函数单调性的判断、证明和单调区间的求法(共25页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【考纲要求】理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是取值，设，且；作差，求；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；判断的正负符号；根据函数单调性的定义下结论。（2）复合函数分析法设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）。（4）图像法 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法 （2）复合函数法 先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。（3）导数法 在其对称区间上的单调性相减，如函数。 （2）在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数。 （3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。 （4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。 （5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。【方法讲评】例1 证明函数在区间是增函数。解：设， 函数在区间是增函数。例2 求函数的单调区间来源:学科网解：函数的定义域为x|xR，且x0，设x1、x20，且x1<x2，f(x1)f(x2)x1x2 (1)当x1<x2a或ax1x2时，x1x2<0，x1·x2>a2，f(x1)f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，a上和在a，)上都是增函数(2)当ax1<x2<0或0<x1<x2a时，x1x2<0，0<x1·x2<a2，f(x1)f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，f(x)在a,0)和(0，a上都是减函数例3 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式解： 【变式演练2】已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。例4 已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于 ， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-，-2. ()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.例5 设函数，求函数的单调区间与极值。+0-0+单调递增单调递减单调递增【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。【变式演练4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成x的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短例6（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，设， 在上分别是单调递减和单调递增的，在上是单调递减的，根据复合函数的单调性得函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为和。显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为。 (1)求；(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间方法四图像法使用情景函数的图像比较容易画出。解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。例7 求函数的单调区间。解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.【高考精选传真】1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（ ）（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D.2.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【解析】因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个，选B.3.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.4.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件5.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是( )A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）x D.y=x+【解析】函数y=ln（x+2）在区间（0，+）上为增函数；函数y=-在区间（0，+）上为减函数；函数y=（）x在区间（0，+）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+）上为先减后增函数故选A【反馈训练】1函数y2x2(a1)x3在(，1内递减，在(1，)内递增，则a的值是()A1 B3C5 D12函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上为增函数若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba2C2a2 Da2或a2上单调递减，那么实数a的取值范围是()A(0,1) B(0，)C，) D，1)4函数f(x)ln(x1)mx在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m的取值范围是()A(，1) B(，1C(， D(，)5函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是()A. B.C. D.6已知函数f(x)若f(2a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)7.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （ ） （A） (B) （C） (D) （2）若对任意x1，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围10.已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x>0时，f(x)<0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值11.f(x)是定义在(0，)上的增函数，且ff(x)f(y)(1)求f(1)的值；(2)若f(6)1，解不等式f(x3)f<2.来源:学&科&网12讨论函数在上的单调性. 13.已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。15.设函数（）若a=，求的单调区间；（）若当0时0，求a的取值范围证明：设是区间是任意的两个值，且所以 在区间上是增函数【变式演练2详细解析】 (2)当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.又已知存在，使，所以，（）又当时，与（）矛盾；当时，也与（）矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是.若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为（）选择函数模型，来源:学。科。网令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。【变式演练5详细解析】(1)f(x)sin2xcos2xsin(2x).令2x，将x代入可得：1.(2)由(1)得f(x)sin(2x).经过题设的变化得到的函数g(x)sin(x).当x4k，kZ时，函数取得最大值.来源:Z|xx|k.Com令2kx2k，即x4k，4k，kZ为函数的单调递减区间【变式演练6详细解析】所以函数的单调减区间为单调增区间为【反馈训练详细解答】4.C【 解析】：f(x)ln(x1)mx在区间(0,1)上恒为增函数，则f(x)ln(x1)mx在区间0,1上恒为增函数，f(x)m0在0,1上恒成立，m()min.5. D 【解析】函数f(x)的定义域是(1,4)，u(x)x23x42的减区间为，e>1，函数f(x)的单调减区间为.6. C【解析】f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(，)上是单调递增函数，由f(2a2)>f(a)得2a2>a，即a2a2<0，解得2<a<1.7.B【解析】根据奇偶性可以排除A,再画出函数的图像判断，选B.8.【解析】：任取x1、x20，且x1x2，则又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)a1时，函数f(x)在区间0，)上为减函数(2)当0a1时，在区间0，上存在x1=0，x2=，满足f(x1)=f(x2)=10a1时，f(x)在，上不是单调函数注： 判断单调性常规思路为定义法；变形过程中1利用了|x1|x1;x2；从a的范围看还须讨论0a1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现 9.【解析】： (1)当a=时，f(x)=x2，x1，)设x2x11，则f(x2)f(x1)=x2=(x2x1)=(x2x1)(1)x2x11，x2x10，10，则f(x2)f(x1)可知f(x)在1，)上是增函数f(x)在区间1，上的最小值为f(1)=(2)在区间1，上，f(x)=0恒成立x22xa0恒成立设y=x22xa，x1，)，由y=(x1)2a1可知其在1，)上是增函数，当x=1时，ymin=3a，于是当且仅当ymin=3a0时函数f(x)0恒成立故a310.【解析】(1)证明：法一：函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1>x2，则x1x2>0，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x>0时，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二：设x1>x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x>0时，f(x)<0.而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)，来源:Zxxk.Comf(x)在R上为减函数(2)解析：f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.11.【解析】(1)令xy，得f(1)0.(2)由x3>0及>0，得x>0, 由f(6)1及f(x3)f<2，得fx(x3)<2f(6)，即fx(x3)f(6)<f(6)，亦即f<f(6)因为f(x)在(0，)上是增函数，所以<6，当时，此时函数在上是单调减函数；当时，此时函数在上是单调增函数；13.【解析】（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是14.【解析】（I）当时则在内是增函数，故无极值。（II）令得由及（I），只需考虑的情况。当变化时，的符号及的变化情况如下表：000极大值极小值因此，函数在处取得极小值且要使必有可得所以（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组或由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有综上，解得或所以的取值范围是若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0.综合得的取值范围为专心-专注-专业