九年级数学一元二次方程总复习资料(共21页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上九年级数学一元二次方程总复习资料一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：方程的两边都是关于未知数的整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。例如：都是一元二次方程。而不是一元二次方程，原因是是分式。2.任何关于x的一元二次方程的都可整理成的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中叫二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。注意b、c可以是任何实数，但a绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b、c均可以为零。如方程都是一元二次方程。3一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。如x=1时，成立，故x=1叫的解。4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。（1）直接开平方法：方程的解为，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。如，可化成，所以（2）因式分解法：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零。这样通过降次将一元二次方程转化为一元一次方程。使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式，如解时，两边不能约去x-1,解得，这样就丢掉了x=1这个解，正确的做法是先移项，右边化为为零，正确解法如下，移项得： ，即，那么x-1=0或3x-1=0,从而得到x-1或（3）配方法：我们先解方程，在方程两边同除以2得，移项得，方程左边配方得，即，利用直接开平方法得。通过这个例子我们发现配方法是通过配方将一元二次方程化成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以为依据。其基本步骤是：首先在方程两边同除以二次项系数a,b把二次项系数化为1把常数项移到等式的右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；利用直接开平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为一时，一定要化为一，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）公式法：利用公式可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为的形式，当时，方程的解为，当<0时，一元二次方程无解。用公式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为的形式，准确确定a、b、c的值。叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即=，“”读作“delta”.一元二次方程的根的情况与判别式的关系： 当时，方程有两个不相等的实数根 ，当时，方程有两个相等的实数根 ，当时，方程没有实数根。 5关于一元二次方程的应用列方程解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题），然后通过数学问题的解决，获得实际问题的答案。列一元二次方程解应用题的一般步骤可概括为审、设、列、解、答。审：弄清题目中涉及到的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量等量关系的句子设：用x表示未知数，把其他量也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式子表示出来列：利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程解：解一元二次方程，注意要检验所得的解是否满足题意答：写出答案。7.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 如果的两个根是 则 二、典型例题讲解例1、 若方程是关于x的一元二次方程，求m的值例2、关于x的一元二次方程的一个根是0，求a的值关于x的方程例3、求一元二次方程（1-2x）(x+4)=2x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项的和。解下列方程（1） （2）（3） （4） 用配方法说明，不论x取何值，代数式的值总不小于8，并求出x取何值时这个代数式的值最小例4、已知例5、关于x的方程（m1）x22（m3）xm20有实数根，求m的取值范围。例6、商店里某件商品在两个月里连续降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了，问平均每月降价百分之几？例7、如图，在宽为20m，长为32m的矩形田地中央，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田块，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，道路的宽应为多少？例8、如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.例9、已知关于x的一元二次方程（a21）x22（a1）x10的两实数根互为倒数，求a的值。例10、已知：关于x的方程 （1） 求证：次方程总有实数根（2） 当方程有两个实数根且两实数根的平方和等于4时，求k的值。一元二次方程及其解法1.若关于x的方程（1）x1是一元二次方程，则的值是（B）A、0B、1C、 ±1D、12.下列方程: x2=0, -2=0,2+3x=(1+2x)(2+x), 3-=0,-8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( ) A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0 C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=04. 把关于x的方程化成ax2+bx+c=0形式,则、的值分别是A B C D .5.方程x2=6x的根是( ) A.x1=0,x2=-6 B.x1=0,x2=6 C.x=6 D.x=06.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是( ) A. ; B.; C. ; D.以上都不对7.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±158.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+=0; C. D.(x+2)(x-3)=-59.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)2=100010关于的2、一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）（A）1 （B） （C）1或 （D）0.5二、填空题：11. 如图，用一块长80，宽60的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图所示的底面积为15002的没有盖的长方体盒子，如果设截去的小正方形的边长为xcm那么长方体盒子底面的长为 ，底面的宽为 ，为了求出x的值，可列出方程 12关于x的方程(a2 4)x2+(a+2)x=8, 当a 时，是一元二次方程，当a 时，是一元一次方程。 13.用_法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.14.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为_.15.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是_.16.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_.17.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_.18.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为_.三、解答题19.试说明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；20.已知方程的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？21.用适当的方法解下列一元二次方程. (1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)22.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?四、列方程解应用题23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.某校初三（2）班的师生到距离10千米的山区植树，出发1个半小时后，张锦同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点如果张锦同学骑车的速度比队伍步行的速度的2倍还多2千米 ( 1 )求骑车与步行的速度各是多少？ (2)如果张锦同学要提前10分钟到达植树地点，那么他骑车的速度应比原速度快多少？一元二次方程及其解法（B卷）1若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .2.已知是方程的一个根，求的值和方程其余的根。3.你能用所学知识解下面的方程吗?试一试：2x2+5x-12=04.已知一直角三角形的三边为a,b,c,B=90°,请你判断关于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的情况.5.已知关于的方程有实数根，求的取值范围。 6.有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少；7.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元。求这种存款方式的年利率。 8.要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？ 9.如图所示：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池。由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16m。如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造为每平方米80元。（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x。如果规定总造价越低越合算，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水池是否合算？请举例说明。BADCx隔墙隔墙10.如图,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙( 墙长18米)和55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、鹅各一个.问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面积为150米2,那么有几种围法?(2)如果需要围成的养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围,最大面积是多少?实践与探索测试卷一、选择题1.已知方程x2+2x-1=0的两根分别是x1,x2,则= ( ) A.2 B.-2 C.-6 D.62.若一元二次方程（ ） A.3 B.6 C.18 D.243. 某化肥厂生产的化肥经过两年增长了21%，则每年比上一年平均增长的百分数是（        ）A、12%     B、10%       C、9%        D、7.9% 4. 党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。在本世纪的头二十年（2001年2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（ ）A：(1+x)2=2 B：(1+x)2=4 C：1+2x=2 D：(1+x)+2(1+x)=45. 方程的一个根是，那么另一个根是（      ）A、+4    B、-4     C、4-    D、-4- 6.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.197已知实数满足 ,那么的值为 （ ） A、1或-2 B、-1或2 C、1 D、-28.已知一元二次方程2x23x6=0有两个实数根x1、x2，直线l经点A（x1x2，0）、B（0，x1·x2），则直线l的解析式为A、y= 2x3 B、y= 2x3 C、y= 2x3 D、y= 2x39已知方程x2-3x+1=0，求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一无二次方程是（ ） Ax2+3x+1=0 Bx2+3x-1=0 Cx2-3x+1=0 Dx2-3x-1=010.有实数根，则下列结论正确的是（ ）A当时方程两根互为相反数 B当k0时方程的根是x1C当k±1时方程两根互为倒数 D当时方程有实数根二、填空题11.若方程x2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=_,两个根是_.12.某制药厂生产的某种针剂,每支成本3元,由于连续两次降低成本,现在的成本是2.43元,则平均每次降低的百分数是_.13. 10、以1，-3为根的一元二次方程是_。 14.已知方程的一根为，则另一根为_，k=_。 15.某市计划在两年内将工农业生产总值翻两番,则平均每年工农业生产总值的增长率是_.16.关于x的方程x2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_.17.在RtABC中,斜边AB=5,BC、AC是一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,则m等于_.18已知、是关于的方程的两个实数根，且，则 ；19请写出一个根为，另一根满足的一元二次方程 三、解答题(每题7分,共28分)20.已知x1=q+p,x2=q-p是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p、q 的值.21.已知: , 求以 的值为根的一元二次方程.22.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0. (1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根. (2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.23.已知x和x2为一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根,并且x1和x2满足不等式 ,试求m的取值范围.四、列方程解应用题(每题9分,共18分)24.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.25.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升?实践与探索测试卷答案一、 1.A;2.A;3.B;4.B;5.C;6.D;7.A;8.A;9.C;10.D二、112；-1，-2;1210%;13;14;15.1;16;174;18.0.5;19三、20;21x2+2x-=0;22.(1)=2k2+8>0, 不论k为何值,方程总有两不相等实数根. (2) 23.24 提示：,.长6米，宽4米四、18K=3;19. 宽6米;20.10升一元二次方程全章检测卷一、选择题：(每小题2分,共20分)1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x2=8 (a3) B.ax2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D.2.用配方法将二次三项式变形的结果是( )A. B. C. D. 3.若关于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( )A.-1或2 B.1或 C.- 或1 D.-2或14.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )A.k>- B.k- 且k0 C.k- D.k> 且k05. 方程的解是 A、 2，2 B、 0，2 C、 0，2 D、 0，2，2 6.关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( )A.k>-1 B.k<0 C.-1<k<0 D.-1k<07.若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（ ）A.-6或-2 B.-2 C.6或-2 D.2或-68.使分式的值为0,则x的取值为( ).A.-3 B.1 C.-1 D.-3或19. 关于x的方程的根为 （ ）（A） （B） （C） （D）10.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是 （A）11 （B）13 （C）11或13 （D）11和131211.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（ ）12.方程3x2-4x+k+10无实根，化简得( )A.3k- B.-3k C.k D.-3k二、填空题:(每小题3分,共30分)13一元二次方程的两根之和为，则两根之积为_；14.已知3-是方程x2+mx+7=0的一个根,则m= ,另一根为 .15.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .16.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a、c之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= .17.若方程2x2-8x+7=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长,则这个直角三角形的斜边长是_.18.某食品连续两次涨价10%后价格是a元,那么原价是_ _.17.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是_.18.如果关于x的方程x2-2(1-k)+k2=0有实数根,那么+的取值范围是_.20已知关于的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，Z则m的值 。21如果那么的值为_；22三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 三、计算题: 1、 2、 3、 4、 四、解答题:1如果方程与方程都有一个根是x=3，试求a、b的值及各自的另一根。 2.设x1,x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且x12+x22=11. (1)求k的值;(2)利用根与系数的关系求一个一元二次方程,使它的一个根是原方程两个根的和,另一根是原方程两根差的平方.3.设a、b、c是ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为0. (1)求证:ABC为等边三角形;(2)若a,b为方程x2+mx-3m=0的两根,求m的值.4已知ABC的三边a，b，c，其中a，b是关于x的方程的两个根。（1）试判断ABC的形状；（2）若,求ABC的三边长。 5.已知关于x的二次方程的两个不相等的实数根的倒数和为S，（1）求S与m的函数关系式；（2）求S的取值范围。 6.如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2米，修好后又被风吹折，因新折断处比前一次低0.5米，故杆顶E着地处比前次远1米，求原标杆的高。 五、应用题（每题4分，共20分）1、有三个连续偶数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，求这三个偶数。 2、某商店进一批运动服用了10000元，每套按100元卖出，假如全部卖出，这批运动服所得的款与买进这批运动服所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动服所用的款，求这批运动服有多少套？ 3.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?全章检测卷答案一、1.B ;2.A;3.B ;4.B 5.D ;6.D. 点拨:方程有两个实数根,所以0,即2(k+2)2-4k20,解得k-1, 两实数根之和大于-4,即-2(k+2)>-4,k<0,-1k<0.本题易忽略有两实根, 需满足0这个重要条件.7.c8.A 9. D;10.B;11.D;12.A二、13-3；14.m=-6,另一根为3+. 点拨:根据一元二次方程根与系数的关系, 设方程另一个根为x1 ,则(3-)x1=7,x1=3+,(3+)+(3-)=-m,则m=-6；15.a=1,b=-2. 点拨:-1是两方程的根,则3a+b-1=0,a-2b-5=0,解得a=1,b=-2；16.a+b+c=0,b=a+c,c=0；17.3 点拨:设两根为x1,x2,根据根与系数的关系x1+x2=4, x1·x2=，由勾股定理斜边长的平方=(x1+x2)2-2x1x2=16-2×=9,斜边长为3；18.元 点拨:设原价x元,则x(1+10%)2=a,解得x=；19.x2+7x+12=0或x2-7x+12=0 点拨:设两数为a,b,则ab=12,a2+b2=25,( a+b)2-2ab=25,(a+b)2=49,(a+b)=±7,所以以a,b为根的方程为x2+7x+12= 0 或x2-7x+12=0；20.a+1 点拨:方程有实根,则0,则k, 即-k-,1-k1- ,2(1-k)1,a+=2(1-k),a+1；21.7或-3;22. _;23. 24或三、1、 2、 3、 4、 四、1.a=1,b=1,另一个根分别是-2，-5 2.k=-3,y2-20y-21=0 解:(1)由题意得x1+x2=k+2, x1·x2=2k+1, x12+x22=(x1+x2)2-2 x1·x2=k2+2,又x12+x22=11, k2+2=11,k=±3,当k=3时,=-3<0, 原方程无实数解;当k=-3时,=21>0,原方程有实数解,故k=-3.(2)当k=-3时, 原方程为x2+x-5=0,设所求方程为y2+py+q=0,两根为y1,y2,则y1=x1+x2=-1,y2=(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=11+10=21, y1+y2=20,y1y2=-21,故所求方程是y2-20y-21=0. 点拨:要求k的值,须利用根与系数的关系及条件x12+x22=(x1+x2)2-2 x1·x2,构造关于k的方程,同时,要注意所求出的k值,应使方程有两个实数根,即先求后检. (2)构造方程时,要利用p=-(y1+y2),q=y1y2,则以y1,y2为根的一元二次方程为y2+py+q=0.3.(1)证明:方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实根,=0,即=(2)2-4×(2c-a)=0,解得a+b=2c,方程3cx+2b=2a的根为0,则2b=2a,a=b,2a=2c,a=c, a=b=c,故ABC为等边三角形. (2)解:a、b相等,x2+mx-3m=0有两个相等的实根,=0,=m2+4×1×3m=0,即m1=0,m2=-12.a、b为正数,m1=0(舍),故m=-12；4（1）直角三角形；（2）a=9，b=12，c=15 5(1)S=2m-6；(2)S<-3且S-6 ；6设BC=x米，AB=y米，则由-，得x+y=5（米），即原标杆高5米。五、应用题1. 1、6，8，10或-2，0，2 2设买进x套，则（舍去），故有110套。 3解:根据题意得70(100-10x).x%=168,x2-10x+24=0,解得 x1=6, x2=4, 当x2=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去, x1=6时,100-10×6=40<50, 税率应确定为6%. 点拨:这是有关现实生活知识应用题,是近几年中考题的重要类型, 要切实理解,掌握.专心-专注-专业