函数的基本性质(总结版)(共5页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上函数的基本性质基础知识：1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1<x2； 2、作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数。3、函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.性质：如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为。例题：1、讨论函数的单调性。2、的递减区间是 ；的单调递增区间是 。3、已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数 的取值范围。4、函数的图象 ( ) A.关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称5、设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x0时，f（x）=log3（1+x），则f（2）=_ 6、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x2)，若f(x)在2，0上递增，则AAf(1)>f(5.5) ; Bf(1)<f(5.5)Cf(1)=f(5.5) D以上都不对.7、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)习题：题型一：判断函数的奇偶性1、以下函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），(6)；其中奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是 _2、已知函数=,那么是 ( )A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数题型二：奇偶性的应用1、已知偶函数和奇函数的定义域都是(-4,4),它们在上的图像分别如图（2-3），则关于的不等式的解集是_。2、已知，其中为常数，若，则_ 3、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）（A）（B）（C）（D）4、已知函数在R是奇函数，且当时，则时，的解析式为_5、若是偶函数,且当时, ,则的解集是（ ）A. B. C. D. 题型三：判断证明函数的单调性1、判断并证明在上的单调性2、判断在上的单调性题型四：函数的单调区间1、求函数的单调区间；2、下列函数中，在上为增函数的是 （ ）A. B. C. D.3、函数的一个单调递增区间是（ ）（A） （B） （C） （D）4、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )(A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y= (D)y=x2-4x+35、函数y=的递增区间是( ) (A)(-，-2) (B)-5，-2 (C)-2，1 (D)1，+)题型五：单调性的应用1、函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( ) (A)3，+ ) (B) (-，-3 (C)-3 (D)(-，5 2.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x(-2，+)时是增函数，当x(-，-2)时是减函数，则f(1)等于( ) (A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m而决定的常数3、若函数在R上单调递增，则实数a, b一定满足的条件是（ ）A BCD4、函数恒成立，则b的最小值为 .5、已知偶函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。题型六：周期问题1、奇函数以3为最小正周期，则为 ( )A.3 B.6 C.-3 D.-62、设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是( )(A) f(1.5)<f(3.5)<f(6.5)(B) f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)(C) f(6.5)<f(3.5)<f(1.5)(D) f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)3、已知为偶函数,且,当时,则 （ ）A2006 B4 C D4、设是上的奇函数，当时，则等于_5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(mx)f(mx)，且f(x)是偶函数,求证:2m是f(x)的一个周期.7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)3，对任意的xR，均有f(x4)f(x)f，求f(2001)的值.专心-专注-专业
