2018年中考复习二次函数综合应用.docx

精选优质文档-倾情为你奉上2018年中考复习二次函数综合应用类型一 线段、周长问题1、（2016淄博23（9分）已知，点M是二次函数y=ax2（a0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MNx轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF【考点】二次函数的应用菁优网版权所有【分析】（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题（2）设M（t，t2），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问题（3）设M（n，n2）（n0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解决问题专心-专注-专业【解答】解：（1）圆心O的纵坐标为，设Q（m，），F（0，），QO=QF，m2+（）2=m2+（）2，a=1，抛物线为y=x2（2）M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），O、Q、M在同一直线上，KOM=KOQ，=，m=，QO=QM，m2+（）2=（mt）2=（t2）2，整理得到：t2+t4+t22mt=0，4t4+3t21=0，（t2+1）（4t21）=0，t1=，t2=，当t1=时，m1=，当t2=时，m2=M1（，），Q1（，），M2（，），Q2（，）（3）设M（n，n2）（n0），N（n，0），F（0，），MF=n2+，MN+OF=n2+，MF=MN+OF【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型2、（2017年东营25题12分）如图，直线y=x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值【答案】（1）（1，0）（2）y=x2+x+ （3） 【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在RtBOC中由三角函数定义可求得OCB=60°，则在RtAOC中可得ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知MDH=BCO=60°，在RtDMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值=tan30°=，即=，解得AO=1，学科网A（1，0）；（2）抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点， ，解得 ，抛物线解析式为y=x2+x+；（3）MDy轴，MHBC，MDH=BCO=60°，则DMH=30°，DH=DM，MH=DM，DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，当DM有最大值时，其周长有最大值，点M是直线BC上方抛物线上的一点，考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想类型二 图形面积问题3、（2016烟台25题12分）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且ADBCx轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FMx轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PNy轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式（2）根据ADBCx轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（，3），从而求出梯形的面积（3）先求出直线AC解析式，然后根据FMx轴，表示出点P（m， m+9），最后根据勾股定理求出MN=，从而确定出MN最大值和m的值【解答】解：（1）过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（2，2），点C的横坐标为4，BC=4，四边形ABCD为平行四边形，AD=BC=4，A（2，6），D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x2）2+2，点D在此抛物线上，6=a（62）2+2，a=，抛物线解析式为y=（x2）2+2=x2x+3，（2）ADBCx轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）E（，3），BE=，S=（AF+BE）×3=（m2+）×3=m3点F（m，6）是线段AD上，2m6，即：S=m3（2m6）（3）抛物线解析式为y=x2x+3，B（0，3），C（4，3），A（2，6），直线AC解析式为y=x+9，FMx轴，垂足为M，交直线AC于PP（m， m+9），（2m6）PN=m，PM=m+9，FMx轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PNy轴，MPN=90°，MN=2m6，当m=时，MN最大=4、（2016年泰安28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出HMNAOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x2）2+9，抛物线与y轴交于点A（0，5），4a+9=5，a=1，y=（x2）2+9=x2+4x+5，（2）当y=0时，x2+4x+5=0，x1=1，x2=5，E（1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，A（0，5），B（5，0），m=1，n=5，直线AB的解析式为y=x+5；设P（x，x2+4x+5），D（x，x+5），PD=x2+4x+5+x5=x2+5x，AC=4，S四边形APCD=×AC×PD=2（x2+5x）=2x2+10x，当x=时，S四边形APCD最大=，（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，MNAE，MN=AE，HMNAOE，HM=OE=1，M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），A（0，5），E（1，0），直线AE解析式为y=5x+5，MNAE，MN的解析式为y=5x+b，点N在抛物线对称轴x=2上，N（2，10+b），AE2=OA2+0E2=26MN=AEMN2=AE2，MN2=（21）2+8（10+b）2=1+（b+2）2M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，点N在抛物线对称轴上，M1N=M2N，1+（b+2）2=26，b=3，或b=7，10+b=13或10+b=3当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值类型四 特殊四边形的存在问题5.（2017烟台25题（13分）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得MFNAOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标【解答】解：（1）矩形OBDC的边CD=1，OB=1，AB=4，OA=3，A（3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2x+2；（2）在y=x2x+2中，令y=2可得2=x2x+2，解得x=0或x=2，E（2，2），直线OE解析式为y=x，由题意可得P（m，m2m+2），PGy轴，G（m，m），P在直线OE的上方，PG=m2m+2（m）=m2m+2=（m+）2+，直线OE解析式为y=x，PGH=COE=45°，l=PG=（m+）2+=（m+）2+，当m=时，l有最大值，最大值为；（3）当AC为平行四边形的边时，则有MNAC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则ALF=ACO=FNM，在MFN和AOC中MFNAOC（AAS），MF=AO=3，点M到对称轴的距离为3，又y=x2x+2，抛物线对称轴为x=1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=4，当x=2时，y=，当x=4时，y=，M点坐标为（2，）或（4，）；当AC为对角线时，设AC的中点为K，A（3，0），C（0，2），K（，1），点N在对称轴上，点N的横坐标为1，设M点横坐标为x，x+（1）=2×（）=3，解得x=2，此时y=2，M（2，2）；综上可知点M的坐标为（2，）或（4，）或（2，2）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG与l的关系是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中6、（2017年威海25题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）点M、N为抛物线上的动点，过点M作MDy轴，交直线BC于点D，交x轴于点E（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NFx轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）设点M坐标为（m，m2+2m+3），分别表示出ME=|m2+2m+3|、MN=2m2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，a2+2a+3），则点N（2a，a2+2a+3）、点D（a，a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x3），将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（03），解得：a=1，所求抛物线解析式为y=（x+1）（x3）=x2+2x+3；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=1，如图1，设点M坐标为（m，m2+2m+3），ME=|m2+2m+3|，M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，点N的横坐标为2m，MN=2m2，四边形MNFE为正方形，ME=MN，|m2+2m+3|=2m2，分两种情况：当m2+2m+3=2m2时，解得：m1=、m2=（不符合题意，舍去），当m=时，正方形的面积为（22）2=248；当m2+2m+3=22m时，解得：m3=2+，m4=2（不符合题意，舍去），当m=2+时，正方形的面积为2（2+）22=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8或248（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：，解得：，直线BC的函数表达式为y=x+3，设点M的坐标为（a，a2+2a+3），则点N（2a，a2+2a+3），点D（a，a+3），点M在对称轴右侧，即a1，则|a+3（a2+2a+3）|=a（2a），即|a23a|=2a2，若a23a0，即a0或a3，a23a=2a2，解得：a=或a=1（舍去）；若a23a0，即0a3，a23a=22a，解得：a=1（舍去）或a=2；点M在对称轴右侧，即a1，则|a+3（a2+2a+3）|=2aa，即|a23a|=22a，若a23a0，即a0或a3，a23a=22a，解得：a=1或a=2（舍）；若a23a0，即0a3，a23a=2a2，解得：a=（舍去）或a=；综上，点M的横坐标为、2、1、【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键类型四 特殊三角形的存在问题7、（2017年潍坊25题）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PHx轴，交直线l于点M，作FNPH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有PAE=90°或APE=90°两种情况，当PAE=90°时，作PGy轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当APE=90°时，作PKx轴，AQPK，则可证得PKEAQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值【解答】解：（1）由题意可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）A（0，3），D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段AC的中点为（，），直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，直线l过平行四边形的对称中心，A、D关于对称轴对称，抛物线对称轴为x=1，E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，直线l的解析式为y=x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，F（，），如图1，作PHx轴，交l于点M，作FNPH，P点横坐标为t，P（t，t2+2t+3），M（t，t+），PM=t2+2t+3（t+）=t2+t+，SPEF=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM（FN+EH）=（t2+t+）（3+）=（t）+×，当t=时，PEF的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）由图可知PEA90°，只能有PAE=90°或APE=90°，当PAE=90°时，如图2，作PGy轴，OA=OE，OAE=OEA=45°，PAG=APG=45°，PG=AG，t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），当APE=90°时，如图3，作PKx轴，AQPK，则PK=t2+2t+3，AQ=t，KE=3t，PQ=t2+2t+33=t2+2t，APQ+KPE=APQ+PAQ=90°，PAQ=KPE，且PKE=PQA，PKEAQP，=，即=，即t2t1=0，解得t=或t=（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或8、（2016年临沂26题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【解析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出ABC是直角三角形；（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10t，判断出RtAOPRtACQ，得到OP=CQ即可；（3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可，【解答】解：（1）直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，A（5，0），B（0，10），抛物线过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx，抛物线过点B（0，10），C（8，4），抛物线解析式为y=x2x，A（5，0），B（0，10），C（8，4），AB2=52+102=125，BC2=82+（85）2=100，AC2=42+（85）2=25，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形（2）如图1，当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10t时，由（1）得，AC=OA，ACQ=AOP=90°，在RtAOP和RtACQ中，RtAOPRtACQ，OP=CQ，2t=10t，t=，当运动时间为时，PA=QA；（3）存在，y=x2x，抛物线的对称轴为x=，A（5，0），B（0，10），AB=5设点M（，m），若BM=BA时，（）2+（m10）2=125，m1=，m2=，M1（，），M2（，），若AM=AB时，（）2+m2=125，m3=，m4=，M3（，），M4（，），若MA=MB时，（5）2+m2=（）2+（10m）2，m=5，M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，），【考点】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点类型五 相似三角形的存在问题9、（2017淄博24题（9分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且MBO=ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得POCMOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过C作CDy轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BFCD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；（3）设MB交y轴于点N，则可证得ABONBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MGy轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得OMOP的值，当点P在第一象限内时，过P作PHx轴于点H，由条件可证得MOGPOH，由OMOP=MGPH=OGOH的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标【解答】解：（1）B（2，t）在直线y=x上，t=2，B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得&4a+2b=2&94a+32b=0，解得&a=2&b=-3，抛物线解析式为y=2x23x；（2）如图1，过C作CDy轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BFCD于点F，点C是抛物线上第四象限的点，可设C（t，2t23t），则E（t，0），D（t，t），OE=t，BF=2t，CD=t（2t23t）=2t2+4t，SOBC=SCDO+SCDB=12CDOE+12CDBF=12（2t2+4t）（t+2t）=2t2+4t，OBC的面积为2，2t2+4t=2，解得t1=t2=1，C（1，1）；（3）存在设MB交y轴于点N，如图1，B（2，2），AOB=NOB=45°，在AOB和NOB中&AOB=NOB&OB=OB&ABO=NBOAOBNOB（ASA），ON=OA=32，N（0，32），可设直线BN解析式为y=kx+32，把B点坐标代入可得2=2k+32，解得k=14，直线BN的解析式为y=14x+32，联立直线BN和抛物线解析式可得&y=14x+32&y=2x2-3x，解得&x=2&y=2或&x=-38&y=4532，M（38，4532），C（1，1），COA=AOB=45°，且B（2，2），OB=22，OC=2，POCMOB，OMOP=OBOC=2，POC=BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MGy轴于点G，过P作PHx轴于点H，COA=BOG=45°，MOG=POH，且PHO=MGO，MOGPOH，OMOP=MGPH=OGOH=2，M（38，4532），MG=38，OG=4532，PH=12MG=316，OH=12OG=4564，P（4564，316）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MGy轴于点G，过P作PHy轴于点H，同理可求得PH=12MG=316，OH=12OG=4564，P（316，4564）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（4564，316）或（316，4564）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大