高一数学秋季前十讲xin(共82页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上高一年级数学培优教材目 录第一课时 集合2第二课时 命题与充要条件8第三课时 集合章节复习15第四课时 不等式的性质23第五课时 一元二次不等式的解法31第六课时 其他不等式的解法38第七课时 基本不等式47第八课时 集合不等式综合复习55第九课时 函数的概念与运算68第十课时 函数的奇偶性78高一 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 01 课时课题 集合 一、 知识要点（一）集合的有关概念1、集合的定义我们把研究的对象看作一个整体，就成为一个集合。集合中的每个对象称为集合的元素，元素习惯用小写英文字母a、b、c表示，集合用大写字母A、B、C表示。 2、元素的特性：（1）确定性：设A是一个给定的集合，a是某一个具体对象，则a或者是A中的元素，或者不是A中的元素，两者必居其一。（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，即对某一给定的集合，它的任何两个元素都是不相同的。（3）无序性：集合中的元素没有固定的先后顺序，两个集合只要元素相同，就是同一个集合。 3、元素与集合的关系（1）“”表示 a是集合A的元素。（2）“”表示a不是集合A的元素。 4、集合的表示方法：（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。（2）描述法：将元素公共属性描述出来（3）图示法：用一条封闭的曲线(4)区间法 5、分类：（1）有限集；（2）无限集；（3）空集：；（4）常用数集：N、N*、Z、Q、R、C。（二）集合之间的关系1、子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么A叫做B的子集，记作AB。2、真子集：如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB。3两集合相等：对于集合A与B，如果A是B的子集（AB），且B是A的子集（BA），那么称集合A与集合B相等，记作A=B。4、几个特殊结论：（1）空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；（2）任何一个集合是它本身的子集；（3）子集的个数：若一个集合有n个元素，那么这个集合的子集个数为2n个，真子集个数为2n1，非空真子集个数为2n2;(4)注意区别与（三）集合的运算1、交集：性质：2、并集：性质：3、补集与全集：性质：若二、巩固练习1.用列举法表示集合=_2.用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合3如果，那么下列写法中正确的是 （ ）. . . .4.对于集合A和B，当时，下列写法中错误的是 （ ）. . . .5.已知，写出所有满足条件的集合M是_6.设集合,若则实数a=_三、迁移练习1.用列举法表示=_2.集合，则B中元素个数是_个3.设满足，的集合P的个数是 （ ）. 个 .个 .个 .个4.若集合,且，则满足条件的实数x=_5.下列关系式中正确的是 （ ）. . . .6.设集合,，则 （ ）. . . .四、提高练习例1已知集合集合，且，求练习1.已知集合集合且QP，求的一切值 例2已知集合，集合若BA，求的取值范围练习2.已知集合，集合，若，求的值例3已知集合A=x|mx2-2x+3=0，mR.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.练习3.已知集合集合且7，求集合例4已知集合 集合，若，求实数的值所组成的集合练习4.已知集合，集合，（1） 若求实数的取值范围（2） 若求实数的取值范围（3） 能否相等，若能求出值，若不能说明理由例5已知三个集合，问同时满足BA，且的实数是否存在，若存在求出若不存在说明理由。五、培优训练1.集合A满足：若，则，若。则满足条件的元素个数最少的集合A为 2.设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：若，则；若，则； 若，则。其中正确命题的个数是 （ ）.0 . 1 . 2 .33.如果集合的某个非空子集中，所有数之和为奇数，则称这个非空子集为奇子集，试问集合的奇子集个数为 4.已知集合，则等于 （ ） A.B. C. D.5.设，若，则实数的取值范围是6.设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在使得，则称为集合X的聚点，用Z表示整数集，则在下列集合，（1）（4）整数集Z中，以0为聚点的集合有 （ ）.（2）（3） .（1）（4） .（1）（3） .（1）（2）（4）7设有集合和，求和（其中表示不超过实数之值的最大整数）六、课后作业1.在下列各组集合中,P,Q是相同集合的是 （ ）.,., .2.下列命题中错误的是 （ ）.是单元素集 .是空集 .是有限集 . 是无限集3.已知集合，集合满足NM，则a所取的一切值_4.已知集合,且为单元素集合，则实数a的取值范围是_5.已知集合,若，则实数a的取值范围是_6.(1)已知集合,，则=_ (2)已知集合,，则=_7.已知,(1)若求实数a的取值范围_(2)若PQ，求实数a的取值范围_高一 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 02 课时课题 命题与充要条件 知识要点1、真命题的证明方法：（1）由已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出结论（2）反证法 用反证法证明命题的一般步骤： 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。四种命题形式原命题逆命题（inverse proposition）否命题(negative proposition)逆否命题(inverse negative proposition)若，则若，则若，则若，则例1判断下列命题的真假，若为真，给出证明；若为假，举出反例。（1） 两个三角形两边和一对角对应相等，则两个三角形全等。（2） 如果一元二次方程ax+bx+c=0满足ac<0，那么这个方程有两个不相等的实根（3） 如果集合A、B、C满足AB=AC，那么B=C（4） 已知集合A、B、C，如果AB，那么ACBC2、推出关系（1）如果这件事成立可以推出这件事成立，那么就说由可推出，记作，读作“推出”（2）性质：I、推出关系具有传递性，即若，就有II、如果命题的条件、结论有推出关系，则这个命题是真命题。例2用符号“”“”“”连接事件与（1）：x=4，：x=2，则（2）：实数x适合x>1，：x0，则（3）A、B是两集合，：AB，：AB=A，则（4）a，b是两整数，：a与b奇偶性相同，：a+b是偶数，则（5）：x+23y，：x3y10，则3、命题的四种形式及其相互关系(1)当把称为原命题时，则称为原命题的逆命题，为原命题的否命题，为原命题的逆否命题(2)命题的四种形式相互具有互逆、逆否的关系(3)根据原命题写逆命题、否命题、逆否命题例3设原命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则ac=bd”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题4、等价命题如果两个命题A、B，A B且B A，那么A、B叫等价命题例5下列各组中两个命题是否互为等价命题（1）“AB”与“AB=B”（2）“xA”与“xAB”（3）“aAB”与“aB”（4）“mAB”与“mAB”二、巩固练习1.判断下列命题的真假，并说明理由：（1） 某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除 ；（2） 若a、bR，且ab>0，则a>0，且b>0；（3） 合数一定是偶数；（4） 若A B，则AB=A2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：（1） 若x+y0，则x0或y0；（2） 已知x、y、zZ，如果x、y、z中至少有一个是偶数，那么xyz能被2整除3.求证：对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 4.（1）下列命题是真命题的是 （ ）A.若=，则x=yB.若x=1，则x=1 C.若x=y，则= D.若x<y，则x<y（2）与命题“能被10整除的整数，一定能被5整除”的等价命题是 （ ）能被5整除的整数一定能被10整除；不能被10整除的数，一定不能被5整除；不能被10整除的数，不一定能被5整除；不能被5整除的数一定不能被10整除6.给定下列命题：若k>0，则方程x2+2x-k=0有实数根；“若a>b则a+c>b+c”的否命题；“矩形的对角线相等”的逆命题；“若xy=0则x, y中至少有一个为零”的否命题。其中真命题的序号是_7.命题P：若a、b都是奇数，则a+b是偶数，试写出命题P的逆否命题三、迁移练习1.“a、b、c三个数中有且只有一个为零”的否定是2.命题“如果x1，那么x>1”的否命题是3.命题“如果二次函数y=ax+bx+c过（1，0）点，那么a+b+c=0”的逆否命题是4.有下列三个判断：若一个命题的逆命题为真命题，则这个命题的否命题是真命题；若一个命题的逆否命题是假命题，则这个命题是假命题；若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题其中正确判断的序号是5. 如果命题P：，命题Q：，那么下列结论不正确的是 （ ）A.“P或Q”为真B.“P且Q”为假C.“非P”为假 D.“非Q”为假6. 给出以下四个命题：其中真命题是 （ ）“若xy=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若，则有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题A. B. C. D.7.原命题“若ABB，则ABA”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有个8.命题“能被10整除的数一定能被5整除”的等价命题是9.写出命题“若A=或B=，则AB=”的逆命题、否命题、逆否命题10.判断命题“如果ABC为锐角三角形，则A+B>”的真假，并证明。1.5 充分条件，必要条件一、充分条件和必要条件1.充分条件和必要条件的概念（1）充分条件如果，则称为的充分条件，“充分”是“足够”的意思。（2）必要条件如果，则称为的必要条件，“必要”是“必须具备”的意思。2.充分条件与必要条件的判定例1用“充分”、“必要”填空（1）“两个角都是直角”是“两个角互补”的条件；（2）“m=3”是“|m|=3”的条件；（3）“x>1”是“x+x2>0”的条件；（4）“k>0”是“直线y=kx+b过第一象限”的条件。二、充要条件1.充要条件的概念充要条件的归纳总结：如果且，则称是的充要条件。例2已知x,yR.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.练习1.a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.例3已知集合A=y|y=x4x+5，B=x|x>a，试证明：“a>4”是“BA”的一个充分非必要条件练习2.试说明一元二次方程ax+bx+c=0有两个异号实根的充要条件是a与c异号例4（1）写出|x|>2的一个充分条件；（2）写出x>1的一个必要条件例5证明：三角形是直角三角形的充要条件是一边上的中线长等于这边长的一半例6两实数、，>2，>2的充要条件是什么？三、巩固练习1.关于x的方程ax+bx+c=0有一个根为1的充要条件是2.（1）“x>0且y>0”是“x+y>0”的条件；（2）“x=1”是“x3x+2=0”的条件；（3）“C AC B”是“BA”的条件3.用“充分”或“必要”填空（1）“x>2”是“x>1”的条件；（2）“x是整数”是“x>1”的条件；（3）“x2x3=0”是“x=1”的条件；（4）“四边形是菱形”是“这个四边形对角线互相垂直”的条件；（5）A、B是两个集合，AB是A=B的条件4.（1）“AB=A”是“AB=B”的条件 （2） “”是“”的_条件5. 有下列命题：若； 若；若； 若若； 若其中不正确的命题是 （ ）A.没有； B.仅有和； C.仅有和； D.仅有和6.已知ab0，求证：a+b=1的充要条件是a+b+abab=0四培优训练1. 已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围2. 求证：关于x的一元二次方程有一个根为的充要条件是.3. 求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.4. p:2<m<0,0<n<1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.5. 设，是方程x2ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根、均大于1的什么条件？五课后作业1.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的条件. 2.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的条件.3.设集合M=x|x2，P=x|x3,那么“xM或xP”是“xMP”的条件.4.若集合A=1，m2，集合B=2，4，则“m=2”是“AB=4”的条件.5.已知条件p：|x+1|2,条件q:5x-6x2，则非p是非q的条件.6.不等式|x|a的一个充分条件为0x1,则a的取值范围为.7.“命题”非空集合A、B，如果AB，那么ACNB=的逆命题是_。8.命题“如果x>2，那么，x2>4”的否命题是_。高一年级 数学 学科 总计 20 课时 第 03 课时课题集合章节复习集合章节总结一、 集合之间的关系例1已知集合P=x|x+x6=0，集合Q=t|at+t+1=0，求满足QP的实数a的值所组成的集合二、 集合与集合之间的关系的判定与证明例2判定下列两个集合之间的关系：（1） 集合A=x|x0且x2，xR，集合B=x|x<0或0<x<2或x>2，则AB（2） 集合M=x|x=m+1，mN，集合N=t|t=nn+5，nN，则MN三、 有关命题的四种形式的判定例3判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由（1） 若实系数一元二次方程ax+bx+c=0（a0）满足ac<0，则该方程有实数根；（2） 若实系数一元二次方程ax+bx+c=0（a0）有实数根，则ac<0；（3） 若a、b、c都是正整数，且ab是c的倍数，则a、b中至少有一个是c的倍数；例4有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x+2x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题，其中真命题是四、 有关充要条件的判定技巧当AB时，是的充分条件；当AB时，是的必要条件。当AB时，是的充分非必要条件；当AB时，是的必要非充分条件。例5已知A、B、C是三个非空集合，请判定“A B”是“（AC）（BC）”的什么条件？例6利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件（1） 写出x<1的充分条件；（2）写出x<1的必要条件；例7在下列各题中，用符号“”或“”，把、这两件事联系起来（1）：实数x适合x3x+2=0，：x=1或x=2；（2）：x=2，：|x|=2（3）：AB，：AB=B；（4）：集合M=N，：MA=NA。例8设：x1=0，xR；：x2px+q=0，xR；是的必要不充分条件，试求p、q的值例9设集合M=x|0<x3，N=x|0<x2，那么“M”是“N”的 条件例10设p：x2，q：x<a+2（aR），p是q成立的必要条件，求a的范围 练习1.有命题、，若命题s：，则“”是的条件2.用子集与推出关系来判断四组命题：a=1且b=4，：a+b=5；设：x+y<0，：x<0且y<0；设：x、y不都为零，：x+y0；设：b4ac>0，：关于x的方程ax+bx+c=0有两个不同实数根。其中是的充要条件的是3.已知p：方程x+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x+4（m2）x+1=0没有实数根，设：p真q假，：p假q真，用子集与推出关系来判断a是b的什么条件？4.若：x<2或x>3，：4x+m<0，是的充分条件，求实数m的范围5.设：a+a6=0，：mb+1=0，是的充分条件，求m的值五、 有关命题的证明例11试证：如果两个实数a、b的积是无理数，那么这两个实数中至少有一个是无理数六、巩固练习1. 设U=R，A=x|x>0，B=x|x>1，则AC B=2. 已知集合M=x|3<x5，N=x|5<x<5，则MN=3. 设集合A=x|x>3，B=x|<0，则AB=4. 已知全集U=AB中有m个元素，中有n个元素，若AB非空，则AB的元素个数为5. 已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题： s是q的充分条件； p是q的充分条件而不是必要条件； r是q的必要条件而不是充分条件； p否定是s否定的必要条件而不是充分条件； r是s的充分条件而不是必要条件则正确的序号是七、迁移练习1. 满足条件：Ma，b=a，b，c的集合M为2. a+b>2ab成立的一个充分非必要条件是3. “若AB，则AB=A”是（填“真”或“假”）命题4. 设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为，则这个运算表达式可以是5. 已知0<+<4，0<<3是0<<1，0<<3的条件6. 设全集U=x|1<x<17和子集A=x|2<x10，B=x|3x16，则CAB=7. 设集合A=x|3x5，B=x|xa，AB，ABB，则实数a的取值范围是8. 命题“若a=0，则ab=0”的逆否命题是命题（填“真”或“假”）9. 若a、b、c都是实数，试从a·b=0；a+b=0；a+b=0；a·b>0；a+b>0；a+b>0中选取适合下列条件者填入（用代号）：（1）使a、b都为0的充要条件是；（2）使a、b都不为0的充分条件是；（3）使a、b至少有一个为0的充要条件是；（4）使a、b中至少有一个不为0的充要条件是。10.已知集合A=x|<0，B=x|（1+x）（1|x|）>0，则AB=11.设全集U=Z，A=x|x<5，xZ，B=x|x1，xZ，则C A与C B的关系是12.如图所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是13.四个命题：（1）AB=A，（2）AB=B，（3）ACB=，（4）AB=U（U为全集）中与命题AB等价的有14.设集合A=x|x+（2a3）x3a=0，aR，集合B=x|x+（a3）x+a3a=0，aR，若AB，AB，试用列举法表示AB15.已知集合A=x|x=14m+36n，m、nZ，B=x|x=2k，kZ，求证：A=B16.已知集合A=（x，y）|y=x，B=（x，y）|x+（ya）=9，a>0，如果AB，那么0<a5（1）证明它是真命题；（2）写出它的逆命题，判断它的真假性，并证明能力提高1. 集合A=,B=，则AB中最小的正元素是2. 设A=1,2，则满足XA=1，2，3的集合X的个数是个3. 若不等式的解集为R，则k的取值范围是4. 设全集为U=R,A=，B=，且11B，则（ ）A.（）B=R B.A（）=R C.（）（） D.AB=R5.设m、n为自然数，m>n，集合A=1,2,3，。，m,集合B=1,2,3，。，n,满足BC的A的子集C共有 个.6.设集合A=，B=，若AB=，则实数a的取值范围是 。7.若关于x的不等式ax-b>0的集合为（1，+），则关于x的不等式的解集是 8.设集合M=,S=,则M与S的关系是 （ ）A. M=S B. MS C. SM D. 9.关于x的方程至少有一个负的实根的充要条件是10.关于x的方程两个不相等的负实数根的充要条件是11.证明:a、b、c均为负数的充要条件是a+b+c0，ab+bc+ac0且abc0.12.已知关于x的方程，求（1）方程有两个正根的充要条件（2）方程至少有一个正根的充要条件13.已知集合A=（x，y）|y=x，B=（x，y）|x+（ya）=9，a>0，如果AB，那么0<a5（1）证明它是真命题；（2）写出它的逆命题，判断它的真假性，并证明培优训练1.设集合，其中是五个不同的正整数，若中所有元素的和为，则满足条件的集合的个数为2.设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。3.求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素之积(06，清华)。4.集合，试作出X的三元子集族&，满足：（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2）。高一 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 04 课时课题不等式的性质(一)不等式的性质1.比较准则：ab0ab；ab=0a=b；ab0ab.2.基本性质：（1）abba.（2）ab，bcac.（3）aba+cb+c；ab，cda+cb+d.（4）ab，c0acbc；ab，c0acbc；（5） ab0，cd0acbd.（6）ab0（nN，n1）；（7） ab0anbn（nN，n1）.（8）ab，ab0，（二）不等式的证明（1）比较法1、求差法：abab02、求商法：ab03、用到的一些特殊结论：同向不等式可以相加（正数可以相乘）；异向不等式可以相减；4、分析法执果索因；模式：“欲证，只需证”；5、综合法由因导果；模式：根据不等式性质等，演绎推理6、分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.（2）反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确；一、基础训练1.判断下列命题的真假。（1）若ab，那么acbc。（2）若acbc，那么ab。（3）若ab，cd，那么a-cb-d。（4）若，那么。（5）若，那么。（6）若，那么。2.（1）比较与的值的大小。（2）比较与的值的大小。（3）比较与的值的大小。二、经典例题导讲例1比较下列各组代数式的大小：（1）与；（2）与；（3）与；（4）若，则与。例2例3:解关于的不等式例4设例5例6下列不等式，若用其中两个作为条件，另一个作为结论.写出所有的真命题三、典型习题导练一1.比较大小：2.下列命题中为真命题的是（1）且，则；（2）且，则；（3）且，则；（4）则3.“”成立是“”成立的 条件4.已知，则A、C的大小关系是 5.观察，由此可以得出结论 6.若，求的取值范围7.已知，且，求的取值范围四、典型例题导练二1.设，则的取值范围是2.若，则将、从小到大排列是3.若，且，则与的大小关系是4.若，则与的大小关系是5.若，则与的大小关系是6.若同时成立,则应满足条件7.以下几个命题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。其中假命题的个数是 ( ）. 1 .2 .3 .48.已知，那么 （ ）. . . .9.当时,比较的大小。10.若，则的取值范围是11.。12.已知，求的取值范围。13.已知关于的不等式。（1）解该不等式；（2）若该不等式的解为，求实数的值；（3）若是不等式的解，求实数的取值范围。培优训练（1） 若，则下列结论不正确的是 （ ）. . . . 2.已知为实数，且。则的 （ ）.充分而不必要条件 .必要而不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件3.下列几个不等式中（ ）（1）（2）（3）（4）其中恒成立的不等式个数是 （ ）. 0 .1 . 2 . 34.若，求证：5.若实数、满足，则称比远离.（1）若比1远离0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；6.课堂演练与课后作业一、选择题1.设a，b，c，dR，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是 （ ）A.a+c>b+d B.ac>bd C.ac>bd D.2.若a、b为实数，则a>b>0是a2>b2的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件3.若则下列结论正确的是 （ ）A.B. C. D.4. “a>b”是“ac2>bc2”成立的 （ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条 C.充要条件D.以上均错5.若为任意实数且，则 （ ）A. B. C. D.6. “”是“”的 （ ）A.充