多元函数的极限与连续(共9页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上第十六章 多元函数的极限与连续1 证明: 对任何, 它的导集必为闭集.2 设是中两个不相交的开集, 证明.3 证明: 对任何, 它的边界必为一闭集.4 证明闭域必为闭集.5 讨论下列函数在时的极限不存在:(1) (2) (3) .6. 设在点的某邻域内有定义, 且满足:(1) 在中, 对每个, 存在;(2) , 关于中的一致.试证明: .7. 设. 证明:(1) , 使得在 或 上, 有 (2) .8. 设. 证明:(1) (2) 不存在.9. 证明: 在上一致连续.10. 设是上的实值函数. 证明: 在上连续的充要条件是对于中的每个开集, 集合 亦必为开集.11. 证明: 若为一有界开集, 则在上一致连续的充要条件是:在上连续, 且对任何点, 极限都存在(即在上的连续性能延拓到).12. 设为连续函数. 试证: 存在(), 则在上一致连续.13. 设, . 试证在上一致连续的充要条件是: 对中每一对点列, , 如果, 便有 .第十六章 多元函数的极限与连续一、 选择题（每小题2分） 1、极限 的涵义是（ ）A、 对 ，总 ，当 时，有 。B、 若，对 ，当 时，有 。C、 对每个 ，总 ，当 时，有 。D、若， ，当 时，有 。2、设 ，则（ ）A、存在且等于0 B、不存在C、存在可能不为0 D、可能存在，也可能不存在3、函数 在 间断，则（ ）A、 函数在 处一定无定义B、 函数在 处极限一定不存在C、 函数在 处可能有定义，也可能有极限D、函数在 处一定有定义，且有极限，但极限值不等于该点的函数值4、（ ）A、 1 B、不存在 C、 D、05、函数 在 处存在二重极限是函数在该点连续的（ ）A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件6、函数 在原点（0，0）间断，是因为（ ）A、在原点无定义 B、在原点无极限C、在原点有极限，无定义 D、在原点有极限但不等于其函数值7、下面断语正确的是 （ ）A、点集的界点一定是其聚点 B、开集一定是开域C、闭域一定是闭集 D、 闭集一定是闭域8、下面断语正确的是 （ ）A、 区域上的连续函数必有界B、区域上的连续函数必有最大值和最小值C、区域上的连续函数必一致连续 D、 在区域上连续， 为D 的内点，且， 则对 必 ，使二、 判断题 （每小题2分） 1、若函数 在连续，则其二重极限必存在。 （ ）2、若函数 在 点处的二重极限和一个累次极限都存在，则它们必相等。（ ）3、当函数 在其定义域的内点连续时，在 和在都连续。 （ ） 4、若在 和在都连续，则 在点处必连续。 （ ） 5、点列收敛于的充要条件是。 （ ） 6、平面上的有界无限点列必存在收敛的子列。 （ ） 7、平面点集E的聚点必是它的内点。 （ ） 8、若函数 在 点处的两个累次极限都不存在，则二重极限必不存在。 （ ） 9、若函数 在 点处的两个累次极限都存在且相等，则二重极限必存在。 （ ） 10、若函数 在 点处的二重极限和一个累次极限都存在，则另一个累次极限必存在。 （ ）三、填空题：（每小题2分） 1、函数 的定义域是 。 2、函数 的定义域是 。3、设 ，其中 ，则 。 4、设 ，则 。 5、 。 6、 。 7、函数 的间断点集是 。 8、的聚点集是 。9、设为 点集，则E在中至少有一个聚点。10、 的间断点集是 。四、 计算题 1、（5分）试求极限 2、（5分）试求极限 3、（5分）试求极限4、（5分）试讨论5、（5分）试求极限五、 证明题 1、（5分）证明极限不存在。2、（5分）用极限定义证明： 。3、（5分）证明极限不存在。4、（5分）设在 连续，证明：对在连续。5、（5分）用极限定义证明： 。6、（5分）证明：如果在 连续，且，则对任意正数，对一切，有。7、（5分）证明：若平面点列收敛，则对当时，对一切，都有 。答案：一、选择题（每小题2分） 1、C 2、D 3、C 4、D 5、A 6、B 7、C 8、D二、判断题 （每小题2分） 1、 2、 3、 4、× 5、 6、 7、× 8、× 9、× 10、×三、填空题：（每小题2分） 1、 2、 3、 4、 5、 2 6、0 7、 8、 9、有界无限 10、四、计算题1、（5分）试求极限 解： （2分） （5分）2、（5分）试求极限 解： （3分） （5分）3、（5分）试求极限解： （2分） 因为 所以 ， （5分）4、（5分）试讨论解：当点（x，y）沿直线y=x趋于原点时， 当点（x，y）沿抛物线线趋于原点时， （3分） 因为二者不等，所以极限不存在。 （5分）5、（5分）试求极限解： （2分） = （5分）五、 证明题1、（5分）证明极限不存在。证明：因为 （2分） （4分） 二者不等，所以极限不存在。 （5分）2、（5分）用极限定义证明： 。证明：要使 （3分） 取，即可。 （5分）3、（5分）证明极限不存在。证明：因为 （2分） （4分） 二者不等，所以极限不存在。 （5分）4、（5分）设在 连续，证明：对在连续。证明：因为在 连续， 所以，当 时，有 （2分） 故 对 ，当时， 从而 所以 在连续。 （5分）5、（5分）用极限定义证明： 。证明：要使 （3分） 取，则当 时，有。故 （5分）6、（5分）证明：如果在 连续，且，则对任意正数，对一切，有。证明：设，则对，取， （2分） 因为 在点连续， 所以，当 时，有 所以 所以 （5分）7、（5分）证明：若平面点列收敛，则对当时，对一切，都有 。证明： 设 ，则 （2分） 而 。 （5分）专心-专注-专业
