选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案(共24页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第三章 导数及其应用备课人 周志英3.1 导数的概念教学目的1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程一、前置检测(导数定义的引入)1什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)2怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的时间段内的平均速度，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分来源:学科网表格1格2时，在这段时间内时，在这段时间内当0.01时，13.051；当0.01时，13.149；当0.001时，13.095 1；当0.001时，13.104 9；当0.000 1时，13.099 51；当0.000 1时，13.100 49；当0.000 01时，13.099 951；当0.000 01时，13.100 049；当0.000 001时，13.099 995 1；当0.000 001时，13.100 004 9；。问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）关于这些数据，下面的判断对吗？2当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。3 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；4 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；5 -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1，现在我们一起回忆一下是如何得到的：来源:Zxxk.Com首先，算出上的平均速度=，接着观察当趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用 表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”。思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于实际的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是为了表述方便，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。二、精讲点拨（互动探究） 函数在处的瞬时变化率如何表示？导数的定义（板书）函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即=。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为或。来源:学科网 附注：导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；定义的变化形式：=； =；=；，当时，所以 求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。例1（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2, 再求再求解：法一（略）； 法二：（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： 例2（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义，所以；同理可得:在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。由导数的定义，我们知道，高度关于时间的导数是运动员的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率。实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。三、当堂测评1质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为2求曲线y=f(x)=x3在时的导数3例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义四、总结提升:学科网ZXXK1导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；2导数就是瞬时变化率；3导数的计算公式：=。4. 求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”五、布置作业1.课时作业十六2.预习导数的几何意义：（1）知道导数的几何意义；（2）会求曲线上某点处的切线方程。3.2.1几个常用函数的导数教案教学目标：1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；2. 利用公式解决简单的问题。教学重点和难点 1重点：推导几个常用函数的导数； 2难点：推导几个常用函数的导数。教学方法：自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。教学过程：一 、前置检测1、函数在一点处导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的步骤。二、精讲点拨 例1推导下列函数的导数（1）解：， 1. 求的导数。解：， 。表示函数图象上每一点处的切线的斜率都为1.若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。思考：(1).从求，的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？ (2).函数增的快慢与什么有关？ 可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.2. 求函数的导数。解： ，。表示函数图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化： (1) 当x<0时，随着 x的增加，减少得越来越慢； （2）当x>0时，随着 x的增加，增加得越来越快。3. 求函数的导数。解： ， 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？来源:学科网来源:Zxxk.Com ，所以其切线方程为。 (2)改为点（3，3），结果如何？ (3)把这个结论当做公式多好呀，既方便，又减少了复杂的运算过程。 三、当堂测评 1. 试求函数的导数。解： 2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。解：，设切点为，则因为PQ的斜率又切线平行于PQ，所以，即，切点，所求直线方程为。来源:Zxxk.Com四 练习1.如果函数，则（ ）A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在来源:学|科|网Z|X|X|K 2.曲线在点（0，1）的切线斜率是（ ） A.-4 B.0 C.2 D. 不存在 3.曲线在点处切线的倾斜角为（ ） A. B. 1 C. D. 来源:学科网答案：1.C 2.B 3.C四、总结提升 1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用； 2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。五、布置作业1. P85 ，A组 12.求双曲线过点的切线方程。3.预习函数的单调性与导数，初步掌握在区间（a,b）内函数的单调性与导数的关系。3.3.1函数的单调性与导数教学目标：1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性。2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学重点：会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学难点：证明单调性一、前置检测（1）常函数：(C为常数)； （2）幂函数 ：()（3）三角函数 ： （4）对数函数的导数: （5）指数函数的导数: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间t 变化的函数 的图象,hto 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地, 从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, 二、精讲点拨观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数在这个区间内单调递增; 如果,那么函数在这个区间内单调递减. 如果恒有，则是常数。例1 已知导函数 的下列信息:当1 < x < 4 时, 当 x > 4 , 或 x < 1时, 当 x = 4 , 或 x = 1时, 试画出函数的图象的大致形状.例2判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 三、当堂测评练习：判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓.四、总结提升 1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f(x)(2)解不等式f(x)>0(或f(x)<0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f(x)(2)确认f(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论五、布置作业1、完成课时作业十九；2、预习函数的极值与导数，知道极值与导数之间的关系，掌握函数极值的判别方法。3.3.2函数的极值与导数教学目标1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义；2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.教学重点 求函数的极值教学难点 严格套用求极值的步骤一、前置检测函数的极值与导数的关系1、观察下图中的曲线a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小2、观察函数 f(x)2x36x27的图象，思考：函数yf(x)在点x0，x2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f(0) 是函数的一个极大值；（2）函数在x2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f(2)是函数的一个极小值函数y2x36x27 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)函数y2x36x27 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2，f (2) )二、精讲点拨1.极值的概念：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值2.观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正函数的极值点xi是区间a, b内部的点，区间的端点不能成为极值点函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值函数在a, b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点3.利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：如果在x0附近的左侧f '(x)0，右侧f '(x)0，那么，f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f '(x)0，右侧f '(x)0，那么，f(x0)是极小值；思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点如函数f(x)x3，x0点处的导数是0，但它不是极值点例1求函数解：y¢x24(x2)(x2)令 y¢0，解得 x12，x22当x变化时，y¢，y的变化情况如下表因此，当x2时， y极大值 ，当x2时，y极小值求可导函数f (x)的极值的步骤： 求导函数f ¢(x)； 求方程 f ¢(x)0的根； 检查f ¢(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值例2求函数的极值三、当堂测评例3 求函数y(x21)31的极值解：定义域为R，y¢6x(x21)2.由y¢0可得x11，x20，x31当x变化时，y¢，y的变化情况如下表： 当x0时，y有极小值，并且y极小值0例4的极值思考: 导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？练习：求函数的极值四、总结提升1考察函数的单调性的方法；2导数与单调性的关系；3用导数求单调区间的步骤.五、布置作业1.课时作业二十2.预习函数的最大（小）值与导数，理解最值与极值的区别，会求某些简单函数的最大值和最小值3.3.3 函数的最大（小）值与导数教学目标1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系一、前置检测我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象图中与是极小值，是极大值函数在上的最大值是，最小值是结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值说明：（1）如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续（可以不给学生讲）（2）给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；（3）在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，（4）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件（可以不给学生讲）二、精讲点拨1“最值”与“极值”的区别和联系(1)最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值三、当堂测评例1求在的最大值与最小值 解： 由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，因此，函数在的最大值是4，最小值是上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证练习1下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x) ( )A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能四、总结提升1函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4利用导数求函数的最值方法五、布置作业1.完成课时作业二十一；2.预习生活中的优化问题距离，知道什么是优化问题，总结解决优化问题的一般思路。§1.4生活中的优化问题举例教学目标：1 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程：一、前置检测生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；来源:学*科*网Z*X*X*K3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案二、精讲点拨例1海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 。 求导数，得。令，解得舍去）。于是宽为。当时，<0；当时，>0.因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。例2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是 令 解得 （舍去）当时，；当时，当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为cm时，利润最大换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当时，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小例3磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域（1） 是不是越小，磁盘的存储量越大？（2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量× （1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大（2）为求的最大值，计算令，解得当时，；当时，因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得，则来源:Zxxk.ComS(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，从而h=2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S=2+h=V(R)=R= )=0 三、当堂测评1用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积（高为1.2 m，最大容积）5 课本练习 P104四、总结提升建立数学模型1利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。五、布置作业 1.课本A组5,6； 2.完成课时作业二十二专心-专注-专业