江苏省南通中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题-理(共9页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上江苏省南通中学2015-2016学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上1若（是虚数单位），则 【答案】52已知复数满足（是虚数单位），则= 【答案】2i3 用反证法证明命题“若能被2整除，则中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是 【答案】都不能被2整除4用数学归纳法证明不等式“2n>n21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n0应取为 【答案】55已知平面的法向量(1,2,-2)，平面的法向量(-2,-4,k)，若，则k值是 【答案】46三段论推理“矩形是平行四边形；正方形是矩形；正方形是平行四边形”中的小前提是 (填写序号) 【答案】7若空间直角坐标系中点在同一条直线上，则 【答案】 -108.已知(2，1,3)，(1,4，2)，(7,5，)，若、三向量共面，则实数 【答案】9已知，则的最小值 【答案】10.利用数学归纳法证明不等式的过程中，用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为 【答案】 11集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：；则= （写出计算结果）【答案】546【解析】由归纳得出，代入计算可得12已知复数满足等式（是虚数单位），则的最小值是 【答案】解：，复数的对应点的轨迹是的最小值即为点到直线的距离13如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第7个数是 【答案】2010aOCCbxyABy=x214.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数图像上任意两点，线段AB必在弧线AB上方由图象中的点C在点C（点C在函数y=x2图像上）正上方，有不等式成立对于函数的图象上任意两点，类比上述不等式可以得到的不等式是(正确的) 【答案】.二、解答题：本大题共6小题；共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）已知是复数，均为实数（是虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限， (1)求复数(2) 求实数的取值范围解:（1）设zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i. -7分（2）(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，已知解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)-14分16、（本小题满分14分）阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：，由得，令，有，代入得（1）利用上述结论，试求的值；（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：.【解析】（1）；-7分（2）因为，由得，令，有，代入得.-14分17（本小题满分14分）如图，在正四棱锥中，点、分别在线段、上，（1）若，求证：；（2）若二面角的大小为，求线段的长(1) 证明：连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系因为PAAB，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)由，得N，由，得M，所以，(1，1，0)因为·0，所以MNAD-7分(2) 解：因为M在PA上，可设，得M(，0，1)所以(，1，1)，(0，2，0)设平面MBD的法向量n(x，y，z)，由得其中一组解为x1，y0，z，所以可取n(1，0，)因为平面ABD的法向量为(0，0，1)，所以cos，即，解得，从而M，N，所以MN-14分18. （本小题满分16分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA4，CB4，CC12，ACB90°，点M在线段A1B1上.(1)若A1M3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置.解方法一(坐标法)以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2)，B1(0,4，2).(1)因为A1M3MB1，所以M(1,3,2).所以(4,0,2)，(3,3,2).所以cos，.所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为.-8分(2)由A(4,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,2)，知(4,4,0)，(4,0,2).设平面ABC1的法向量为n(a，b，c)，由得令a1，则b1，c，所以平面ABC1的一个法向量为n(1,1，).因为点M在线段A1B1上，所以可设M(x,4x,2)，所以(x4,4x,2).因为直线AM与平面ABC1所成角为30°，所以|cosn，|sin 30°.由|n·|n|cosn，|，得|1·(x4)1·(4x)·2|2··，解得x2或x6.因为点M在线段A1B1上，所以x2，即点M(2,2,2)是线段A1B1的中点. -16分方法二(选基底法)由题意得CC1CA，CACB，CC1CB，取，作为一组基底，则有|4，|2，且···0.(1)由3，则，且|，且|2，·4，cos，.即异面直线AM与A1C所成角的余弦值为.(2)设A1MA1B1，则.又，设面ABC1的法向量为nxyz，则n·8z16x0，n·16y16x0，不妨取xy1，z2，则n2且|n|8，|，·n16，又AM与面ABC1所成的角为30°，则应有，得，即M为A1B1的中点.19. （本小题满分16分）已知函数，数列满足：（1）证明：在上是增函数 （2）用数学归纳法证明：；（3）证明：解：因为时，所以在上是增函数，-2分(2)证明: 当时，由已知，结论成立。假设当时结论成立，即，因为在上是增函数，又在 上图像不间断，从而，即，故当时，结论成立。由可知，对一切正整数都成立。-10分 设函数，由可知，当时，.从而, 所以在上是增函数.又，所以当时，成立.于是，即，故-16分20. （本小题满分16分）已知函数，图象恒过定点，且点既在图象上，又在的导函数的图象上.（1）求的值； （2）设，当且时，判断的符号，并说明理由；（3）求证：（且）.（1）因为，所以恒过，所以，所以，因为，所以，即，；-4分（2）答：，即证且时，异号，因为所以当时，因为，所以在单调递减，又，所以，所以，因为当时，所以，所以，所以，综上得证.-10分（3）由（2）知：当时， ，即，令（），所以，所以，以上个式子相加，即得，所以。 -16分另法：（3）数学归纳法证明如下： 当时，左边=，右边=，左边-右边=左边>右边，所以，当时，不等式成立。 假设当时，不等式成立，即成立。那么，当时，左边=，而右边=要证：，即证：即证：，即证由（2）知：当时，且，所以，即， 成立所以，当时，不等式成立。由知，不等式（且）成立。专心-专注-专业
