圆锥曲线(求轨迹方程)汇总(共7页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上专题 圆锥曲线（求轨迹方程）求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法（相关点法）：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程1一个区别“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的前者只须求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据2双向检验求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响考向一 直接法求轨迹方程【例1】已知动点P(x，y)与两定点M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点P的轨迹C的方程； (2)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状【解】(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN·，整理得x21(0，x±1)即动点P的轨迹C的方程为x21(0，x±1)(2)当0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当10时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(1,0)，(1,0)当1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)【对点练习1】已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2·，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是()A圆B椭圆C抛物线D双曲线【解析】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(a,0)，B(a,0)，则N(x,0)因为2·，所以y2(xa)(ax)，即x2y2a2，当1时，是圆的轨迹方程；当0且1时，是椭圆的轨迹方程；当0时，是双曲线的轨迹方程；当0时，是直线的轨迹方程综上，方程不表示抛物线的方程【答案】C考向二 定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线【解】如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得O1(2,0)，O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|r1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支a，c2，b2c2a2.点M的轨迹方程为1.图8­8­1【对点练习2】如图8­8­1所示，已知圆A：(x2)2y21与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程(1)PAB的周长为10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切，且与直线x1相切(P为动圆圆心)【解】(1)根据题意，知|PA|PB|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a6,2c4，即a3，c2，b.因此其轨迹方程为1(y0)(2)设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a1,2c4，即a，c2，b，因此其轨迹方程为4x2y21.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4. 因此其轨迹方程为y28x.图8­8­2考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8­8­2所示，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度【解】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得P在圆上，x2225，即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段AB的长度为|AB|.图8­8­5【对点练习2】(2014·合肥模拟)如图8­8­5所示，以原点O为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，P在y轴上的射影为M.动点N满足且·0.(1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0,3)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2与点N的轨迹分别交于E，F两点，k1·k29.求证：直线EF过定点【解】(1)由且·0可知N，P，M三点共线且PMQN.过点Q作QNPM，垂足为N，设N(x，y)，|OP|3，|OQ|1，由相似可知P(3x，y)P在圆x2y29上，(3x)2y29，即x21. 所以点N的轨迹方程为x21.(2)证明：设E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，由(k9)x26k1x0，解得x0或x. 所以xE，yEk13，E. k1k29，k2.用k2替代中的k1，同理可得F. 显然E，F关于原点对称，直线EF必过原点O.【达标训练】一、选择题1若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足·0，则P点的轨迹是() A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线2已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆 C圆 D抛物线3(2014·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线B椭圆C圆D双曲线图8­8­44(2014·合肥模拟)如图8­8­4所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2，且·1，则点P的轨迹方程是 ()A.x23y21(x0，y0) B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0) D3x2y21(x0，y0)6已知动点P在曲线2x2y0上移动，则点A(0，1)与点P连线中点的轨迹方程是()Ay2x2 By8x2 C2y8x21 D2y8x21二、填空题7平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程是_8动圆与C1：x2y21外切，与C2：x2y28x120内切，则动圆圆心的轨迹是_9已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_ 10.(2014·佛山模拟)在ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a0)，且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是_三、解答题11已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求·的最小值12(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B点在直线y3上，M点满足，··，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值13(2013·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程【达标训练】 参考答案一、选择题1A. 【解析】·0，PMPN，点P的轨迹是以线段MN为直径的圆2D. 【解析】由已知：|MF|MB|，由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线3A【解析】设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹为直线，故选A.4B【解析】由题意知，|EA|EO|EB|EO|r(r为圆的半径)且r|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.5A. 【解析】设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则(x，yyB)，(xAx，y)，2，即A，B(0,3y)又Q(x，y)，(x，y)，·x23y21，则点P的轨迹方程是x23y21(x0，y0)6C【解析】设AP中点M(x，y)，P(x，y)，则x，y，代入2x2y0，得2y8x21，故选C. 二、填空题7y28x。【解析】(2，y)，(x，y)，·0，·0，即y28x. 动点C的轨迹方程为y28x.8以C1，C2为焦点的双曲线的右支。【解析】C2的圆心为C2(4,0)，半径为2，设所求动圆的圆心为M，半径为r，因为动圆与C1外切，又与C2内切，所以r2，|MC1|r1，|MC2|r2. 由得|MC1|MC2|3|C1C2|4. 根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支9(x10)2y236(y0) 【解析】设A(x，y)，则D，|CD|3，化简得(x10)2y236，由于A，B，C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.10.【答案】1(x0且y0). 【解析】由正弦定理：×，即|AB|AC|BC|，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支三、解答题11【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x24y.(2)由题意知，直线l2的方程可设为ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去y，得x24kx40. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24. 又易得点R的坐标为，··(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，当且仅当k21时取等号，·4×2816，即·的最小值为16.12【解】(1)设M(x，y)，由已知得B(x，3)又A(0，1)，所以(x，1y)，(0，3y)，(x，2)再由题意可知()·0，即(x，42y)·(x，2)0，所以曲线C的方程为yx22.(2)设P(x0，y0)为曲线C：yx22上一点，因为yx，所以l的斜率为x0.因此直线l的方程为yy0x0(xx0)，即x0x2y2y0x0.则O点到l的距离d，又y0x2，所以d2.当x00时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.13【解】(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23. 故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得. 又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.专心-专注-专业