预见2019极坐标参数方程(共13页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上（一） 坐标系与参数方程1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 选考必考题型之一，多考极参与普通方程的互化，直线参数方程中参数的几何意义 注意极坐标系下的直线方程;极坐标方程和参数方程必须经过普通方程建立联系。题型示例极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0，0,2)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点直角坐标 极坐标 互化公式在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角。1.在极坐标系中，圆是以点为圆心，2为半径的圆。(1)求圆的极坐标方程。(2)求圆被直线所截得的弦长。解(1)设所求圆上任意一点，M(，)，如图，在RtOAM中，OMA，AOM2，|OA|4。因为cosAOM，所以|OM|OA|·cosAOM，即4cos4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故4cos为所求。(2)设l：(R)交圆C于点P，在RtOAP中，OPA，易得AOP，所以|OP|OA|cosAOP2。解：(1)圆C是将圆4cos绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是4cos。(2)将代入圆C的极坐标方程4cos，得2，所以圆C被直线l：(R)所截得的弦长为2。2.在极坐标系中，直线的极坐标方程为，是上任意一点，点在射线上，且满足，记点的轨迹为。(1)求曲线的极坐标方程。(2)求曲线上的点到直线距离的最大值。解(1)设P(1，)，M(2，)，由|OP|·|OM|4，得124，即2。因为M是上任意一点，所以2sin2，即sin2，12sin。所以曲线C2的极坐标方程为2sin。(2)由2sin，得22sin，即x2y22y0，化为标准方程为x2(y1)21，则曲线C2的圆心坐标为(0,1)，半径为1，由直线cos，得：coscossinsin，即xy2，圆心(0,1)到直线xy2的距离为d，所以曲线C2上的点到直线cos距离的最大值为1。3()在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)M为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值解：(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16得C2的极坐标方程4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB面积S|OA|·B·sinAOB4cos·22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.4. (2017·全国卷)在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (为参数)。设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线。(1)写出的普通方程。(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径。解(1)消去参数t得的普通方程：yk(x2)；消去参数m得的普通方程：y(x2)，设P(x，y)，由题设得消去k并整理得x2y24(y0)。所以C的普通方程为x2y24(y0)。(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(0<<2，)，联立得cossin2(cossin)。故tan，从而cos2，sin2。代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为。5. (2015·全国卷)在直角坐标系中，直线：，圆C2： ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求，的极坐标方程；(2)若直线的极坐标方程为 ()，设与的交点为，求 的面积解：(1)因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2， |MN|12，因为C2的半径为1，所以C2MN的面积为.6.在直角坐标系中，直线，圆:： (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求直线与圆的极坐标方程。(2)设直线与圆的交点为，求的面积。解(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x1)2(y2)21，因为xcos，ysin，所以直线l的极坐标方程为(R)，圆C的极坐标方程为22cos4sin40。(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，|MN|12|，因为圆C的半径为1，所以CMN的面积为××1×sin。7. (2015·全国卷)在直角坐标系中，曲线 (为参数，)，其中.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，.(1)求与交点的直角坐标；(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0<.因此A的极坐标为(2sin，)，B的极坐标为(2cos，)所以|AB|2sin2cos|4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.【点拨】本题主要考查极坐标方程与参数方程的相关知识，具体涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容，意在考查方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求8在直角坐标系中，圆C的参数方程为 (为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆的极坐标方程；(2)直线的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)圆C的普通方程为(x1)2y21，又xcos，ysin，所以圆C的极坐标方程为2cos.(2)设P(1，1)，则由 得11，1，设Q(2，2)，则由 得23，2，所以PQ2.9(2017·江苏高考)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 (为参数)，曲线的参数方程为 (为参数)。设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值。解直线l的普通方程为x2y80。因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d。当s时，dmin。因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值。10.已知在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 (为参数)，。(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线。(2)设曲线与曲线的交点为，当时，求的值。解(1)由2(3sin2)12得1，该曲线是椭圆。(2)将代入1得t2(4cos2)6tcos90，由直线参数方程的几何意义，设|PA|t1|，|PB|t2|，t1t2，t1t2，所以|PA|PB|t1t2|，所以cos2，因为，所以cos。11.已知曲线，过点的直线 (为参数)与曲线相交于两点(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)若成等比数列，求实数的值解：(1)把代入sin22acos，得y22ax(a>0)由(t为参数)消去t得xy20.所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y22ax(a>0)，xy20.(2)将(t为参数)代入y22ax(a>0)，整理得t22(4a)t8(4a)0.设t1，t2是该方程的两根，则t1t22(4a)，t1t28(4a)，因为|MN|2|PM|·|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，所以8(4a)24×8(4a)8(4a)，所以a1.12.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为 (为参数)，直线经过点P(1,2)，倾斜角.(1)写出圆的标准方程和直线的参数方程。(2)设直线与圆相交于两点，求的值。解(1)消去，得圆的标准方程为x2y216。直线l的参数方程为即(t为参数)。(2)把直线l的方程代入x2y216，得2216，即t2(2)t110，所以t1t211，即|PA|·|PB|11。13.(2016·全国卷)在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标解：(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos，sin)因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.14.已知曲线，直线l： (为参数)(1)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；(2)过曲线上任一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.15.已知直线l的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程；(2)若是直线l与圆面的公共点，求的取值范围解：(1)因为圆的极坐标方程为4sin，所以24sin4.又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22 y2x，所以圆C的直角坐标方程为x2y22x2 y0.(2)方法一：设zxy，由圆C的方程x2y22x2 y0(x1)2(y)24，所以圆C的圆心是(1，)，半径是2，将代入zxy得zt.又直线l过C(1，)，圆C的半径是2，所以2t2，即xy的取值范围是2，2方法二：直线l的参数方程化成普通方程为xy2.由解得P1(1，1)，P2(1，1)因为P(x，y)是直线l与圆面4sin的公共点，所以点P在线段P1P2上，所以xy的最大值是×(1)(1)2，最小值是×(1)(1)2，所以xy的取值范围是2，216在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (t为参数，a>0)以坐标原点O为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.(1)设P是曲线上的一个动点，当2时，求点P到直线的距离的最小值；(2)若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围解：(1)由，得(cossin)2，化成直角坐标方程，得(xy)2，即直线l的方程为xy40.依题意，设P(2cost，2sint)，则P到直线l的距离d22cos，当t2k，即t2k，kZ时，dmin22.故点P到直线l的距离的最小值为22.(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，所以对tR，有acost2sint4>0恒成立，即cos(t)>4恒成立，所以<4，又a>0，解得0<a<2，故a的取值范围为(0，2)17(2017·江苏)在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线上的动点，求点P到直线的距离的最小值解：易求得直线的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2，2s)，所以点P到直线l的距离d.当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.18在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为 (为参数)，求直线与曲线的交点P的直角坐标解：因为直线l的极坐标方程为(R)，所以直线l的普通方程为yx，又因为曲线C的参数方程为(为参数)，所以曲线C的直角坐标方程为yx2(x2，2)，联立方程组解得或(舍去)故P点的直角坐标为(0，0)19在直角坐标系中，圆C的参数方程为 (为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程及其圆心的直角坐标；(2)设直线与曲线交于两点，求的面积解：(1)由圆C：(为参数)得圆C的直角坐标方程：(x2)2y29，圆心C的直角坐标为(2，0)(2)直线的直角坐标方程：xy0；圆心C(2，0)到直线的距离d，圆C的半径r3，弦长|AB|22.ABC的面积为|AB|×d×2×.20(2016·全国卷)在直角坐标系中，圆的方程为.(1)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；(2)直线的参数方程是 (为参数)，与交于两点，|，求的斜率解：(1)由xcos，ysin可得C的极坐标方程为212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110.于是1212cos，1211，|AB|12|，由|AB|得cos2，tan±，所以l的斜率为或.21.在极坐标系中，射线l：与圆C：2交于点A，椭圆D的方程为2，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy。(1)求点A的直角坐标和椭圆D的参数方程。(2)若E为椭圆D的下顶点，F为椭圆D上任意一点，求·的取值范围。解(1)点A的极坐标为，对应的直角坐标为A(，1)。由2得222sin23，因为2x2y2，siny，所以x2y22y23。即椭圆D的直角坐标方程为y21。对应的参数方程为(为参数)。(2)设F(cos，sin)，又E(0，1)，所以(，2)，(cos，sin1)。于是·3cos32(sin1)2sin3cos5sin()5。因为1sin()1，所以5sin()55，所以·的取值范围是5，5。22已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为.(1)求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；(2)设直线与曲线交于两点，求.解：(1)由4sin0得24sin，所以x2y24y0，即x2(y2)24，即曲线C的直角坐标方程为x2(y2)24.因为直线l过点M(1，0)，倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)(2)设A，B对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入曲线C的方程得4，整理得t23t10，则t1t23，t1t21，所以t1>0，t2>0，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|3.23.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(1)写出直线与曲线的直角坐标方程；(2)过点平行于的直线与曲线交于两点，若，求点轨迹的直角坐标方程解：(1)直线：yx，曲线C：y21.(2)设点M(x0，y0)及过点M的直线为l1： (t为参数)，直线l1与曲线C联立可得：(x02y0)tx2y20.因为|MA|·|MB|，所以，即x2y6，而方程1表示一个椭圆取yxm代入y21得：3x24mx2m220，由0得m，故点M的轨迹是椭圆1夹在平行直线yx±之间的两段弧24.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点(1)若，求；(2)若点是曲线上不同于的动点，求面积的最大值【解析】(1) =2cos(+)可化为=2cos 2sin ，将，代入，得曲线C的直角坐标方程为(x1)2+(y+1)2=2将直线的参数方程化为 (t为参数)，代入(x1)2+(y+1)2=2，得t1=0，设方程的解为，则+=，=1，因而|PA|+|PB|=|+|=（5分）(2)将直线的参数方程化为普通方程得2xy1=0，设M(1+cos ，1+sin )，由点到直线的距离公式，得M到直线AB的距离为d=，最大值为，由(1)知 |AB|=|PA|+|PB|=，因而MAB面积的最大值为25.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为(1)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；(2)设圆与直线交于两点，若点的坐标为，求及【解析】(1)由直线的参数方程(t为参数)得直线的普通方程为y=x+3+由=2sin ，得+2y=0，即圆C的直角坐标方程为+(y)2=5（5分）(2)通解由得3x+2=0，解得或不妨设A(1，2+)，B(2，1+)，又点P的坐标为(3，)故|PA|+|PB|=+=3优解将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3t)2+(t)2=5，即3t+4=0由于=(3)24×4=2>0，故可设，是上述方程的两个实根，所以，又直线过点P(3，)，故|PA|+|PB|=|+|=+=3 专心-专注-专业