三角函数知识点及例题讲解.docx

精选优质文档-倾情为你奉上 三角函数知识点1.特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°010110101002-2+1002+2-2. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：）3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。如(； (3)常值变换主要指“1”的变换（等），.。（4）周期性：、的最小正周期都是2；和的最小正周期都是。如（5）单调性：上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ (6)、形如的函数：1几个物理量：A振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；2函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则_（答：）；3函数图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4函数的图象与图象间的关系：函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，如（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；2.正、余弦定理：在中有:正弦定理：（为外接圆半径） 注意变形应用面积公式：余弦定理： 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数例题讲解例1 已知角的终边上一点P（ ，m），且sin= m，求cos与tan的值 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程 解 由题意知r= ，则sin= = 又sin= m， = m m=0，m=± 当m=0时，cos= 1 ， tan=0 ；当m= 时，cos= ， tan= ；当m= 时，cos= ，tan= 例2 设是第二象限角，且满足sin|= sin ，是哪个象限的角? 解 是第二象限角， 2k+ 2k+ ，kZk+ k+ ，kZ 是第一象限或第三象限角 又sin|= sin ， sin 0. 是第三、第四象限的角 由、知， 是第三象限角 第2课 同角三角函数的关系及诱导公式【讲练平台】 例1 化简 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化 解 原式= = = =1 例2 若sincos= ，( ，)，求cossin的值 分析 已知式为sin、cos的二次式，欲求式为sin、cos的一次式，为了运用条件，须将cossin进行平方 解 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 = ( ，)， cossin cossin= 变式1 条件同例， 求cos+sin的值 变式2 已知cossin= ， 求sincos，sin+cos的值 例3 已知tan=3求cos2+sincos的值 分析 因为cos2+sincos是关于sin、cos的二次齐次式，所以可转化成tan的式子 解 原式=cos2+sincos= = = 第3课 两角和与两角差的三角函数（一） 例1 已知sinsin= ，coscos=，求cos()的值 分析 由于cos()=coscos+sinsin的右边是关于sin、cos、sin、cos的二次式，而已知条件是关于sin、sin、cos、cos的一次式，所以将已知式两边平方 解 sinsin=， coscos= ， 2 2 ，得22cos()= cos()= 例2 求 的值 分析 式中含有两个角，故需先化简注意到10°=30°20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角 解 10°=30°20°， 原式= = = = 点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法 例3 已知：sin(+)=2sin求证：tan=3tan(+) 分析 已知式中含有角2+和，而欲求式中含有角和+，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角 解 2+=(+)+，=(+)， sin(+)+=2sin(+) sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin 若cos(+)0 ，cos0，则3tan(+)=tan 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将+看成一个整体 第4课 两角和与两角差的三角函数（二） 【讲练平台】 例1 求下列各式的值 （1）tan10°tan50°+ tan10°tan50°； (2) (1)解 原式=tan(10°+50°)（1tan10°tan50°）+tan10°tan50°= （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦 解 原式= = 点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1tanAtanB），asinx+bsinx=sin(x+)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法 第5课 三角函数的图象与性质（一） 例1 （1）函数y=的定义域为 (2)若、为锐角，sincos，则、满足 （C） A B C+ D + 分析 （1）函数的定义域为 (*) 的解集，由于y=tanx的最小正周期为，y=sinx的最小正周期为2， 所以原函数的周期为2，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出(， )上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为x2kx2k+ ，或2k+ x2k+ ，kZ 分析（2）sin、cos不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos转化成sin( )，运用y=sinx在0，的单调性，便知答案为C 例4 已知函数f(x)=5sinxcosx5cos2x+ (xR) (1)求f(x)的单调增区间； （2）求f(x)图象的对称轴、对称中心 分析 函数表达式较复杂，需先化简 解 f(x)= sin2x5× =5sin(2x) （1）由2k2x2k+，得k ，k+（kZ）为f(x)的单调增区间 （2）令2x =k+，得x= + （kZ），则x= + （kZ）为函数y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x =k，得x=+ （kZ）， y=f(x)图象的对称中心为点（+，0）（kZ） 第6课 三角函数的图象与性质（二） xy33O 例2 右图为某三角函数图像的一段 （1）试用y=Asin（x+)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线x=2对称的函数解析式 解：（1）T= =4 = = 又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移 而得到的 解析式为 y=3sin (x) (2)设（x，y)为y=3sin( x ）关于直线x=2对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2的对称点应为（4x，y)，故与y=3sin( x）关于直线x=2对称的函数解析式是y=3sin（4x) =3sin( x） 点评 y=sin(x+)(0)的图象由y=sinx的图象向左平移（0）或向右平移（0）个单位特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用 例3 已知函数y=cos2x+ sinxcosx+1 (xR) (1)当y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解 (1)y= · + · sin2x +1= sin(2x+)+ 当2x+ =2k+ ，即x=k+，kZ时，ymax= (2）由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移 个单位即可 第7课 三角函数的最值 例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值 分析 由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简 解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+)+2 当2x+=2k+， 即x=k+ (kZ)时，ymax= +2 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= sin（x+） 例2 若, ，求函数y=cos(+）+sin2的最小值 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化 解 y=cos(+)cos2(+)=cos(+)2cos2(+)1 =2cos2(+)+cos(+)+1 =2cos2(+)cos(+)+1 =2cos(+)2+ , ， ， cos(+)， y最小值 = 例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值 分析 由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题 解 令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=(t+)2+，且t， ymin= ，ymax=3+ 点评 注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题 第8课 解斜三角形 例2 在ABC中，已知acosA=bcosB，判断ABC的形状 分析 欲判断ABC的形状，需将已知式变形式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换 解 方法一：由余弦定理，得 a·（）=b·（）， a 2c 2a 4b 2c 2+b 4=0 (a2b2)(c 2a2b2)=0 a2b2=0，或c2a2b2=0 a=b，或c2=a2+b2 ABC是等腰三角形或直角三角形 方法二：由acosA=bcosB，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B，或2A=2B A=B，或A+B= ABC为等腰三角形或直角三角形 1 设锐角的内角的对边分别为,.()求的大小;()求的取值范围.【解析】:()由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.(). 专心-专注-专业