分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理带答案)(共12页).docx
精选优质文档-倾情为你奉上分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础自测:15位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有_种32解析每位同学有两种不同的报名方法,而且只有这5位同学全部报名结束,才算事件完成所以共有2×2×2×2×232(种)2有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数是_12解析由分步乘法计数原理,一条长裤与一件上衣配成一套,分两步,第一步选上衣有4种选法,第二步选长裤有3种选法,所以有4×312(种)选法3甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_种答案24解析分步完成首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法,其次甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法,最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×224(种)4用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有_个(用数字作答)答案14解析数字2,3至少都出现一次,包括以下情况:“2”出现1次,“3”出现3次,共可组成C4(个)四位数“2”出现2次,“3”出现2次,共可组成C6(个)四位数“2”出现3次,“3”出现1次,共可组成C4(个)四位数综上所述,共可组成14个这样的四位数.题型一分类加法计数原理的应用例1一班有学生50人,男生30人,女生20人;二班有学生60人,男生30人,女生30人;三班有学生55人,男生35人,女生20人(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从一班、二班男生中,或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?思维启迪用分类加法计数原理解(1)完成这件事有三类方法第一类,从高三一班任选一名学生共有50种选法;第二类,从高三二班任选一名学生共有60种选法;第三类,从高三三班任选一名学生共有55种选法,根据分类加法计数原理,任选一名学生任校学生会主席共有506055165(种)选法(2)完成这件事有三类方法第一类,从高三一班男生中任选一名共有30种选法;第二类,从高三二班男生中任选一名共有30种选法;第三类,从高三三班女生中任选一名共有20种选法综上知,共有30302080(种)选法思维升华分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意满足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理(1)在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个?(2)方程1表示焦点在y轴上的椭圆,其中m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,那么这样的椭圆有多少个?解(1)分析个位数字,可分以下几类:个位是9,则十位可以是1,2,3,8中的一个,故有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,7中的一个,故有7个;同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个;个位是2的只有1个由分类加法计数原理,满足条件的两位数有1234567836(个)(2)以m的值为标准分类,分为五类第一类:m1时,使n>m,n有6种选择;第二类:m2时,使n>m,n有5种选择;第三类:m3时,使n>m,n有4种选择;第四类:m4时,使n>m,n有3种选择;第五类:m5时,使n>m,n有2种选择共有6543220(种)方法,即有20个符合题意的椭圆题型二分步乘法计数原理的应用例2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限思维启迪可以根据报名过程,使用分步乘法计数原理解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步乘法计数原理,知共有选法36729(种)(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4120(种)(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法63216(种)思维升华利用分步乘法计数原理解决问题:要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成了才算完成这件事已知集合M3,2,1,0,1,2,若a,b,cM,则:(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数;(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数解(1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此yax2bxc可以表示5×6×6180(个)不同的二次函数(2)yax2bxc的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b、c的取值均有6种情况,因此yax2bxc可以表示2×6×672(个)图象开口向上的二次函数题型三两个原理的综合应用例3如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数思维启迪染色问题是常见的计数应用问题,可从选颜色、选顶点进行分类、分步,从不同角度解决问题解方法一可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论由题设,四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×360(种)染色方法当S、A、B染好时,不妨设其颜色分别为1、2、3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法可见,当S、A、B已染好时,C、D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7420(种)方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步,S点染色,有5种方法;第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法;第三步,B点染色,与S、A分别在同一条棱上,有3种方法;第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S、A、C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S、B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×32×2)420(种)方法三按所用颜色种数分类第一类,5种颜色全用,共有A种不同的方法;第二类,只用4种颜色,则必有某两个顶点同色(A与C,或B与D),共有2×A种不同的方法;第三类,只用3种颜色,则A与C、B与D必定同色,共有A种不同的方法由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为A2×AA420(种)思维升华用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数(2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才完成任务,根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数(3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?解如图所示,将4个小方格依次编号为1,2,3,4,第1个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有A12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法由分步乘法计数原理可知,有5×12×3180(种)不同的涂法;当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻方格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×480(种)不同的涂法由分类加法计数原理可得,共有18080260(种)不同的涂法A组专项基础训练一、选择题1从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A3 B4 C6 D8解析按从小到大顺序有124,139,248,469共4个,同理按从大到小顺序也有4个,故这样的等比数列的个数为8个2. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的 两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有()A24种 B30种 C36种 D48种解析共有4×3×2×248(种),故选D.3集合Px,1,Qy,1,2,其中x,y1,2,3,9,且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是()A9 B14 C15 D21解析当x2时,xy,点的个数为1×77(个);当x2时,xy,点的个数为7×17(个),则共有14个点,故选B.4(2013·山东)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279解析0,1,2,9共能组成9×10×10900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8648(个)有重复数字的三位数有900648252(个)5(2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10 C18 D20解析由于lg alg blg(a>0,b>0),从1,3,5,7,9中任取两个作为有A20种,又与相同,与相同,lg alg b的不同值的个数有A220218,选C.二、填空题6一个乒乓球队里有男队员5名,女队员4名,从中选取男、女队员各一名组成混合双打,共有_种不同的选法答案20解析先选男队员,有5种选法,再选女队员有4种选法,由分步乘法计数原理知共有5×420(种)不同的选法7某次活动中,有30人排成6行5列,现要从中选出3人进行礼仪表演,要求这3人中的任意2人不同行也不同列,则不同的选法种数为_(用数字作答)答案7 200解析其中最先选出的一个人有30种方法,此时不能再从这个人所在的行和列上选人,还剩一个5行4列的队形,故选第二个人有20种方法,此时不能再从该人所在的行和列上选人,还剩一个4行3列的队形,此时第三个人的选法有12种,根据分步乘法计数原理,总的选法种数是30×20×127 200.8已知集合M1,2,3,N4,5,6,7,从M,N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_答案6解析分两类:第一类,第一象限内的点,有2×24(个);第二类,第二象限内的点,有1×22(个)共426(个)三、解答题9某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?解由题意得有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语第一类:从只会英语的6人中选1人说英语,共有6种方法,则说日语的有213(种),此时共有6×318(种);第二类:不从只会英语的6人中选1人说英语,则只有1种方法,则选会日语的有2种,此时共有1×22(种);所以根据分类加法计数原理知共有18220(种)选法10在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少?解方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论(1)若0个相同,则信息为1001.共1个(2)若1个相同,则信息为0001,1101,1011,1000.共4个(3)若2个相同,又分为以下情况:若位置一与二相同,则信息为0101;若位置一与三相同,则信息为0011;若位置一与四相同,则信息为0000;若位置二与三相同,则信息为1111;若位置二与四相同,则信息为1100;若位置三与四相同,则信息为1010.共6个故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为14611.方法二若0个相同,共有1个;若1个相同,共有C4(个);若2个相同,共有C6(个)故共有14611(个)复习与回顾一、 立体几何:1.(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.4B. C.D.6解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得:V(2×2 1×1)×2.2.(2013·课标全国)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l解析假设,由m平面,n平面,则mn,这与已知m,n为异面直线矛盾,那么与相交,设交线为l1,则l1m,l1n,在直线m上任取一点作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面,所以l1l.3、如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,AC2,PA2,E是PC上的一点,PE2EC.(1)证明:PC平面BED;(2)设二面角APBC为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.思维启迪利用PA平面ABCD建立空间直角坐标系,利用向量求解.方法一(1)证明因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.又PA底面ABCD,所以PCBD.如图,设ACBDF,连接EF.因为AC2,PA2,PE2EC,故PC2,EC,FC,从而,.因为,FCEPCA,所以FCEPCA,FECPAC90°.由此知PCEF.因为PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC平面BED.(2)解在平面PAB内过点A作AGPB,G为垂足.因为二面角APBC为90°,所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB,故AG平面PBC,AGBC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC平面PAB,于是BCAB,所以底面ABCD为正方形,AD2,PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,A、D两点到平面PBC的距离相等,即dAG.设PD与平面PBC所成的角为,则sin .所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二(1)证明以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则C(2,0,0),P(0,0,2),E,设D(,b,0),其中b>0,则B(,b,0).于是(2,0,2),从而·0,·0,故PCBE,PCDE.又BEDEE,所以PC平面BED.(2)解(0,0,2),(,b,0).设m(x,y,z)为平面PAB的法向量,则m·0,m·0,即2z0且xby0,令xb,则m(b,0).设n(p,q,r)为平面PBC的法向量,则n·0,n·0,即2p2r0且bqr0,令p1,则r,q,n.因为二面角APBC为90°,所以面PAB面PBC,故m·n0,即b0,故b,于是n(1,1,),(,2),所以cosn,所以n,60°.因为PD与平面PBC所成角和n,互余,故PD与平面PBC所成的角为30°.二、圆锥曲线:1双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为_,渐近线方程为_答案1y±2x解析由题意设双曲线的标准方程为1(a>0,b>0),则2a4,即a2,e3,则c6,b4,所以双曲线的标准方程为1,渐近线方程为y±x±2x.2、若点(3,1)是抛物线y22px一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则p_.答案2解析设弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则,两式相减得,2.又y1y22,p2.3、已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点,若PF1F2为直角三角形,则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.解析由题意可知,F1PF2是直角,且tanPF1F22,2,又|PF1|PF2|2a,|PF1|,|PF2|.根据勾股定理得22(2c)2,所以离心率e.4、已知双曲线1 (a>0,b>0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|5,则双曲线的渐近线方程为()A.y±xB.y±xC.y±xD.y±x解析设点P(x0,y0).依题意得,焦点F(2,0),于是有x03,y24;由此解得a21,b23,因此该双曲线的渐近线方程是y±x±x.5、.已知抛物线x24y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_.答案2解析由抛物线定义得以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式,再求弦长的最小值.设以AB为直径的圆的半径为r,则|AB|2r4,r2,且圆心到x轴的距离是r1,所以在x轴上所截得的弦长为222,即弦长的最小值是2.6、在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(,0),(,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(1,0)且与曲线C交于A,B两点(1)求曲线C的轨迹方程;(2)是否存在AOB面积的最大值,若存在,求出AOB的面积;若不存在,说明理由解(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(,0),(,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆,故曲线C的方程为y21.(2)存在AOB面积的最大值因为直线l过点E(1,0),可设直线l的方程为xmy1或y0(舍),则整理得(m24)y22my30.由(2m)212(m24)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2)解得y1,y2.则|y2y1|.因为SAOB|OE|·|y1y2|.设g(t)t,t,t.则g(t)在区间,)上为增函数所以g(t).所以SAOB,当且仅当m0时取等号,即(SAOB)max.所以存在AOB面积的最大值,SAOB的最大值为.专心-专注-专业