个性化教案椭圆+双曲线+抛物线+圆锥曲线常用方法=圆锥曲线全方位学习(共43页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上个 性 化 教 案授课时间：备课时间：年级：课题：直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型学生姓名：教师姓名： 教学目标1、 了解解圆锥曲线问题常用几中方法2、 学会解圆锥曲线问题常用几中方法教学过程 椭圆一、考点梳理1、定义椭圆第一定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆焦距椭圆第二定义： 平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫椭圆的离心率2、基本性质椭圆的标准方程与几何性质：标准方程焦点在轴上焦点在轴上 图像几何性质范围顶点坐标 ，焦点坐标准线方程焦半径，对称轴方程、长短轴椭圆的长半轴长是，椭圆的短半轴长是离心率关系另外：椭圆的通径长：.焦点三角形的面积为：.3、直线与椭圆： 直线：（、不同时为0） 椭圆：那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下： 消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下， （1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度（即弦长）为，设直线的斜率为，可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。二、 典型例题考点一：定义的考查例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，2），（0，2），并且椭圆经过点（，）；（3）焦点在坐标轴上，且经过点A（，2）和B（2，1）例2、已知B、C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。变式训练：1、一动圆与已知圆O1：（x3）2y21外切，与圆O2：（x3）2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程。考点二、求面积例3、已知P是椭圆1上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF230°，求PF1F2的面积。变式训练：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且若的面积为9，则b=_考点三、离心率例4、椭圆的半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.例5、已知椭圆的离心率，求的值变式训练：1、 椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为_.2、已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围_。3、已知椭圆，以，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围_。考点四、椭圆的标准方程例5、椭圆ax2by21与直线xy1相交于P、Q两点，若|PQ|2，且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程。例6、中心在原点的椭圆C的一个焦点是F（0，），又这个椭圆被直线l：y3x2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程。考点五、直线与椭圆的位置关系例7、求椭圆上的点到直线的距离的最小值 选修2-1 椭圆练习题一.第一定义： ；1.方程=10,化简的结果是 2.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为 3设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则 形状是_4P是椭圆上的点，是两个焦点，则的最大值与最小值之差是 5.（2009年上海）已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. 6已知椭圆的两焦点为F1(1,0)、F2(1,0)，是椭圆上的一点，且成等差数列(1)求此椭圆方程； (2)若点P满足F1PF2120°，求PF1F2的面积.二.标准方程：；7.椭圆的右焦点到直线的距离是 8已知方程是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 9.已知椭圆的面积为现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为 11.过点且与有相同焦点的椭圆的方程是 10.椭圆和具有（ ）A相同的离心率 B相同的焦点 C相同的顶点 D相同的长、短轴12是椭圆的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为m，最小值为n，则椭圆上与点F距离为的点是（ ） 不存在13.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上，则_ _.三.离心率14若椭圆的离心率为，则m等于 15.（2009江西）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 16.（2008全国理15）在中，若以为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 四.轨迹方程17一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点M在线段AB上且，则点M的轨迹方程是 18.已知是圆 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为 19设分别为椭圆的左、右两个焦点（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程五.第二定义20. 若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 21 在椭圆内有一点P（1，1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 22P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则P点的坐标是 双曲线知识梳理1. 双曲线的定义定义到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹到定点与到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹标准方程（）（）简图几何性质焦点坐标，顶点，范围，准线 渐近线方程焦半径，在左支上用“”，在右支上用“”，在下支上用“”，在上支上用“”对称性关于轴均对称，关于原点中心对称；离心率的关系焦点三角形的面积：（，为虚半轴长）与共渐近线的双曲线方程（）与有相同焦点的双曲线方程（且）双曲线形状与的关系：,越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.二、直线与圆锥曲线相交，设两交点分别为，则直线被椭圆截得的弦长。三、双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.(3)若某双曲线与已知的双曲线有公共渐近线，双曲线可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.（4）与有相同焦点的双曲线方程（且）（5）双曲线形状与的关系：,越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔四.等轴双曲线 比如x型：中，当a=b,那么双曲线的方程为 x²-y²=a²,未知型的等轴双曲线常设为x²-y²=（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.它的实轴和虚轴的长都等于2a。这时，特征矩形为：四条直线x=±a,y=±a围成正方形。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率。自主学习基础自测1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为 .2.过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是 .3.已知椭圆1（ab0）与双曲线1（m0,n0）有相同的焦点（c，0）和（c，0）.若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .4.设F1、F2分别是双曲线1的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使F1AF290°且|AF1|3|AF2|,则双曲线的离心率为 .5.（2008·上海）已知P是双曲线1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3xy0,设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|3，则|PF1| .一、 定义：1.若，方程，表示什么曲线？若改成： ？2已知的顶点、，且，则顶点的轨迹方程是 3双曲线上一点到左焦点的距离为，那么该点到右焦点的距离为 变式：设是双曲线的焦点，点是双曲线上的点，点到焦点的距离等于，求点到的距离_。二、利用标准方程确定参数1. 求双曲线的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标 焦距 离心率 2若方程表示x型双曲线，则的取值范围是 表示y型双曲线，则的取值范围是 表示双曲线，则的取值范围是 3.已知双曲线的一个焦点为，为 4椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是 5已知双曲线的焦点分别为、，且经过点，则双曲线的标准方程是 变式：与椭圆有相同焦点，且过点的双曲线方程 6 等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是 三、焦点三角形1设椭圆和双曲线的公共焦点为、，是两曲线的一个公共点，则等于2：是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，那么的值为变式：设、是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线的同一支于、两点，若，的周长为则满足条件中的双曲线的标准方程是3设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ） 变式：设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，求的面积。四、渐近线方程1双曲线的渐近线方程是 2双曲线的渐近线的方程是 3双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_。4如果双曲线经过点，渐近线的方程为，则此双曲线的方程为 变式：过点（），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 五、离心率问题（）1.（2009湖南卷文）过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 _练习1（2009全国卷理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o. A B. C. D. 1.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，求此双曲线的方程；2.已知双曲线的离心率，虚半轴长为，求双曲线的方程。3.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 4双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 。5双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为_6.已知是双曲线的两个焦点，是过点且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，则双曲线的离心率为 变式训练：已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 六、直线与双曲线1. 若直线与双曲线始终有公共点，则的取值范围是_七、求双曲线方程（方法：1定义2待定系数3相关点代入）根据下列条件，求双曲线方程：与双曲线有共同的渐近线，且过点；与双曲线有公共焦点，且过点；以椭圆的长轴端点为焦点，且过点；经过点，且一条渐近线方程为；双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.八、最值（1利用第一、第二定义；2均值不等式；3 函数的单调性）例1、设是双曲线的右支上的动点，为双曲线的右焦点，已知，求的最小值；求的最小值. 练习1、（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 2、（天津市质检）由双曲线上的一点与左、右两焦点、构成，求的内切圆与边的切点坐标.例2、已知双曲线方程为（，）的左、右两焦点、，为双曲线右支上的一点，,的平分线交轴于，求双曲线方程.练习2（2009北京文）（本小题共14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在 圆上，求m的值. 练习4、已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。抛物线1.抛物线的定义平面内动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，则这个点的轨迹是抛物线。其中，定点F是抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线，常数是抛物线的离心率。 注意：（1）当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e>1时，轨迹为双曲线；当时，轨迹是抛物线。2.抛物线的几何性质 设抛物线的标准方程为y2=2px (p>0) （1）范围：p>0，抛物线在y轴的右侧，抛物线向右上方和右下方无限延伸。即x0,yR （2）对称性：关于x轴对称。将抛物线的对称轴称为抛物线的轴。 （3）顶点：抛物线和它的轴的交点。 （4）离心率：（5） 开口大小：P值越大，抛物线开口越大本质是成比例的放大。 （6）焦半径：|PF|=x0+p/2。 （7）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。 通径的长度：|AB|=2P规律：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2. 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4. 抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线不是双曲线的一支。当双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线 的斜率，而抛物线的斜率接近于和坐标轴所在直线平行。3. 抛物线的特点4. 抛物线的焦点弦 如图所示，弦AB过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦AB的中点为 P(x0,y0)则（1）|AB|= x1+ x2+p=2 x0+p ； （2）以AB为直径的圆必与准线相切另外，将直线方程与抛物线方程联系方|AB|=程组，还可以得到以下结论：（1）若直线的倾斜角为，则|AB|=；（2）A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为定值， 即,；（3）设|AF|=m，|BF|=n，则；（4）所有的焦点弦中，通径是最短的。通径是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p, 即为|AB|=的最小值5.经过焦点的弦长问题处理方法（1）利用弦长公式：|AB|= x1+ x2+p=2 x0+p |AB|= （2）利用椭圆、双曲线的第二定义，转化成焦点到相应准线的距离，进一步转化成弦中点到准线的距离。 （2）F不在直线上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线的一条直线。考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换1. 若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为 2. 求与圆C：外切，且与直线相切的动圆圆心M的轨迹方程. 3.已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对4.抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) A. B. C. D. 05. 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 变式1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差数列， 则有 （）A B C D. 2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【新题导练】3. (2009届天河区普通高中毕业班综合测试（一）)若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.（要求填写合适条件的序号）5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例3 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为_.例4、求过点A（-2，3）与抛物线只有一个焦点的直线方程。变式训练：求过点A（2，3）与抛物线只有一个焦点的直线方程。【新题导练】6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数 7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 考点4 抛物线的最值问题题型：有点到直线或直线到直线的距离的求解1. （2008辽宁卷10）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 2. 已知F是抛物线的焦点，点Q(2,2),在抛物线上找一点P使|PQ|+|PF|最小，求点P的坐标.3. 定长为4的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求线段AB的中点M到轴的距离的最小值，并求出此时AB的中点M坐标.基础巩固训练1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在2. （2007·揭阳）在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. (2008揭阳)两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( ) A B C D4. 如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）A5 B6 C 7 D9 5、(山东省威海市 2008年普通高中毕业年级教学质量检测)抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，ABl，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）A B C D6、 设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 综合提高训练7. (汕头市金山中学2009届11月月考)在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标8.（广东省六校2008届高三第三次联考）已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为（1）求的坐标；（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？10. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值. 直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型运用的知识：1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。2、弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。3、两条直线垂直：则两条直线垂直，则直线所在的向量4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： 题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得即 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。解得满足式此时。题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得：则直线PQ的斜率为定值。题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点消去x2，可得即y2=又2y22，22解之得：则实数的取值范围是。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是曲线M上的两点即 由韦达定理得：即 由得，代入，整理得，解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。总之实数的取值范围是。题型六：面积问题例题6、已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时，综上所述。当最大时，面积取最大值。题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则.=令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而，（）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题8、（如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：（）求点P的轨迹方程；（）若,求点P的坐标.解：()由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=， 所以椭圆的方程为 ()由得 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在PMN中， 将代入，得 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上. 由()知，点P的坐标又满足，所以 由方程组 解得 即P点坐标为问题九：四点共线问题例题9、设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2）又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）×2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即点总在定直线上问题十：范围问题（本质是函数问题）设、分别是椭圆的左、右焦点。（）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即:
