锐角三角函数-经典难题复习巩固(教师)(共11页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列 锐角三角函数一、 导入摔碎的牛奶瓶十几岁的桑德斯经常为很多事情发愁。他常常为自己犯过的错误自怨自艾；交完考试卷以后，常常会半夜里睡不着,害怕没有考及格。他总是想那些做过的事，希望当初没有这样做；总是回想那些说过的话，后悔当初没有将话说得更好。一天早上，全班到了科学实验室。老师保罗·布兰德威尔博士把一瓶牛奶放在桌子边上。大家都坐了下来，望着那瓶牛奶，不知道它和这堂生理卫生课有什么关系。过了一会，保罗·布兰德威尔博士突然站了起来，一巴掌把那牛奶瓶打碎在水槽里，同时大声叫道：“不要为打翻的牛奶而哭泣。”然后他叫所有的人都到水槽旁边，好好地看看那瓶打翻的牛奶。“好好地看一看，”他对大家说，“我希望大家能一辈子记住这一课，这瓶牛奶已经没有了你们可以看到它都漏光了，无论你怎么着急，怎么抱怨，都没有办法再救回一滴。只要先用一点思想，先加以预防，那瓶牛奶就可以保住。可是现在已经太迟了，我们现在所能做到的，只是把它忘掉，丢开这件事情，只注意下一件事。”大道理：不要为打翻的牛奶而哭泣，相信船到桥头自然直，积极的去面对下一件事情。二、 知识点回顾 1锐角三角函数的定义：如图，在RtABC中，=90°，斜边为c，a，b分别是A的对边和邻边，则 sinA=_=_； cosA=_=_； tanA=_=_ 2填表：0°30°45°60°90°sincostan 注意：30°，45°，60°的三角函数值是中考的必考考点，其他数值是利用数形结合的方法推导的，要求在理解的基础上进行识记 3锐角三角函数间的关系： （1）互为余角的三角函数间的关系： sin（90°-）=_，cos（90°-）=_ （2）同角三角函数的关系： 平方关系：sin2+cos2=_； 商数关系：=_ 注意：对于互为余角的锐角三角函数关系，要求学生能利用定义，结合图形进行理解，并能灵活运用公式；对于同一锐角三角函数的关系，仅让了解，不作中考要求 4锐角三角函数值的变化： （1）当为锐角时，各三角函数值均为正数，且0<sin<1，0<cos<1，当0°45°时，sin，tan随角度的增大而_，cos随角度的增大而_ （2）当0°<<45°时，sin_cos； 当45°<<90°时，sin_cos三、     专题讲解 【例1】 （2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，ADBC，A90°，C=30°折叠纸片使BC经过点D点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8（l）求BDF的度数；（2）求AB的长【解】（1）BF=CF，C=，FBC=，BFC=又由折叠可知DBF=BDF=（2）在RtBDF中，DBF=，BF=8BD=ADBC，A=ABC=又FBC=DBF=ABD=在RtBDA中，AVD=，BD=AB=6变式训练： （2011四川内江，11，3分）如图，在等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=60°，BD=4，CE=，则ABC的面积为BACDE解： EDC+DEC+C=180° EDC+ADB+ADE=180° C=ADE=60° DEC=ADB ABC DCE（两个 中对应角相等则这两个 为相似 ）则有DC/AB=EC/BD, AB=BD+DC DC/(BD+DC)=EC/BD 即DC/(4+DC)=（4/3）/4 解之得DC=2故而等边 ABC的边长为BD+DC=4+2=6 则高为sinB×AB=6×sin60° SABC=6×sin60°×6÷2=18 ×sin60° =18 ×（3/2）=9×3【例2】先化简再求值：，其中.【答案】原式2分 当时，3分原式.6分 【例3】 已知为锐角，且tan=，则代数式=_ 解析 方法一：在RtABC中，C=90°，tan=，令a=，b=2，则此时c= sin=，cos=原式= 方法二：tan= 2sin=cos 又sin2+cos2=1= 方法三：tan=，sin2+cos2=1 原式=|tan-1|=|-1|=答案 变式训练：1、（北京四中模拟）计算：解原式= =-+1+1=22、 （2011甘肃兰州，21，7分）已知是锐角，且sin(+15°)=。计算的值。【答案】由sin(+15°)=得=45°原式=【例4】如图，在RtABC中，C=90°，sinB=，点D在BC边上，且ADC=45°，DC=6，求BAD的正切值 解析 过点B作BEAD，交AD延长线于E C=90°， sinB= ADC=45°，AC=DC=6， AB=10，BC=8， BD=2 ADC=45°， BDE=45°， DE=BE=BD= 又在RtACD中，AD=DC=6， AE=7， tanBAD=21世纪教育网点评 要求BAD的正切值，首先得将BAD转化到某一直角三角形中去，因此通过作垂线，构造直角三角形是解决这个问题的关键【例5】某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°（如图），试确定生命所在点 C 的深度（结果精确到0.1米，参考数据：）变式训练：（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D. 则CDA=90°，CAD=60°，BAD=30°，CD=240米 在RtACD中，tanCAD=，AD= 在RtABD中，tanBAD=，BD=AD·tan30°=80 BC=CDBD=24080=160 答：这栋大楼的高为160米四、 巩固练习：（1） 选择题1、（2011山东烟台，9,4分）如果ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）A. ABC是直角三角形 B. ABC是等腰三角形C. ABC是等腰直角三角形 D. ABC是锐角三角形2、（2011江苏苏州，9,3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于A. B. C. D. 3、（2011山东临沂，13，3分）如图，ABC中，cosB，sinC，则ABC的面积是（ ）A B12 C14 D214、（2011四川乐山2，3分）如图，在4×4的正方形网格中，tan= A1 B2 C D5、（2011广东茂名，8，3分）如图，已知：，则下列各式成立的是AsinAcosABsinA>cosA CsinA>tanADsinA<cosA【答案】B（2） 填空题1. （2011江苏扬州，13,3分）如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角ACB= 【答案】105°2、（2011江苏南通，17，3分）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得ACB30°，D点测得ADB60°，又CD60m，则河宽AB为 m（结果保留根号）. 【答案】30.(第3题图)3、（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图，一个小球由地面沿着坡度i=12的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地面的高度为( )A5 m B2m C4m Dm答案：B（3）解答题1、已知：如图，在ABC中，B = 45°，C = 60°，AB = 6。求BC的长（结果保留根号）。解：过点A作ADBC于点D。 在RtABD中，B =45°， AD = BD=AB sinB=。 在RtACD中，ACD = 60°， tan60°=，即，解得CD =。 BC = BD + DC =+。 2、如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）解： BFC =，BEC =，BCF = EBF =EBC =， BE = EF = 20 在RtBCE中， 答：宣传条幅BC的长是17.3米。3、（2011重庆市纂江县赶水镇）据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒（注：3秒小时），并测得APO59°，BPO45°试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）（参考数据：sin59°0.8572，cos59°0.5150，tan59°1.6643）答案：解： 设该轿车的速度为每小时v千米ABAOBO，BPO45°BOPO0.1千米又AOOP×tan59°0.1×1.6643ABAOBO0.1×1.66430.10.1×0.66430.06643即AB0.0066千米而3秒小时v0.06643×120079.716千米/小时79.71680该轿车没有超速五、 拓展训练(2011浙江杭州模拟14) 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.BCA 根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1） sad 的值为（ ）A. B. 1 C. D. 2（2）对于，A的正对值sad A的取值范围是 .（3）已知，其中为锐角，试求sad的值.答案：BCDHA（1）B； 2分（2）； 3分 (3) 如图，在ABC中，ACB=，sinA.在AB上取点D，使AD=AC，作DHAC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k， 则AD= AC=4k，2分又在ADH中，AHD=，sinA. ，.则在CDH中，.2分于是在ACD中，AD= AC=4k，.由正对定义可得：sadA=，即sad 1分反思总结：六、 当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB2km，DAC15°。（1）求B、D之间的距离； （2）求C、D之间的距离。 22解：（1）如图，由题意得，EAD=45°，FBD=30°。 EAC=EAD+DAC =45°+15°=60°。 AEBFCD， FBC=EAC=60° DBC=30°。又 DBC=DAB+ADB， ADB=15°。 DAB=ADB BD=AB=2。 即B，D之间的距离为2km。（2）过B作BODC，交其延长线于点O， 在RtDBO中，BD=2，DBO=60°。 DO=2×sin60°=，BO=2×cos60°=1。 在RtCBO中，CBO=30°，CO=BOtan30°=， CD=DOCO=（km）。 即C，D之间的距离为km。专心-专注-专业