2018专题复习(五)-方程、不等式与函数的实际应用题篇(共18页).doc

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210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意，得400×(1x%)2324，解得x10或x190(舍去)答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100m)件第一次降价后的单件利润为：400×(110%)30060(元/件)；第二次降价后的单件利润为：32430024(元/件)依题意，得60m24×(100m)36m2 4003 210，解得m22.5.m23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件3(2017·云南)某商店用1 000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2 400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元(1)该商店第一次购进水果多少千克？(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和解：(1)设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，依题意，得(2)×2x2 400.整理，可得2 0004x2 400.解得x100.经检验，x100是原方程的解答：该商店第一次购进水果100千克(2)设每千克水果的标价是x元，则(100100×220)×x20×0.5x1 0002 400950.整理，可得290x4 350.解得x15.答：每千克水果的标价至少是15元4(2017·东营)为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A，B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7 800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5 400万元(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？(2)该县计划改扩建A，B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担若国家财政拨付资金不超过11 800万元；地方财政投入资金不少于4 000万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元请问共有哪几种改扩建方案？解：(1)设改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别为x万元和y万元，由题意，得解得答：改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别为1 200万元和1 800万元(2)设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校(10a)所，由题意，得解得3a5，a取整数，a3，4，5.即共有3种方案：方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所5(2017·宜昌)某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线，轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年年初开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到32.(1)这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？(2)市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？(3)求搬迁安置投资逐年递减的百分数解：(1)三年用于辅助配套的投资为54×36(亿元)(2)设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设、搬迁安置的投资分别是2x亿元，4x亿元由题意，得解得2015年年初三项工程的总投资为7x7×535(亿元)(3)由(2)得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y.由题意，得20(1y)25，解得y10.550%，y21.5(舍)搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%.类型2函数的实际应用解题策略：1求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础2用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值3在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段如：本例中年利润是由年销售量和销售单价组合而成的，销售单价是分段函数，所以年利润也必须按照销售单价中自变量的分段进行分段(2017·黄冈)月电科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本)(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式；(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围【思路点拨】(1)从图象看是分段函数，第一段是反比例函数，第二段是一次函数，用待定系数法求出两段函数；(2)根据年利润(销售价格成本价格)×销售量，列出相应的两段函数解析式，再结合自变量的取值范围及函数的增减性确定利润的最大值；(3)先求出年利润为103万元时的销售价格，然后结合函数图象，确定年利润不低于103万元时销售价格的取值范围【自主解答】(1)当4x8时，设y，将A(4，40)代入，得m4×40160.y与x之间的函数关系式为y.当8x28时，设ykxb，将B(8，20)，C(28，0)代入，得解得y与x之间的函数关系式为yx28.综上所述，y(2)当4x8时，s(x4)y160(x4)×160.s随x的增大而增大，当x8时，smax80.当8x28时，s(x4)y160(x4)(x28)160x232x272(x16)216.当x16时，smax16.16>80，第一年年利润的最大值为16万元(3)第一年的年利润为16万元，16万元应作为第二年的成本x>8，第二年的利润s(x4)(x28)16x232x128.令s103，则x232x128103.解得x111，x221.在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图如图所示，观察图象可知：s103时，11x21.当11x21时，第二年的年利润s不低于103万元【方法归纳】确定函数关系式，先考虑是什么函数，利用待定系数法求函数表达式最值问题是函数性质的实际应用，求最值先确定自变量的取值范围，再思考是什么函数，若是二次函数要先检验二次函数的对称轴与自变量的取值范围的关系，看最值是利用顶点确定还是利用函数的增减性确定；解一元二次不等式要用二次函数的图象去解1(2017·济宁)某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：yx60(30x60)设这种双肩包每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？解：(1)w(x30)·y(x30)(x60)x290x1 800(30x60)(2)wx290x1 800(x45)2225.10，当x45时，w有最大值，最大值为225.答：销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为225元(3)当w200时，可得方程(x45)2225200.解得x140，x250.5042，x250不符合题意，应舍去答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元2(2016·宿迁)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30<m100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元(1)求y关于x的函数表达式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围解：(1)当0<x30时，y120x；当30<xm时，y120(x30)xx2150x；当x>m时，y120(m30)x(150m)x.y关于x的函数表达式为y(2)当0<x30和x>m时，y随x的增大而增大，当30<xm时，yx2150x(x75)25 625，观察函数图象，可以发现，当x75时，y随x的增大而增大，当x>75时，y随x的增大而减小，要使得总费用随着团队人数的增加而增加，此段函数自变量的取值范围应该在对称轴的左侧m75.又30<m100，m的取值范围是30<m75.3(2017·襄阳)为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1 000 m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1(元)与x(m2)的函数关系式为y1其图象如图所示栽花所需费用y2(元)与x(m2)的函数关系式为y20.01x220x30 000(0x1 000)(1)请直接写出k1，k2和b的值；(2)设这块1 000 m2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；(3)若种草部分的面积不少于700 m2，栽花部分的面积不少于100 m2，请求出绿化总费用W的最小值解：(1)k130，k220，b6 000.(2)当0x<600时，W30x(0.01x220x30 000)0.01x210x30 0000.01(x500)232 500，0.01<0，当x500时，W取最大值为32 500元当600x1 000时，W20x6 000(0.01x220x30 000)0.01x236 000，0.01<0，当600x1 000时，W随x的增大而减小当x600时，W取最大值为32 400元32 400<32 500，W的最大值为32 500元(3)由题意，得1 000x100，解得x900.又x700，700x900.当700x900时，W随x的增大而减小，当x900时，W取最小值为27 900元4(2016·龙东)甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示(1)A，B两城之间的距离是多少千米？(2)求乙车出发后几小时追上甲车；(3)直接写出甲车出发后多长时间，两车相距20千米解：(1)由图象知，A，B两城之间的距离是300千米(2)设过(5，0)，(10，300)的直线表达式为y甲k1tb1，则解得y甲60t300.设过(6，0)，(9，300)的直线表达式为y乙k2tb2，则解得y乙100t600.当y甲y乙，即60t300100t600时，解得t7.5.7.561.5(小时)答：乙车出发后1.5小时追上甲车(3)当y甲20，即60t30020时，解得t5.55(小时)；当y甲y乙20，即60t300100t60020时，解得t7.752(小时)；当y乙y甲20，即100t60060t30020时，解得t8.853(小时)；当y甲30020，即60t30030020时，解得t9.954(小时)答：甲车出发后小时或2小时或3小时或4小时，两车相距20千米5(2016·黄冈)东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为p且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表：时间t(天)136102040日销售量y(kg)1181141081008040(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系试求在第30天的日销售量是多少？(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1 kg水果就捐赠n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围解：(1)依题意，得y1202t.当t30时，y1206060.答：在第30天的日销售量为60千克(2)设日销售利润为W元，则W(p20)y.当1t24时，W(t3020)(1202t)t210t1 200(t10)21 250.当t10时，W最大1 250；当25t48时，W(t4820)(1202t)t2116t3 360(t58)24.当t25时，W最大1 085.1 250>1 085，在第10天的销售利润最大，最大利润为1 250元(3)依题意，得W(t3020n)(1202t)t22(n5)t1 200120n，其对称轴为t2n10，要使W随t的增大而增大，由二次函数的图象及性质知：2n1024，解得n7.又n<9，7n<9.类型3函数与方程或不等式的综合应用解题策略：函数与方程或不等式的综合应用中，有两种形式需要不等式来帮助函数解决问题：(1)当要确定函数的最大值或最小值时，需要根据题意列出关于自变量的不等式(组)，求出自变量的取值范围，若是一次函数，根据增减性确定最值；若是二次函数，判断顶点是否在自变量的取值范围之内，若在，直接取顶点，若不在，结合增减性取最值；(2)当已知函数值的取值范围，求自变量的取值范围时，直接结合函数解析式列出不等式若是一次函数可直接解不等式求出自变量的取值范围；若是二次函数，可以借助函数图象确定自变量的取值范围(2017·随州)某水果店在两周内将标价为10元/斤的某种水果经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示，已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y(元)，求y与x(1x<15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大；时间x(天)1x<99x<15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【思路点拨】(1)设这个百分率是x，根据某商品原价为10元/斤，连续两次降价后的价格为8.1元/斤，列一元二次方程求解；(2)根据两个取值先计算：当1x9时和当9x15时销售单价，由“利润(售价进价)×销量费用”列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元，根据“第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元”列不等式可求得结果【自主解答】(1)设该种水果每次降价的百分率是x，依题意，得10(1x)28.1.解得x10.110%，x21.9(不合题意，舍去)答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2)第一次降价后的销售价格为：10×(110%)9(元/斤)，当1x<9时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352，当9x<15时，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80.综上，y与x之间的函数关系式为y当1x<9时，y17.7x352，当x1时，y最大334.3元当9x<15时，y3x260x803(x10)2380，当x10时，y最大380元334.3<380，在第10天时销售利润最大(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a元，依题意，得380(8.1a4.1)(12015)(3×15264×15400)127.5.解得a0.5.则第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元1(2017·青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)24 00040 000(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？解：(1)设有x间豪华间，由题意，得×(1).解得x50.经检验，x50是原方程的根800(元/间)答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元(2)设上涨m元，利润为w元，则w(800m)(50)m218m40 000(m225)242 025.因为0，所以当m225时，w最大42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，为42 025元2(2016·烟台)由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：价格(元/只)型号种类甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8(1)若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；(2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本(原料总成本生产提成总额)不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润(利润销售收入投入总成本)解：(1)设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有(20x)万只，根据题意，得18x12(20x)300.解得x10.则20x201010.答：甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只(2)设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产(20y)万只，根据题意，得13y8.8(20y)239.解得y15.设该月公司所获利润为W万元，则W(18121)y(1280.8)(20y)1.8y64.因为y15，所以当y15时，W最大，最大值为91万元此时20y20155.答：安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，所获利润最大，最大利润为91万元3(2017·孝感)为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择(1)劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材价格年平均下降率n；(2)2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5(1n)万元A型健身器材最多可购买多少套？安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%.市政府计划支出10万元进行养护问该计划支出能否满足一年的养护需要？解：(1)依题意，得2.5(1n)21.6.解得n10.220%，n21.8(不合题意，舍去)答：每套A型健身器材价格年平均下降率n为20%.(2)设A型健身器材购买m套，则B型健身器材购买(80m)套，由题意，得16m1.5×(120%)×(80m)112.解得m40.即A型健身器材最多可购买40套设总的养护费用为y元，则y1.6×5%m1.5×(120%)×15%×(80m)0.1m14.4.0.1<0，y随m的增大而减小，当m40时，y最小，y最小0.1×4014.410.4(万元)10万元<10.4万元，该计划支出不能满足一年的养护需要4(2016·黄石)科技馆是少年儿童假日游玩的乐园如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y表示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为y10：00之后来的游客较少可忽略不计(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟？解：(1)300a×302，a.n700，b×(3090)2700300，b.y(2)(x90)2700684，解得x78或x102(舍去)15，1530(9078)57(分钟)馆外游客最多等待57分钟5(2017·咸宁)某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件(1)第24天的日销售量是330件，日销售利润是660元；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？解：(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数解析式为ykx.ykx的图象过点(17，340)，17k340，解得k20.线段OD所表示的y与x之间的函数解析式为y20x.根据题意，得线段DE所表示的y与x之间的函数解析式为y3405(x22)5x450.D是线段OD与线段DE的交点，解方程组得D的坐标为(18，360)y(3)当0x18时，由题意，得(86)×20x640，解得x16；当18<x30时，由题意，得(86)×(5x450)640，解得x26.16x26.2616111(天)日销售利润不低于640元共11天D的坐标为(18，360)，日销售量最大为360件(86)×360720(元)试销售期间，日销售最大利润为720元6(2016·荆门)A城有某种农机30台，B城有农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16 460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a200)作为优惠，其他费用不变如何调运，使总费用最少？解：依题意列表如下：表一：运送数量(台)数量接收地送出地CD合计Ax30x30B34x6x40合计343670表二：运输费用(元/台)费用接收地送出地CDA250200B150240(1)W250x200(30x)150(34x)240(6x)140x12 540.表一中的数是非负整数，自变量x的取值范围是0x30，且为整数(2)W16 460，140x12 54016 460.解得x28.28x30.此时整数x28，29，30.共有3种方案，如下表：方案一方案二方案三CDCDCDA282291300B634535436(3)W(250a)x200(30x)150(34x)240(6x)(140a)x12 540.当0a140时，140a0，W随x的增大而增大，x0时，W最小此时，使总费用最少的方案为：从A至C乡运0台，从A至D乡运30台，从B至C乡运34台，从B至D乡运6台；当a140时，各种调运费用相同，均是12 540元；当140a200时，140a0，W随x的增大而减小，x30时，W最小此时，使总费用最少的方案为：从A至C乡运30台，从A至D乡运0台，从B至C乡运4台，从B至D乡运36台专心-专注-专业