12年中考数学相似难题压轴题汇编(共45页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上（2010年浙江杭州）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）来源:Z。xx。k.Com背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线”尝试解决： AB C AB C 图 1 图 2 （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识请你解决下面的问题：若ABBC5 cm，AC6 cm，请你找出ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法解：(1) 作线段AC的中垂线BD即可. (2) 小华不会成功若直线CD平分ABC的面积那么 小华不会成功 （3） 若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段 若直线不过顶点，可分以下三种情况：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示 过点E作EHAC于点H，过点B作BGAC于点G易求，BG=4，AG=CG=3设CF=x，则CE=8-x由CEHCBG，可得EH=根据面积相等，可得 （舍去，即为）或 CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线 （b）直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示 由 (a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线（仿照上面给分） (c) 直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示 过点A作AYBC于点Y，过点P作PXBC于点X由面积法可得， AY=设BP=x，则BQ=8-x由相似，可得PX= 根据面积相等，可得 （舍去）或而当BP时，BQ=，舍去 此种情况不存在 综上所述，符合条件的直线共有三条（2010年教育联合体）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F问：(1) 图中APD与哪个三角形全等？并说明理由 (2) 求证：APE FPA (3) 猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系？并说明理由(1) APDCPD 理由： 四边形ABCD菱形AD=CD, ADP=CDP 又PD=PD APDCPD (2) 证明：APDCPD DAP=DCPCDBF DCP=F DAP= F 又APE=FPA APE FPA (3) 猜想： 理由: APE FPA APDCPDPA=PC (2009年湖州)如图，在正三角形中，分别是，上的点，则的面积与的面积之比等于（ ）A13B23C2D3 【关键词】等边三角形的性质，相似的性质【答案】A（2009年山西省）如图，在中，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（ ）A B CD2【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质【答案】B(2009武汉)如图1，在中，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点BBAACOEDDECOF图1图2F（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解：（1），BADECOFG，；（2）解法一：作，交的延长线于，是边的中点，由（1）有，又，BADECOF解法二：于，设，则，由（1）知，设，在中，（3）(2009年上海市)已知ABC=90°，AB=2，BC=3，ADBC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；（2）在图中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小ADPCBQ图1DAPCB（Q）图2图3CADPBQ【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定【答案】（1）RtABD中，AB=2，AD=2，=1，D=45°PQ=PC即PB=PC，过点P作PEBC，则BE=。而PBC=D=45°PC=PB=（2）在图8中，过点P作PEBC，PFAB于点F。A=PEB=90°，D=PBERtABDRtEPB设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k，=函数定义域为FEFEADPCBQ图1DAPCB（Q）图2图3CADPBQ（3）答：90°证明：在图8中，过点P作PEBC，PFAB于点F。A=PEB=90°，D=PBERtABDRtEPB=RtPQFRtPCEFPQ=EPCEPC+QPE=FPQ+QPE=90°（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q（1）四边形OABC的形状是 ，当时，的值是 ；（2）如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积（Q）CBAOxP（图3）yQCBAOxP（图2）yCBAOyx（备用图）（第26题）（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】解：（1）矩形（长方形）； （2），即，同理，即， 在和中，设，在中， ，解得 （3）存在这样的点和点，使 点的坐标是， 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求过点画于，连结，则，QCBAOxPyH设， 如图1，当点P在点B左侧时， ，在中，解得，（不符实际，舍去）QCBAOxPyH，如图2，当点P在点B右侧时，在中，解得，综上可知，存在点，使(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。 （1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。【关键词】相似三角形【答案】解：（1）3， （2）DCBAPEF图1当时，如图1，连接，为折痕，令为，则，在中，DCFBAPEO图2H解得，此时菱形边长为（3）如图2，过作，易证，DC(F)HBAPEO图3当与点重合时，如图3，连接，显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，当时，有最大值此时，综上所述，当取最大值时，（不写不扣分）（2009恩施市）如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为EDBCABCA（1）用表示的面积； （2）求出时与的函数关系式；（3）求出时与的函数关系式；（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 【关键词】相似、二次函数【答案】解:(1) DEBC ADE=B,AED=C ADEABC 即 (2)BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为5当0 时 （3）10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形SA'DE=SADE=DE边上的高AH=AH'=由已知求得AF=5A'F=AA'-AF=x-5由A'MNA'DE知 （4）在函数中0x5当x=5时y最大为： 在函数中当时y最大为： 当时，y最大为： （2009泰安）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。（1） 求证：DBCF。（2） 当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与ABC相似，求OB。【关键词】相似、切线【答案】证明：（1）连接OF，如图AB且半圆O于F，OFAB。CBAB ，BCOF。BC=OD，OD=OF，BC=OF。四边形OBCF是平行四边形，DBCF。（2）以O、B、F为顶点的三角形与ABC相似，OFB=ABC=90°，AOBFBOFOBF=BFC，BFCA，OBFAOBF与A不可能是对顶角。A与BOF是对应角。BOF=30° OB=OF/cos30°=（2009江西）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.DDFE900cm图2BCA60cm80cm图1GHNE156cmMEOE200cm图3KE【关键词】相似、光影【答案】解：（1）由题意可知：即DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高度是12m （2）解法一：与类似得：即GN=208在中，根据勾股定理得：NH=260 设的半径为rcm，连结OM，NH切于M，则又 又解得：r=12所以，景灯灯罩的半径是12cm DDFE900cm图2BCA60cm80cm图1图3GHNE156cmMEOE200cmKE解法二：与类似得：即GN=208设的半径为rcm，连结OM，NH切于M， 则又即又 在中，根据勾股定理得：即解得：（不合题意，舍去）所以，景灯灯罩的半径是12cm （2009年清远）如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为（1）请你用含的代数式表示（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？【关键词】分类讨论思想【答案】解：（1）（2）的边上的高为，当点落在四边形内或边上时，=（0）当落在四边形外时，如下图，设的边上的高为，则 所以 综上所述：当时，取，MNCBEFAA1当时，取，当时，最大，（2009年济宁市）如图，中，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.（1）当为何值时，与相切；（2）作交于点，如果和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.【关键词】相似【答案】(1)解：当在移动中与相切时，设切点为，连，则.,.(2)证明：，. 当时，.,.，.当时，四边形为平行四边形.（2009年广西钦州）如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是_，b_，c_；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由【关键词】二次函数、相似三角形.【答案】解：（1）（0，3），b，c3（2）由（1），得yx2x3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）OB4，又OC3，BC5由题意，得BHPBOC，OCOBBC345，HPHBBP345，PB5t，HB4t，HP3tOHOBHB44t由yx3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）OQ4t当H在Q、B之间时，QHOHOQ（44t）4t48t当H在O、Q之间时，QHOQOH4t（44t）8t4综合，得QH48t；（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似当H在Q、B之间时，QH48t，若QHPCOQ，则QHCOHPOQ，得，t若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得，即t22t10t11，t21（舍去）当H在O、Q之间时，QH8t4若QHPCOQ，则QHCOHPOQ，得，t若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得，即t22t10t1t21（舍去）综上所述，存在的值，t11，t2，t3（2009临沂）如图，抛物线经过三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标【关键词】抛物线的解析式，相似的性质，二次函数的最值问题【答案】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为将，代入，得解得此抛物线的解析式为（2）存在如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，又，当时，即解得（舍去），当时，即解得，（均不合题意，舍去）当时，类似地可求出当时，当时，综上所述，符合条件的点为或或（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为过作轴的平行线交于由题意可求得直线的解析式为点的坐标为当时，面积最大（2009泰安）如图，ABC是直角三角形，ACB=90°，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。（1） 求证：FD2=FBFC。（2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。【关键词】相似、垂直【答案】证明：（1）E是RtACD斜边中点DE=EAA=2 1=21=AFDC=CDB+1=90°+1，FBD=ACB+A=90°+AFDC=FBDF是公共角FBDFDC （2）GDEF理由如下：DG是RtCDB斜边上的中线，DG=GC3=4由（1）得4=13=1 3+5=90°5+1=90°DGEF （2009年中山）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求的值【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】（1）在正方形中，在中，（2），当时，取最大值，最大值为10（3），要使，必须有，由（1）知，当点运动到的中点时，此时（2009年牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 （1）求的值 （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由xyADBOC【关键词】三角函数，一次函数，菱形，相似三角形的综合应用【答案】（1）解得 在中，由勾股定理有（2）点在轴上，由已知可知D（6，4）设当时有解得同理时，在中，在中，（3）满足条件的点有四个(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；NMBECDFG图（1）（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小发生改变，请举例说明【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用解：（1）四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 AB=AD，AE=AG，BADEAG90ºBAEEADDAGEADBAEDAG BAEDAG MBEACNDFG图（1）H（2）FCN45º 理由是：作FHMN于H AEFABE90º BAE +AEB90º，FEH+AEB90º FEHBAE 又AE=EF，EHFEBA90ºEFHABE FHBE，EHABBC，CHBEFHFHC90º，FCH45º （3）当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变， 理由是：作FHMN于H 由已知可得EAGBADAEF90º结合（1）（2）得FEHBAEDAG又G在射线CD上GDAEHFEBA90º EFHGAD，EFHABE EHADBCb，CHBE，在RtFEH中，tanFCN 当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN（09湖南怀化）如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值 【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质【答案】解 （1）易求得点的坐标为由题设可知是方程即 的两根，所以，所如图3，P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，AOCDOC，则由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0，1）（2）因为ABCD， AB又恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即又，所以解得（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点FO过点M，C，P(1)请你在图1中作出O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)与 是否相等？请你说明理由；(3)随着点P的运动，若O与AM相切于点M时，O又与AD相切于点H设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形(图2，3供参考) 图1 图2 图3【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段【答案】解：(1)如图； (2)与不相等假设，则由相似三角形的性质，得MNDC D=90°，DCAD，MNAD据题意得，A与P关于MN对称，MNAP据题意，P与D不重合，这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾 假设不成立不成立 (2) 解法2：与不相等理由如下：P， A关于MN对称，MN垂直平分APcosFAN= D=90°， cosPAD=FAN=PAD，=P不与D重合，P在边DC上;ADAP;从而 (3)AM是O的切线，AMP=90°，CMPAMB=90°BAMAMB=90°，CMP=BAMMN垂直平分，MA=MP，B=C=90°， ABMMCD MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4x，BM=PC=4x (5分)连结HO并延长交BC于JAD是O的切线，JHD=90°矩形HDCJ (7分)OJCP， MOJMPC， OJ:CP=MO:MP=1:2，OJ=(4x)，OH=MP=4OJ=(4x) MC2= MP2CP2，(4x)2(4x)2=16 解得:x=1即PD=1，PC=3，BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7由此画图(图形大致能示意即可) （3）解法2：连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO 由切线性质知，JHAD，BCAD，HJBC，OJMC，MJ=JC AM，AH与O相切于点M，H，AMO=AHO=90°，OM=OH， AO=AO，RtAMORtAHO 设AM=x，则 AM=AH=x，由切线性质得，AMPM，AMP=90°，BMA+CMP=90°BMA+BAM=90°，BAM=CMP ，B=MCP=90°，MN为AP的中垂线，AM=MPABMMCP 四边形ABJH为矩形，得BJ=AH=x，RtABM中，BM=，MJ=JC，（9分）AB=MC4=2()， AD=BC=7，PC=3 由此画图(图形大致能示意即可)（2009年茂名市）如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点 （1）若与相似，则是多少度？（2分） （2）试问：当等于多少时，的面积最大？最大面积是多少？（4分） （3）若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切，求线段的长（4分）【关键词】二次函数、圆、相似综合题【答案】（1）当ABC 与DAP 相似时，APD的度数是60°或30°（2）设， 又， ，而， PC 等于12时，的面积最大，最大面积是 （3）设以和为直径的圆心分别为、，过 作 于点， 设的半径为，则显然， ， 又和外切， 在中，有， ， 解得：， （2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE若设运动时间为（s）（）解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算【答案】解：（1）而，当 （2）平行且等于，四边形是平行四边形，过B作，交于，过作，交于，又， （3）若，则有，解得（4）在和中， 在运动过程中，五边形的面积不变 （2009年广东省）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值【关键词】正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的极值问题；相似三角形有关的计算和证明【答案】解：（1）在正方形中，在中，（2）， ，当时，取最大值，最大值为10（3），要使，必须有，由（1）知，当点运动到的中点时，此时ADBEOCFxyy（G）（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合（1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围【关键词】一次函数的几何应用；一次函数与二元一次方程；矩形的性质；特殊平行四边形相关的面积问题；相似三角形有关的计算【答案】（1）解：由得点坐标为由得点坐标为由解得点的坐标为 （2）解：点在上且 点坐标为又点在上且点坐标为 （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）过作于，则ADBEORFxyyM（图3）GCADBEOCFxyyG（图1）RMADBEOCFxyyG（图2）RM即即当时，如图2，为梯形面积，G（8t,0）GR=,当时，如图3,为三角形面积，QPCBAO（2009年绵阳市）如图，A、P、B、C是O上的四点，APC =BPC = 60°，AB与PC交于Q点（1）判断ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若ABP = 15°，ABC的面积为4，求PC的长【关键词】圆的性质，相似三角形，三角函数【答案】（1） ABC =APC = 60°，BAC =BPC = 60°， ACB = 180°ABCBAC = 60°， ABC是等边三角形（2）如图，过B作BDPA交PC于D，则 BDP =APC = 60°又 AQP =BQD， AQPBQD， BPD =BDP = 60°， PB = BD （3）设正ABC的高为h，则 h = BC· sin 60° BC · h = 4， 即BC · BC· sin 60° = 4，解得BC = 4连接OB，OC，OP，作OEBC于E由ABC是正三角形知BOC = 120°，从而得OCE = 30°， 由ABP = 15° 得 PBC =ABC +ABP = 75°，于是 POC = 2PBC = 150° PCO =（180°150°）÷2 = 15°如图，作等腰直角RMN，在直角边RM上取点G，使GNM = 15°，则RNG = 30°，作GHRN，垂足为H设GH = 1，则 cosGNM = cos15° = MN 在RtGHN中，NH = GN · cos30°，GH = GN · sin30°于是 RH = GH，MN = RN · sin45°， cos15° =在图中，作OFPC于E， PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =(2009年梅州市)如图 ，梯形ABCD中，点在上，连与的延长线交于点GDCFEABG（1）求证：； （2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长【关键词】相似三角形【答案】（1）证明：梯形， ， （2） 由（1），又是的中点， 又， ，得 ， 9、(2008 湖南 益阳)ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.证明：BDGCEF；ABCDEFG图 (3)GFEDABCDEFG图 (1)ABCDEFG图 (2). 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在a和b的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以a的解答记分.a. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. 设ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .b. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： 在AB边上任取一点G，如图作正方形GDEF；连结BF并延长交AC于F；作FEFE交BC于E，FGFG交AB于G，GDGD交BC于D，则四边形DEFG即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.10、(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内