高考数学一轮总复习(北师大版)【打印版】(共156页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上高考数学总复习一轮复习资料北师大版目录专心-专注-专业专题1 集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN(或N*)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或 B=A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n1个，真子集有2n1个.(2)ABABAABB.易错警示系列 1.遗忘空集致误典例设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR.若BA，则实数a的取值范围是_.易错分析集合B为方程x22(a1)xa210的实数根所构成的集合，由BA，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B的情况，导致漏解.解析因为A0，4，所以BA分以下三种情况：当BA时，B0，4，由此知0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4(a1)24(a21)<0，解得a<1.综上所述，所求实数a的取值范围是a1或a1.答案(，11温馨提醒(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知AB或AB，则考生很容易忽视A而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.方法与技巧1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.失误与防范1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.§2 命题及其条件、充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)如果qp，且pq，则p是q的必要不充分条件；(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件.思想与方法系列 1.等价转化思想在充要条件中的应用典例(1)已知p：(a1)21，q：任意xR，ax2ax10，则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x22x3>0；条件q：x>a，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是()A.1，) B.(，1C.1，) D.(，3解析(1)由(a1)21解得0a2，p：0a2.当a0时，ax2ax10对任意xR恒成立；当a0时，由得0<a4，q：0a4.p是q成立的充分不必要条件.(2)由x22x3>0，得x<3或x>1，由q的一个充分不必要条件是p，可知p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.x|x>ax|x<3或x>1，a1.答案(1)A(2)A温馨提醒(1)本题用到的等价转化将p，q之间的关系转化成p，q之间的关系.将条件之间的关系转化成集合之间的关系.(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到.方法与技巧1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用AB与BA；BA与AB；AB与BA的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件.失误与防范1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.§3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：p且q；p且q的否定：p或q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：pqpqp或qp且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假高频小考点 1.常用逻辑用语及其应用一、命题的真假判断典例已知命题p：存在xR，x21<2x；命题q：若mx2mx1<0恒成立，则4<m<0，那么()A.“p”是假命题B.q是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题解析由于x22x1(x1)20，即x212x，所以p为假命题；对于命题q，当m0时，有1<0，恒成立，所以命题q为假命题.综上可知：p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.答案C温馨提醒判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断.二、求参数的取值范围典例已知命题p：“任意x0,1，aex”；命题q：“存在xR，使得x24xa0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_.解析若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x0,1，aex，得ae；由存在xR，使x24xa0，知164a0，a4，因此ea4.答案e,4温馨提醒含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.三、利用逻辑推理解决实际问题典例(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为_.(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第_名.解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名.答案(1)A(2)一温馨提醒在一些逻辑问题中，当字面上并未出现 “或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.方法与技巧1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”.失误与防范1.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真.2.两种形式命题的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.专题2 函数概念与基本初等函数§1 函数及其表示1.函数与映射函数映射两集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合f(x)|xA叫作函数的值域.(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法.3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.4.常见函数定义域的求法类型x满足的条件，nNf(x)0与f(x)0f(x)0logaf(x)(a>0，a1)f(x)>0logf(x)g(x)f(x)>0，且f(x)1，g(x)>0 tan f(x)f(x)k，kZ思想与方法系列 2.分类讨论思想在函数中的应用典例(1)(2014·课标全国)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_.(2)(2015·山东)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B.0,1C. D.1, )解析(1)当x<1时，ex12，解得x1ln 2，x<1.当x1时，2，解得x8，1x8.综上可知x(，8.(2)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a<1时，有3a11，a，a<1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选C.答案(1)(，8(2)C温馨提醒(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.方法与技巧1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解.失误与防范1.复合函数fg(x)的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.§2 函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间.2.函数的最值前提函数yf(x)的定义域为D条件(1)存在x0D，使得f(x0)M；(2)对于任意xD，都有f(x)M.(3)存在x0D，使得f(x0)M；(4)对于任意xD，都有f(x)M.结论M为最大值M为最小值答题模版系列 1.确定抽象函数单调性解函数不等式典例(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2R，且x1<x2，x2x1>0，当x>0时，f(x)>1，f(x2x1)>1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)1>0f(x1)<f(x2)，f(x)在R上为增函数.6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)<2f(1)，10分f(x)在R上为增函数，a2a5<13<a<2，即a(3,2).12分解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象 符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图像法、换元法.失误与防范1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”.§3 函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称.(2)考察表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数.3.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.易错警示系列 2.忽视定义域致误典例(1)若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.(2)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是_.易错分析(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.(2)本题易出现以下错误：由f(1x2)>f(2x)得1x2>2x，忽视了1x2>0导致解答失误.解析(1)f(x)，f(x)f(x).由f(x)f(x)0可得k21，k±1.(2)画出f(x)的图像，由图像可知，若f(1x2)>f(2x)，则即得x(1，1).答案(1)±1(2)(1，1)温馨提醒(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域.(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论.保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系.弄清最终结果取并集还是交集.方法与技巧1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值；求解析式；求函数解析式中参数的值；画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.失误与防范1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.应用时要注意函数的定义域并进行检验.2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.§4 二次函数与幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图像定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图像关于x对称2.幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.(2)幂函数的图像比较(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；幂函数的图像过定点(1,1)；当>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减.思想与方法系列 3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.思维点拨参数a的值确定f(x)图像的形状；a0时，函数f(x)的图像为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系.规范解答解(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.(2)当a>0时，f(x)ax22x图像的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x图像的对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增.f(x)minf().当>1，即0<a<1时，f(x)ax22x图像的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减.f(x)minf(1)a2.(3)当a<0时，f(x)ax22x的图像的开口方向向下，且对称轴x<0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减.f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min温馨提醒(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行讨论，又对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论.方法与技巧1.二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式.(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式.(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.研究二次函数的性质要注意：(1)结合图像分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论.3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较.失误与防范1.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况.2.幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.§5 指数与指数函数1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，nN，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)幂的运算性质：amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，其中a>0，b>0，m，nR.2指数函数的图像与性质yaxa>10<a<1图像定义域(1)R值域(2)(0，)性质(3)过点(0,1)，即x0时，y1(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)是R上的增函数(7)是R上的减函数思想与方法系列 4换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例(1)函数yxx1在区间3,2上的值域是_(2)函数的单调减区间为_思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设tx，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求解析(1)因为x3,2，所以若令tx，则t，故yt2t12.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数值域为.(2)设ux22x1，yu在R上为减函数，函数的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，f(x)的减区间为(，1答案(1)(2)(，1温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化方法与技巧1通过指数函数图像比较底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值，再进行比较2指数函数yax (a>0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成失误与防范1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来2复合函数的问题，一定要注意函数的定义域3对可化为a2xb·axc0或a2xb·axc0 (0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围§6 对数与对数函数1.对数的概念如果a(a>0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(2)对数的性质 N ；logaaN N (a>0且a1).(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logab·logbc·logcdlogad.3.对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x1时，y0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)是(0，)上的增函数(7)是(0，)上的减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图像关于直线 yx 对称.高频小考点 2.比较指数式、对数式的大小典例(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是()A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b(2)设alog2，b，c2，则()A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a(3)已知a，b，c，则()A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b思维点拨(1)可根据幂函数yx0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小.(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较.(3)化为同底的指数式.解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.51，即b<a<1；根据对数函数ylog0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.31，即c>1.所以b<a<c.(2)alog2>log221，blog2<log210,0<c<1，b<c<a.(3).方法一在同一坐标系中分别作出函数ylog2x，ylog3x，ylog4x的图像，如图所示.由图像知：log23.4>log3>log43.6.方法二log3>log331，且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<log3.log23.4>log3>log43.6.由于y5x为增函数，.即，故a>c>b.答案(1)C(2)C(3)C温馨提醒(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.2.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y1交点的横坐标进行判定.失误与防范1.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.§7 函数的图像1.描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像.2.图像变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax (a>0且a1)ylogax(a>0且a1).yf(x)y|f(x)|.yf(x)yf(|x|).(3)伸缩变换yyf(ax).yf(x)yaf(x).高频小考点 3.高考中的函数图像及应用问题一、已知函数解析式确定函数图像典例函数f(x)2xsin x的部分图像可能是()思维点拨根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图像.解析方法一f(x)2xsin xf(x)，f(x)为奇函数，排除B、C，又0<x<时，f(x)>0，排除D，故A正确.方法二f(x)2cos x>0，f(x)为增函数，故A正确.答案A温馨提醒(1)确定函数的图像，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想.(2)对于给出图像的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除.二、函数图像的变换问题