2016届湖南省常德市津市一中高三上学期第二次月考数学试卷(理科)-解析版(共23页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项1已知集合A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（）A5B4C3D22如图所示，程序框图的输出结果是（）ABCD3若sin=，则为第四象限角，则tan的值等于（）ABCD4下列函数中，对于任意xR，同时满足条件f（x）=f（x）和f（x+）=f（x）的函数是（）Af（x）=sinxBf（x）=sin2xCf（x）=cosxDf（x）=cos2x5设a0，且a1，则“函数y=logax在（0，+）上是减函数”是“函数y=（2a）x3在R上是增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A2B4C2D47某校学生在一次学业水平测试中的数学成绩制成如图所示的频率分布直方图，60分以下的人要补考，已知90分以上的有80人，则该校需要补考的人数为（）A120B150C180D2008数列an中a1=2，an+1=2an，Sn为an的前n项和，若Sn=126，则n=（）A6B4C7D89若直线=1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A2B3C4D510设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，c=2，cosA=且bc，则b=（）A3B2C2D11若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A（2，4）B（，2C（，4D4，+）12已知函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）成中心对称，且当（，0）时，f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），则a、b、c的大小关系是（）AabcBcabCcbaDacb二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知sin+2cos=0，则2sincoscos2的值是14已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a=15已知函数f（x）=，若f（x0）=2，则实数x0=；函数f（x）的最大值为16一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）当时，求函数f（x）的值域18家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名（）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；（）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择请列出该客户的所有可能选择的情况；求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率19在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值20某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x0.4）元成反比例又当x=0.65时，y=0.8（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？收益=用电量×（实际电价成本价）21已知函数f（x）=lnx（）求函数f（x）的单调递增区间；（）证明：当x1时，f（x）x1（）确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x（1，x0）时，恒有f（x）k（x1）选考题（本小题满分10分）（请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）选修4-1：几何证明选讲22如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C（）证明：CBD=DBA；（）若AD=3DC，BC=，求O的直径选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为=2sin（）写出C的直角坐标方程；（）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标选修4-5：不等式选讲24已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4（）求实数a，b的值；（）求+的最大值2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项1已知集合A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（）A5B4C3D2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：A=x|x=3n+2，nN=2，5，8，11，14，17，则AB=8，14，故集合AB中元素的个数为2个，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2如图所示，程序框图的输出结果是（）ABCD【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S的值【解答】解：模拟执行程序框图，可得满足条件28，S=，n=4，满足条件48，S=，n=6，满足条件68，S=，n=8，不满足条件88，程序结束，输出S=，故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题3若sin=，则为第四象限角，则tan的值等于（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cos，然后求解即可【解答】解：sin=，则为第四象限角，cos=，tan=故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力4下列函数中，对于任意xR，同时满足条件f（x）=f（x）和f（x+）=f（x）的函数是（）Af（x）=sinxBf（x）=sin2xCf（x）=cosxDf（x）=cos2x【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意，要求函数满足条件f（x）=f（x）和f（x+）=f（x），则该函数必须是偶函数且周期为，据此由三角函数的性质依次分析选项四个函数的奇偶性与周期性即可得答案【解答】解：根据题意，要求函数满足条件f（x）=f（x）和f（x+）=f（x），则该函数必须是偶函数且周期为，据此依次分析选项可得：对于A、f（x）=sinx是奇函数且周期为2，不符合题意；对于B、f（x）=sin2x是奇函数且周期为=，不符合题意；对于C、f（x）=cosx是偶函数且周期为2，不符合题意；对于D、f（x）=cos2x是偶函数且周期为=，符合题意；故选：D【点评】本题考查三角函数的性质，关键是由f（x）=f（x）和f（x+）=f（x）分析出函数的周期与奇偶性5设a0，且a1，则“函数y=logax在（0，+）上是减函数”是“函数y=（2a）x3在R上是增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据函数单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若函数y=logax在（0，+）上是减函数，则0a1，此时2a0，函数y=（2a）x3在R上是增函数，成立若y=（2a）x3在R上是增函数，则2a0，即a2，当1a2时，函数y=logax在（0，+）上是增函数，函数y=logax在（0，+）上是减函数不成立，即“函数y=logax在（0，+）上是减函数”是“函数y=（2a）x3在R上是增函数”的充分而不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的性质是解决本题的关键6直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A2B4C2D4【考点】定积分【专题】函数的性质及应用【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是（4xx3）dx，而（4xx3）dx=（2x2x4）|=84=4，曲边梯形的面积是4，故选：D【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题7某校学生在一次学业水平测试中的数学成绩制成如图所示的频率分布直方图，60分以下的人要补考，已知90分以上的有80人，则该校需要补考的人数为（）A120B150C180D200【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】根据频率分布直方图，结合频率=，先求出90分以上的频率，再计算样本容量与60分以下的频率、频数即可【解答】解：根据频率分布直方图，得；90分以上的频率是0.010×10=0.10，对应的频数为80，样本容量是=800；60分以下的频率为（0.005+0.010）×10=0.15，对应的频数为800×0.15=120该校需要补考的人数为120故选：A【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目8数列an中a1=2，an+1=2an，Sn为an的前n项和，若Sn=126，则n=（）A6B4C7D8【考点】数列递推式【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：数列an中a1=2，an+1=2an，可知此数列是等比数列，公比为2Sn=126=，则n=6，故选：A【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9若直线=1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A2B3C4D5【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】不等式【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可【解答】解：直线=1（a0，b0）过点（1，1），+=1（a0，b0），所以a+b=（+）（a+b）=2+2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，a+b最小值是4，故选：C【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关键10设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，c=2，cosA=且bc，则b=（）A3B2C2D【考点】正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】运用余弦定理：a2=b2+c22bccosA，解关于b的方程，结合bc，即可得到b=2【解答】解：a=2，c=2，cosA=且bc，由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA，即有4=b2+124×b，解得b=2或4，由bc，可得b=2故选：C【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题11若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A（2，4）B（，2C（，4D4，+）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=2t2+at+1x（，）时f（x）为减函数，则y=2t2+at+1在t（，1）上为减函数，y=2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=，解得：a2a的取值范围是（，2故选：B【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题12已知函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）成中心对称，且当（，0）时，f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），则a、b、c的大小关系是（）AabcBcabCcbaDacb【考点】对数值大小的比较【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）成中心对称，可得函数y=f（x）的图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数令g（x）=xf（x），则函数g（x）是偶函数g（x）=f（x）+xf（x），可得函数g（x）=xf（x），在x（，0）时单调递减，由偶函数的性质可得：函数g（x）=xf（x），在x（0，+）时单调递增即可得出【解答】解：函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）成中心对称，函数y=f（x）的图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数令g（x）=xf（x），则函数g（x）是偶函数g（x）=f（x）+xf（x），当（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，g（x）0，函数g（x）=xf（x），在x（，0）时单调递减，由偶函数的性质可得：函数g（x）=xf（x），在x（0，+）时单调递增a=（30.3）f（30.3），=2f（2）=2f（2），230.31log93=，则a、b、c的大小关系是acb故选：D【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、函数的奇偶性与单调性、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知sin+2cos=0，则2sincoscos2的值是1【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】已知等式移项变形求出tan的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：sin+2cos=0，即sin=2cos，tan=2，则原式=1，故答案为：1【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f（x）=3ax2+1，f（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：ya2=（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2=（3a+1）（21），解得a=1故答案为：1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力15已知函数f（x）=，若f（x0）=2，则实数x0=1；函数f（x）的最大值为3【考点】分段函数的应用【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用分段函数，结合若f（x0）=2，可求实数x0；确定x0，x+33；x0，01，可得函数f（x）的最大值【解答】解：x0，x+3=2，x=1；x0， =2，x=（舍去）；x0，x+33；x0，01，函数f（x）的最大值为3故答案为：1，3【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，比较基础16一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为64【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体为一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案【解答】解：由三视图知几何体为一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，正方体的棱长为4，故体积为：64，圆锥的底面直径为4，高分别为3，1，故体积分别为：4和，故组合体的体积为：64，故答案为：64【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）当时，求函数f（x）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用可得，利用周期公式可求最小正周期，令，可得单调增区间（2）由，可得，利用正弦函数的性质从而可求函数f（x）的值域【解答】解：（1）f（x）的最小正周期为，令，可得，函数f（x）的单调增区间为；（2），函数f（x）的值域为1，2【点评】本题主要考查了周期公式，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查18家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名（）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；（）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择请列出该客户的所有可能选择的情况；求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】（1）根据分层抽样即可求的x的值，（2）列举出所有的可能，找到满足最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况，根据古典概率公式计算即可【解答】解：（1）2016=4，由，可得x=48（2）设3名A类家政服务员的编号为a，b，c，2名B类家政服务员的编号为1，2，则所有可能情况有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）共10种选择该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况有：（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2）共6种选择，该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率为P=【点评】本题主要考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是一一列举所有的基本事件，属于基础题19在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用【专题】解三角形【分析】（）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可【解答】解：（）在三角形ABC中，由cosA=，可得sinA=，ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosA，可得a=8，解得sinC=；（）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力20某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x0.4）元成反比例又当x=0.65时，y=0.8（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？收益=用电量×（实际电价成本价）【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）设出函数解析式，代入x=0.65时，y=0.8，即可求得函数解析式；（2）利用收益=用电量×（实际电价成本价），建立方程，即可求得结论【解答】解：（1）y与（x0.4）成反比例，设把x=0.65，y=0.8代入上式，得k=0.2，即y与x之间的函数关系式为（2）根据题意，得（）（x0.3）=1×（0.80.3）×（1+20%）整理，得x21.1x+0.3=0，解得x1=0.5，x2=0.6经检验x1=0.5，x2=0.6都是所列方程的根x的取值范围是0.550.75，故x=0.5不符合题意，应舍去x=0.6答：当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%【点评】本题考查函数解析式的确定，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于基础题21已知函数f（x）=lnx（）求函数f（x）的单调递增区间；（）证明：当x1时，f（x）x1（）确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x（1，x0）时，恒有f（x）k（x1）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】（）先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（）构造函数F（x）=f（x）x+1，先求出函F（x）的导数，根据函数的单调性证明即可；（）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求解即可【解答】解：（I）f（x）=x+1=，x（0，），由 f（x）0得：，解得0x，故f（x） 的单调递增区间（0，）；（II）令F（x）=f（x）（x1），x（0，+），则有F（x）=，当 x（1，+）时，F（x）0，所以F（x）在1，+） 上单调递减，故当x1 时，F（x）F（x），即当x1 时，f（x）x1；（III）由（II）知，当k=1 时，不存在x01 满足题意，当k1 时，对于x1，有f（x）x1k（x1），则f（x）k（x1），从而不存在xx01 满足题意，当k1 时，令G（x）=f（x）k（x1），x（0，），则有G（x）=xk=，由G（x）=0 得：x2+（1k）x+1=0，得x1=0，x2=1，当x（1，x2） 时，G（x）0，故G（x） 在1，x 2）内单调递增，从而当x（1，x2） 时，G（x）G（1）=0，即f（x）k（x1），综上，k的取值范围是（，1）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道中档题选考题（本小题满分10分）（请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）选修4-1：几何证明选讲22如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C（）证明：CBD=DBA；（）若AD=3DC，BC=，求O的直径【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】（）根据直径的性质即可证明：CBD=DBA；（）结合割线定理进行求解即可求O的直径【解答】证明：（）DE是O的直径，则BED+EDB=90°，BCDE，CBD+EDB=90°，即CBD=BED，AB切O于点B，DBA=BED，即CBD=DBA；（）由（）知BD平分CBA，则=3，BC=，AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=ADAE，即AE=，故DE=AEAD=3，即可O的直径为3【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为=2sin（）写出C的直角坐标方程；（）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标【考点】点的极坐标和直角坐标的互化【专题】坐标系和参数方程【分析】（I）由C的极坐标方程为=2sin化为2=2，把代入即可得出；（II）设P，又C利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出【解答】解：（I）由C的极坐标方程为=2sin2=2，化为x2+y2=，配方为=3（II）设P，又C|PC|=2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2此时P（3，0）【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲24已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4（）求实数a，b的值；（）求+的最大值【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】（）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值【解答】解：（）关于x的不等式|x+a|b可化为baxba，又原不等式的解集为x|2x4，解方程组可得；（）由（）可得+=+=+=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，所求最大值为4【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题专心-专注-专业