不等式-7.4--基本不等式(教案)(共7页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第七编 不等式 主备人 张灵芝 总第34期§7.4 基本不等式:基础自测1.已知a0,b0，+=1，则a+2b的最小值为 .答案 7+22.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x,yR+，且x+4y=1,则x·y的最大值是 .答案 3.已知x0,y0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 .答案 44.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 .答案 75.（2008·江苏，11）x,y,zR+，x-2y+3z=0,的最小值是 .答案 3例题精讲 例1 已知x0,y0,z0.求证：8.证明 x0,y0,z0,+0, +0. +0,=8.（当且仅当x=y=z时等号成立）例2 （1）已知x0,y0，且+=1,求x+y的最小值；（2）已知x,求函数y=4x-2+的最大值；（3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）x0,y0,+=1,x+y=(x+y) =+106+10=16.当且仅当=时，上式等号成立，又+=1,x=4,y=12时，(x+y)min=16.（2）x,5-4x0,y=4x-2+=-+3-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,+=1,x+y=(x+y)=10+=10+210+2×2×=18,当且仅当=,即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,当x=12,y=6时，x+y取最小值18.例3某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 （1）设污水处理池的宽为x米，则长为米.则总造价f(x)=400×+248×2x+80×162=1 296x+12 960=1 296+12 9601 296×2+12 960=38 880（元），当且仅当x=(x0),即x=10时取等号.当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.（2）由限制条件知,10x16.设g(x)=x+.g（x）在上是增函数，当x=10时(此时=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×+12 960=38 882(元).当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元.巩固练习 1.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1，求证：+9.证明 += +=3+3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号.2.若-4x1,求的最大值.解 =·=-4x1,-(x-1)0,0.从而2-1当且仅当-(x-1)= ，即x=2（舍）或x=0时取等号.即=-1.3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=(a+bv2) =sb,v（0,c.（2）依题意，有s,b,a,v都是正数.因此y=sb2s;若c,则当且仅当v=v=时,y取到最小值.若c,则y在（0，c上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当c时，行驶速度应该为v=；当c时，行驶速度应该为v=c.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.若不等式x2+ax+40对一切x（0，1恒成立，则a的取值范围是 .答案 a-52. 若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为. .答案 2-23.已知0x1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为 .答案 4.（2008·栟茶中学模拟）若直线2ax+by-2=0 （a,bR+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则+的最小值是 .答案 3+25.函数y=log2x+logx(2x)的值域是 .答案 （-，-13，+）6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.答案 207.（2008·徐州调研）若实数a,b满足ab-4a-b+1=0 (a1),则(a+1)(b+2)的最小值为 .答案 278.若a,b是正常数，ab,x,y(0,+)，则+,当且仅当=时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f(x)=+ 的最小值为 ，取最小值时x的值为 .答案 25 二、解答题9.（1）已知0x，求x(4-3x)的最大值；（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值.解 （1）已知0x,03x4.x(4-3x)=(3x)(4-3x)=当且仅当3x=4-3x,即x=时“=”成立.当x=时，x(4-3x）的最大值为.（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.2x+4y2=2=2=4.当且仅当，即x=,y=时“=”成立.当x=,y=时，2x+4y的最小值为4.10.已知a、b（0，+），且a+b=1,求证：(1)a2+b2; (2)+8; (3)+ ; (4) .证明 由 a、b（0，+），得ab4.（当且仅当a=b=时取等号）(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2×=，a2+b2.(2)+8,+8.(3)由(1)、(2)的结论，知+ =a2+b2+4+4+8=,+ . (4) =+ab+=+22+2=.11.设a0,b0,a+b=1.（1）证明：ab+4;(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：a2b2+（ ）；a3b3+（ ）；（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.（1）证明 方法一 ab+44a2b2-17ab+40(4ab-1)(ab-4)0.ab=()2=,4ab1，而又知ab4,因此（4ab-1）(ab-4)0成立，故ab+4.方法二 ab+=ab+，ab=，4，.当且仅当a=b=时取等号.又ab+2=，当且仅当ab=，即=4,a=b=时取等号.故ab+=4（当且仅当a=b=时，等号成立）.（2）解 猜想：当a=b=时，不等式a2b2+( )与a3b3+( )取等号，故在括号内分别填16与64.（3）解 由此得到更一般性的结论： anbn+4n+.证明如下：ab=,4.anbn+=anbn+2+×4=+=4n+，当且仅当ab=,即a=b=时取等号.12.某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x(单位：件，xN*，1x96)的关系如下：又知每生产一件正品盈利a(a为正常数)元，每生产一件次品就损失元.（注：次品率p=×100%，正品率=1-p)（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解 （1）依题意可知：p=(1x96,xN*),日产量x件中次品有xp件，正品有x-px件，日盈利额T=a(x-px)-px=a.(2)T=a=a=a=aa(104-2)=64a，所以当100-x=20，即x=80时，T最大.因此日产量为80件时，日盈利额T取最大值.专心-专注-专业
