精确到 1 米）【分析】 （1）利用正弦定理，即可求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100 米，由余弦定理求无人机到丙船的距离【解答】 解： （1）在 APB中，由正弦定理，得，在BPC 中，由正弦定理，得，又，sin ABP=sinCBP ，故即无人机到甲、丙两船的距离之比为（2）由 BC ：AB=3 ：1 得 AC=400 ，且APC=120 ，由（1） ，可设 AP=2x ，则 CP=3x ，在APC 中，由余弦定理，得160000=（2x）2+（3x）22（2x） （3x）cos120，解得，即无人机到丙船的距离为275米【点评】 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题20 （15 分） （2017?徐汇区二模）如图：椭圆=1 与双曲线 =1（a0，b0）有相同的焦点F1、F2，它们在 y 轴右侧有两个交点A、B，满足 =0将直线 AB左侧的椭圆部分（含A，B两点）记为曲线 W1，直线 AB右侧的双曲线部分（不含A，B两点）记为曲线 W2以 F1为端点作一条射线，分别交W1于点 P（xP，yP） ，交 W2于点 M （xM，yM） （点 M在第一象限），设此时精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - （1）求 W2的方程；（2）证明： xP=，并探索直线 MF2与 PF2斜率之间的关系；（3）设直线 MF2交 W1于点 N，求 MF1N的面积 S的取值范围【分析】 （1）由条件，得F2（1，0） ，根据知， F2、A、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知， A、B关于 x 轴对称，故 AB所在直线为 x=1，从而得 A，B坐标可得，又因为F2为双曲线的焦点，可得a2+b2=1，解出即可得出（2）由 P（xP，yP）M （xM，yM） ，得， ，利用可得 xM，yM由 P（xP，yP） ，M （xM，yM）分别在曲线 W1和 W2上，代入消去 yP得： （*） ，将代入方程（*） ，可得 xP从而得到 P点坐标再利用斜率计算公式即可证明（3）由（2）知直线 PF2与 NF2关于 x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点 N关于 x 轴对称，可得 N坐标可得，即可得出【解答】 解： （1）由条件，得 F2（1，0） ，根据知， F2、A、B三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于 x 轴对称，故 AB所在直线为 x=1，从而得，所以， ，又因为 F2为双曲线的焦点，所以a2+b2=1，解得因此， W2的方程为（2）证明：由 P（xP，yP）M （xM，yM） ，得， ，由条件，得，即，由 P（xP，yP）M （xM，yM）分别在曲线 W1和 W2上，有， ，消去 yP，得， （*） ，将代入方程（ *） ，成立，因此（ *）有一根，结合韦达定理得另一根为，因为m 1，所以，舍去所以， 从而 P点坐标为所以，直线 PF2的斜率，由 xM=mxP+m 1=m ，得所以，直线 MF2的斜率因此， MF2与 PF2斜率之和为零精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - （3）由（2）知直线 PF2与 NF2关于 x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点 N关于 x 轴对称，故，因此， =，=，因为 S在（1，+）上单调递增，所以 S的取值范围是【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （16 分） （2017?徐汇区二模）现有正整数构成的数表如下：第一行： 1第二行： 12第三行： 1123第四行：第五行： 345第 k 行：先抄写第 1 行，接着按原序抄写第2 行，然后按原序抄写第3 行，直至按原序抄写第 k1 行，最后添上数k （如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数 1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数 4） 将按照上述方式写下的第n 个数记作 an（如 a1=1，a2=1，a3=2，a4=1，a7=3，a14=3，a15=4，）（1）用 tk表示数表第 k 行的数的个数，求数列 tk 的前 k 项和 Tk；（2）第 8 行中的数是否超过73个？若是，用表示第8 行中的第 73 个数，试求 n0和的值；若不是，请说明理由；（3）令 Sn=a1+a2+a3+an，求 S2017的值【分析】 （1）根据题意先求出 tk 的通项公式，再根据等比数列的求和公式计算即可，（2）由得第 8 行中共有 27=128个数，得到第 8 行中的数超过 73 个，按上述顺序依次写下的第 73 个数应是第 7 行的第 7363=10个数，同上过程知a73=a10=2，即可求出答案，（3）根据错位相减法求出得=2n+1n2，再逐一展开得到S2017=（21112）+（21011）+精品资料 - 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