2012高考数学6大解答题最后冲刺(文科)-解析几何(28道题详解)(共27页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2012高考数学文最后冲刺【六大解答题】解析几何1.如图，在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，求线段的长；（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。解：（1）由椭圆方程为可得， ， 设，则由题意可知，化简得点G的轨迹方程为. 4分（2）由题意可知，故将代入，可得，从而 8分（3）假设存在实数满足题意由已知得 椭圆C： 由解得，由解得， 12分，故可得满足题意 16分2.设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且是它的右准线，(1) 求椭圆方程；(2) 设P为右准线上不同于点（4，0）的任一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内解：（1）由 得 方程为 6分（2）A（，0），B（2，0），令 M在椭圆上，又M异于A、B点，令 P、A、M三点共线， 10分，>0， 14分 B在以MN为直径的圆内3.如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率.（1）求椭圆的标准方程； B（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点试判断直线与以为直径的圆的位置关系 （1）将整理得 解方程组得直线所经过的定点（0，1），所以 由离心率得所以椭圆的标准方程为-4分（2）设，则，点在以为圆心，2为半径的的圆上即点在以为直径的圆上6分又，直线的方程为令，得又，为的中点，8分，直线与圆相切4.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）若直线不过点M，试问是否为定值？并说明理由。 （），-2分依题意设椭圆方程为：把点代入，得 椭圆方程为-4分（）把代入椭圆方程得：，由可得-6分（）设，A,B与M不重合，-8分，为定值0.- -12分5.已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.（I）求椭圆的标准方程；()是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由 ()设椭圆方程为，由题意点在椭圆上，所以+=1，解得5分()当直线斜率不存在时，易求，所以由得，直线的方程为7分当直线斜率存在时，所以，由得即因为，所以此时，直线的方程为6.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。 (1)解：由题意知，即又，故椭圆的方程为(2)解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为由得： 由得：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则，的取值范围是(3)证：B、E两点关于x轴对称，E(x2，y2)直线AE的方程为，令y = 0得：又，由将代入得：x = 1，直线AE与x轴交于定点(1，0)7.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线（）求椭圆的方程；（）过点的动直线L交椭圆C于AB两点问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由。解析：（）由因直线相切，2分圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 故所求椭圆方程为 （）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：由即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1） （）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）（）若直线L斜率存在时，可设直线L：由记点 TATB, 综合（）（），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）8.设椭圆的两个焦点是，且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围。 9.已知椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为（）求椭圆C的方程；（）过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线 (I)由题可知： 2分解得， 椭圆C的方程为4分 （II）设直线：，由得.6分所以，. 8分 而，10分三点共线10.椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为.点P(1，)、A、B在椭圆E上，且m(mR)(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；(2)当m3时，证明原点O是PAB的重心，并求直线AB的方程解：（1）由=及解得a2=4，b2=3， 椭圆方程为；2分设A（x1,y1）、B（x2,y2）， 由得（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），即 又，两式相减得; 6分（2）由（1）知，点A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐标满足，点P的坐标为（1，）, m=-3， 于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3+=0， 因此PAB的重心坐标为(0，0)即原点是PAB的重心.x1+x2=-1，y1+y2=-，AB中点坐标为（，），10分 又，两式相减得; 直线AB的方程为y+=(x+),即x+2y+2=0.11.已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点（1）证明：直线的斜率互为相反数；（2）求面积的最小值；（3）当点的坐标为，且根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：直线的斜率是否互为相反数？ 面积的最小值是多少？（1）设直线的方程为由 可得 设，则又当垂直于轴时，点关于轴，显然综上， - 5分（2）=当垂直于轴时，面积的最小值等于 -10分（3）推测：；面积的最小值为 - 13分12.已知椭圆E：=1（abo）的离心率e=，且经过点（,1），O为坐标原点。 （）求椭圆E的标准方程；（）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x=4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P、Q，当PMQ=60°时，求直线PQ的方程.解：（1）椭圆的标准方程为： （2）连接QM，OP，OQ，PQ和MO交于点A，有题意可得M（-4，m），PMQ=600OMP=300，m>0,m=4,M(-4,4)直线OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OMPQ,设直线PQ的方程为y=x+nOMP=300,POM=600,OPA=300,即O到直线PQ的距离为,(负数舍去),PQ的方程为x-y+2=013.设抛物线C1：x 24 y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称() 求曲线C2的方程；() 曲线C2上是否存在一点P（异于原点），过点P作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 ()解；因为曲线与关于原点对称，又的方程，所以方程为 5分()解：设，,的导数为，则切线的方程，又，得，因点在切线上,故同理, 所以直线经过两点，即直线方程为,即，代入得，则,，所以 ，由抛物线定义得，所以，由题设知，即，解得，从而综上，存在点满足题意，点的坐标为 或 15分14.在平面直角坐标系中，已知圆和圆，（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。 (1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： 化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有： 解之得：点P坐标为或。（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。15.已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 4分（）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。16已知双曲线：的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点（）求圆的方程；（）若直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；（）在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（）由双曲线E：，得： ，2分又圆C过原点，所以圆C的方程为 4分（）由题意，设，代入，得，5分所以的斜率为，的方程为6分所以到的距离为， 7分直线FG被圆C截得的弦长为 9分()设P(s,t),G(x0,y0),则由，得整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. 11分又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0 代入，得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. 13分又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知，14分解得：s= -12, t=0. 15分所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12,0）17.椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点已知的最大值为，最小值为（）求椭圆的方程；（）若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解析：（1） 是椭圆上任一点,且，2分当时，有最小值；当或时, 有最大值， ， 椭圆方程为。4分（2）设，将代入椭圆方程得6分，为直径的圆过点，或都满足，9分若直线恒过定点不合题意舍去，若直线：恒过定点。18. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程;(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长;是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为. 1分由,得. 2分抛物线的焦点为,. 3分抛物线D的方程为. 4分(2)设,. 5分直线的方程为：, 6分联立,整理得: 7分=.9分 19.已知圆C1的方程为，定直线l的方程为动圆C与圆C1外切，且与直线l相切（）求动圆圆心C的轨迹M的方程；（II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值解（）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则 ，且 2分A 可得 由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程 5分（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为由于该直线经过点A（0,6），所以有，得因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为 9分把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为所以 20已知椭圆经过点，它的焦距为，它的左、右顶点分别为，是该椭圆上的一个动点（非顶点），点 是点关于轴的对称点，直线相交于点.（）求该椭圆的标准方程（）求点的轨迹方程解：（）由题意得：c=1， ····················3分由、得 所以所求椭圆的标准方程为···········6分（）由（）知，设所以两式相乘得：由于点在椭圆上，所以代入上式得····················13分21.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且 （1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围（1）设C：1（a>b>0），设c>0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc，故C的方程为：y21 5（2）由，14，3或O点与P点重合= 7当O点与P点重合=时，m=0当3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*）x1x2， x1x2 113 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 13m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k2>0，1<m< 或 <m<1容易验证k2>2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1）0 22设抛物线M方程为，其焦点为F，P（为直线与抛物线M的一个交点，（1）求抛物线的方程；（2）过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得QAB为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由yxBQOFA解：（1） （舍去） -5分 （2）若直线的斜率不存在，则Q只可能为，此时不是等边三角形，舍去，-7分若直线的斜率存在，设直线的方程为（），设直线与抛物线的交点坐标为A（）、B（） ，设存在，设Q到直线的距离为有题意可知：-10分 由可得：-代入得：，化简得：-14分，为所求点-15分23.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.（）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；（）设、为轨迹上两点，且>1, >0,，求实数，使，且.解：（）设点，由得. 2分 由,得，即. 4分 又点在轴的正半轴上，.故点的轨迹的方程是. 6分（）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物线的两个交点,所以直线的斜率不为. 7分 当直线斜率不存在时，得，不合题意； 8分 当直线斜率存在且不为时，设，代入得 ， 则，解得. 9分 代入原方程得，由于，所以，由, 得，. 12分24.如图，在中，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线与圆 相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.yPABCOx解（1）依椭圆的定义有： ， 又， 椭圆的标准方程为7分（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分.）椭圆的右顶点，圆圆心为，半径.假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，则，圆心到直线的距离 当直线斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离（符合）当直线斜率存在时，设的方程为，即，圆心到直线的距离，无解综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为xA(4,2)OyPF25.如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8.（1）求抛物线方程；（2）若为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.解：设抛物线的准线为，过作于，过作于，BxA(4,2)OyPF （1）由抛物线定义知C(折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号.由题意知,即抛物线的方程为： 5分（2）假设存在点，设过点的直线方程为，显然，设，由以为直径的圆恰过坐标原点有 6分把代人得由韦达定理 7分又 代人得 代人得 动直线方程为必过定点 10分当不存在时，直线交抛物线于,仍然有， 综上：存在点满足条件 12分注：若设直线BC的方程为可避免讨论.26.已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，。（1）求椭圆的方程；（2）如果直线与椭圆相交于，若，证明直线与直线的交点必在一条确定的双曲线上；（3）过点作直线（与轴不垂直）与椭圆交于两点，与轴交于点，若，证明：为定值。解：（1）由已知3分所以椭圆方程为。5分（2）依题意可设，且有又，将代入即得所以直线与直线的交点必在双曲线上。10分（3）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，11分设、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得， 所以， ， 13分因为，所以，即所以，又与轴不垂直，所以，所以，同理。 14分所以。将代入上式可得。 16分27.已知抛物线C:y=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点。（1）求·的值；（2）设=，求ABO的面积S的最小值；（3）在（2）的条件下若S，求的取值范围。根据抛物线的方程可得焦点F（1,0），设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得-4my-4=0.设A、B点的坐标分别为（，），（，）（0），则=-4.因为=4，=4，所以=1，故·=+=-3 4分(2)因为=，所以（1-，-）=（-1，）即 1-=- -=又=4 =4 ，由消去，后，得到=，将其代入，注意到0，解得=。从而可得=-，=2，故OAB的面积S=·=因为2恒成立,故OAB的面积S的最小值是2(8分).(3)由 解之的 28. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程;(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长;是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为. 1分由,得. 2分抛物线的焦点为,. 3分抛物线D的方程为. 4分(2)设,. 5分直线的方程为：, 6分联立,整理得: 7分=.9分 () 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可得: 10分 11分即= 13分当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值. 14分因此存在直线满足题意 15分专心-专注-专业