等差数列知识点及类型题详解(共18页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上数列等差数列【考纲解读】u 理解等差数列的概念。u 掌握等差数列的通项公式及前项和公式。u 能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。u 了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前项和与二次函数的关系。【知识储备】知识点1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。知识点2、等差数列的通项公式如果等差数列的首项是，公差是，则有（是常数）或，叠加得到等差数列的通项为： 该公式整理后是关于的一次函数。例1：已知是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。-592-6.5知识点3等差中项 如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或例2：已知是等差数列。（1） 有，那么是否成立？ 呢？为什么？（2） 是否成立？（3） 是否成立？据此你能得出什么结论？知识点4、等差数列的前n项和 将带入可得 该公式整理后是关于的二次函数。例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和。 （1） （2）。知识点5、等差数列的判定方法v 定 义 法：若（d是常数）或，则数列是等差数列。v 等 差 中项：若或，则数列是等差数列。v 通项公式法：若通项公式为一次函数，则数列是等差数列， 且公差，首项。v 前n项和法：若前项和，则数列是等差数列， 且公差，首项。例4：已知数列的前项和，求这个数列的通项公式。知识点6、等差数列的性质 等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 该公式为等差数列的递推公式。 对于等差数列，若，则也就是：例5：已知是等差数列。有则 。 若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示： 等差数列的前项和的性质：若项数为， 则，且，若项数为，则，且， （其中，）。例6：设是等差数列的前项和，若，则 。【题型划归】题型一、利用递推公式或求值。例1、设数列的首项，则 。万能解题模板：【现炒现卖】 在数中，则的值为（ ） A49 B50 C51 D52题型二、利用等差中项求值。例2、已知为等差数列，则等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7万能解题模板：【现炒现卖】 等差数列的前三项依次为 ，则等于（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2题型三、利用等差数列性质，有求值。例3、已知等差数列中，= 。万能解题模板：【现炒现卖】 若等差数列中，则= 。题型四、已知其中几项的值，求公差、通项公式、前项和、及的最大（小）值等。例4、等差数列的前项和为，若 。万能解题模板：【现炒现卖】 等差数列中，则= 。题型五、已知前项和的值及后项和的值，求项数或者。例5、在等差数列中，则 。万能解题模板：【现炒现卖】 等差数列中，已知，则其前项和= 。题型六、已知，利用求通项公式。例6、已知数列的前项和，求数列的通项公式。万能解题模板：【现炒现卖】 已知数列中，前项和。求证：数列是等差数列。题型七、已知，的关系，利用，成等差数列求其中几个量。例7、设为等差数列的前n项和，14，则 。万能解题模板：【现炒现卖】 设等差数列的前项和为，若，则 。题型八、利用等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，若项数为，则，且，（其中，）例8、设是等差数列的前项和，若，则（ ） A B C D万能解题模板：【现炒现卖】 若等差数列共有项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11课后强化巩固【基础巩固】1、等差数列1，1，3，89的项数是（ ）A.92 B.47 C.46 D.452、在等差数列中，则 。 3、已知数列的通项,则其前项和为 。 4、记等差数列的前n项和为，若，则该数列的公差等于（ ） A.7 B.6 C.3 D.25、等差数列中，已知，则为（ ） A.48 B.49 C.50 D.516、等差数列-2,1,4，的前项和为（ ） A. B. C. D.7、已知等差数列满足，则（ ） A. B. C. D.8、数列的前项和，则_。9、在等差数列中,求的最大值。10、 三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数。【能力加强】1、首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A. B.3 C. 3 D.32、在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直 上， 则=_。 3、设为等差数列的前项和，14，则 。4、等差数列中，,，其前项和=100,则=（ ）A.9 B.10 C.11 D.125、设Sn是等差数列的前项和，若（ ） A.1 B.1 C.2 D.6、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A.13项 B.12项 C.11项 D.10项7、 等差数列的前项和为，若（ ）A.12 B.18 C.24 D.428、一个等差数列中= 33，= 66，则=_。9、等差数列的前项和记为.已知（1）求通项； （2）若=242，求.10、已知数列是一个等差数列，且，。（1）求的通项； （2）求前项和的最大值。【尖子训练】1、如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ） A. B. C.= D.+2、若两个等差数列和的前项和分别是，已知，则等于（ ） A. B. C. D.3、已知等差数列中，则。4、等差数列，为数列的前项和，已知，为数列的前项和，求。5、已知是等差数列，；也是等差数列，。（1）求数列的通项公式及前项和的公式；（2）数列与是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。6、设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为。（1）若=0,=98,求数列的通项公式；（2）若6，0，77，求所有可能的数列的通项公式.解析【知识储备】-5293.5152-11-6.5例1、答案：例2、答案：三个问均成立，结论是：事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。例3、答案：（1）（2）。例4、答案：，。例5、答案：。例6、答案：。【题型划归】例1、关键词：。通过关键词提取到的关键信息：。逻辑思维分析：由，所以此数列为等差数列，可用求。答题过程：，可求。万能解题模板：第1步：利用递推公式求出公差；第2步：看题目中是否有首项，若没有则利用递推公式求出，若有则用通项公式求出。【现炒现卖】答案：C；解析：，。例2、关键词：等差数列，。通过关键词提取到的关键信息：角标。逻辑思维分析：通过角标关系可知是的等差中项，由可得。答题过程：。万能解题模板：第1步：分析给出的三项角标之间是否符合等差中项关系；第2步：利用等差中项公式求解。【现炒现卖】答案：B；解析：前三项符合等差中项关系，。例3、关键词：等差数列，。通过关键词提取到的关键信息：逻辑思维分析：知由角标关系及等差数列可得，则答题过程：万能解题模板：第1步：分析给出的四项角标之间是否符合关系；第2步：利用等数数列的性质，则求解。【现炒现卖】答案：12；解析：分析角标，前一个等式有，后一个等式有，相加得；前一个等式还有，后一个等式还有，相加得；与抵消了，只剩下，因此，可以把两个等式加起来，即得例4、关键词：等差数列，通过关键词提取到的关键信息：逻辑思维分析：，由等差数列的性质可得，则答题过程：，万能解题模板：第1步：通过已知两项找其关系，如果需要可利用递推或等差中项公式求出；第2步：若题目求通项公式，可用递推求解，若求前项和，可利用等差数列性质，再用求解。【现炒现卖】答案：27；解析：，。例5、关键词：等差数列，。通过关键词提取到的关键信息：前三项+后三项=93，。逻辑思维分析：由等差数列性质知，可算出，由即可算出。答题过程：，。万能解题模板：第1步：由等差数列性质；第2步：利用求解。【现炒现卖】答案： ；解析：。例6、关键词：。通过关键词提取到的关键信息：。逻辑思维分析：，由可求出。答题过程：，。万能解题模板：第1步：通过与的关系，递推出与的关系；第2步：利用求解。【现炒现卖】解析：，整理得 ，则 ，-得，整理得，即是等差数列。例7、关键词：等差数列，14，？通过关键词提取到的关键信息：角标4、8、12成倍数关系。逻辑思维分析：由等差数列性质，成等差数列，知，即可求出。答题过程：，。万能解题模板：第1步：寻找角标的成倍关系；第2步：利用等差数列性质，成等差数列，求解相关量。【现炒现卖】答案：解析：。例8、关键词：等差数列，？通过关键词提取到的关键信息：角标7是奇数，且，。逻辑思维分析：由角标关系，利用等差数列性质项数为（奇数），则可得。答题过程：。万能解题模板：第1步：寻找角标的关系；第2步：利用利用等差数列性质若项数为，则，且，若项数为，则，且，（其中，），求。【现炒现卖】答案：B；解析：有奇数项，解得，所以。【基础巩固】专心-专注-专业1、 答案：C.2、 答案：-49.3、 答案：.4、 答案：C.5、 答案：C.6、 答案：B.7、 答案：C.8、 答案：；解析：是的形式，9、 答案：630；解析： ，配方得 ，因为，所以只能取11或12；将11、12带入式求得。10、 答案：11、6、1；解析：已知的数字只有两个，因此只能列两个方程，而求的三个未知数，多了一个未知数，所以我们可以根据等差数列的性质，巧妙的设未知数，即设三个数分别为，也就只有两个未知数，解得。【能力加强】1、 答案：D.2、 答案：.3、 答案：54.4、 答案：B.5、 答案：A.6、 答案：A.7、 答案：C.8、 答案：99.9、 答案：，；解析：，解得。10、 答案：，；解析：，当时，有最大值4。【尖子训练】1、 答案：B；解析： ，。2、 答案：D；解析：。3、 答案：0；解析：，解得，。4、 答案：；解析：，同理，所以是首项为-2公差为的等差数列，。5、 答案：，有；解析：（1），；（2）由（1）的，设，有，所以必须是3的倍数，即是3的倍数，令，解得可取1、2、3、4，即在100以内有四个相同的项：18、42、66、90。6、 答案：；解析：（1），；（2）由已知条件有： ，由联立解得，由联立解得，将带入解得，则所有可能的通项公式有。