四边形与一次函数综合练习二(共33页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上四边形与一次函数综合练习二 一、填空题（共6小题；）1. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为赵爽弦图”如图由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形 ABCD 、正方形 EFGH 、正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3若正方形 EFGH 的边长为 2 ，则 S1+S2+S3=   2. 如图，RtABC 中，ACB=90，CAB=30，BC=2，O，H 分别为边 AB，AC 的中点，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 120 到 A1BC1 的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为   3. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD 的位置，旋转角为 0<<90若 1=110，则 =   4. 如图，ABC 绕点 A 顺时针旋转 45 得到 ABC，若 BAC=90，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于   （1题图） （2题图） （3题图） （4题图）5. 如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD=3，BC=5，AB=1，把线段 CD 绕点 D 逆时针旋转 90 到 DE 位置，连接 AE，则 AE 的长为  6. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，DAB=60，AE 分别交 BC，BD 与点 E，F，CE=2，连接 CF以下结论： ABFCBF；点 E 到 AB 的距离是 23； tanDCF=337； ABF 的面积为 1253其中一定成立是  （把所有正确结论的序号都填在横线上） （5题图） （6题图）二、解答题7. 在同一平面内，ABC 和 ABD 如图放置，其中 AB=BD小明做了如下操作：将 ABC 绕着边 AC 的中点旋转 180 得到 CEA，将 ABD 绕着边 AD 的中点旋转 180 得到 DFA，如图，请完成下列问题：（1）试猜想四边形 ABDF 是什么特殊四边形，并说明理由；（2）连接 EF，CD，如图，求证：四边形 CDFE 是平行四边形 8. 一辆轿车从甲地驶往乙地，到达乙地后立即返回甲地，速度是原来的 1.5 倍，往返共用 t 小时一辆货车同时从甲地驶往乙地，到达乙地后停止两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为 xh，两车离开甲地的距离为 ykm，两车行驶过程中 y 与 x 之间的函数图象如图所示（1）轿车从乙地返回甲地的速度为   km/h，t=  ；（2）求轿车从乙地返回甲地时 y 与 x 之间的函数解析式；（3）当轿车从甲地返回乙地的途中与货车相遇时，求相遇处到甲地的距离 9. 如图，在 RtABC 中，ACB=90，D，E 分别为 AB，AC 边上的中点，连接 DE，将 ADE 绕点 E 旋转 180 得到 CFE，连接 AF，CD（1）求证：四边形 ADCF 是菱形；（2）若 BC=8，AC=6，求四边形 ABCF 的周长10. 平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，且与平行。（1）求：直线的函数解析式及点的坐标；（2）若直线上有一点，过点作轴的垂线，交直线于点，在线段上求一点，使是直角三角形，请求出点的坐标。 11. 在数学活动课中，小辉将边长为 2 和 3 的两个正方形放置在直线 l 上，如图 1，他连接 AD，CF，经测量发现 AD=CF（1）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 AD 与 CF 还相等吗?说明你的理由；（2）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，使点 E 旋转至直线 l 上，如图 3，请你求出 CF 的长 12. 如图，将 ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 、 B 、 C 均落在格点上，将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90将线段 AB，点 A 的对应点为 A，连接 AA 交线段 BC 于点 D（1）作出旋转后的图形（2）求CDDB的值 13. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD；AB=9，CD=3，AD=BC=5，DEAB于点E，动点M从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；动点N同时从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动设运动的时间为t秒() (1)DE的长为 ； (2)当MNAD时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，MNB为等腰三角形 14. 分别以 ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向 ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2，连接 D1D2（1）如图 1，过点 C 作直线 HG 垂直于直线 AB 于点 H，交 D1D2 于点 G试探究线段 GD1 与线段 GD2 的数量关系，并加以证明（2）如图 2，CF 为 AB 边中线，试探究线段 CF 与线段 D1D2 的数量关系，并加以证明15. 如图，已知点是矩形的边延长线上一点，且，联结，过点作，垂足为点，联结、.（1）求证：；（2）联结，若，且，求的值. 16. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O，将 COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到 C1OD1，旋转角为 0<<90，连接 AC1 、 BD1 交于点 P（1）如图1，若四边形 ABCD 是正方形求证：AOC1BOD1并判断AC1 与 BD1 的位置关系（2）如图2，若四边形 ABCD 是菱形，AC=5，BD=7，设 AC1=kBD1判断 AC1 与 BD1 的位置关系，说明理由，并求出 k 的值（3）如图3，若四边形 ABCD 是平行四边形，AC=5，BD=10，连接 DD1，设 AC1=kBD1，请直接写出 k 的值和 AC12+kDD12 的值 17. 如图，等腰三角形 OAB 的一边 OB 在 x 轴的正半轴上，点 A 的坐标为 6,8，OA=OB，动点 P 从原点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 2 个单位的速度向点 B 匀速运动，动点 Q 从原点 O 出发，沿 y 轴的正半轴以每秒 1 个单位的速度向上匀速运动，过点 Q 作 x 轴的平行线分别交 OA，AB 于 E，F，设动点 P，Q 同时出发，当点 P 到达点 B 时，点 Q 也停止运动，他 们运动的时间为 t 秒 t0（1）点 E 的坐标为  ，F 的坐标为   ；（2）当 t 为何值时，四边形 POFE 是平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使 PEF 为直角三角形?若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由（备用图1）（备用图2） 18.如图，直线 y=x+3 分别交 x，y 轴于点 D，C ，点 B 在 x 轴上，OB=OC过点 B 作直线 mCD，点 P 、 Q 分别为直线 m 和直线 CD 上的动点，且点 P 在 x 轴的上方，满足 POQ=45 .（1）则 PBO=   度；（2）PBCQ 的值是否为定值?如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（3）求证：CQ2+PB2=PQ2 . 19. 如图所示，直线 L:y=mx+5m 与 x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于 A 、 B 两点（1）当 OA=OB 时，求点 A 坐标及直线 L 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图所示，设 Q 为 AB 延长线上一点，作直线 OQ，过 A 、 B 两点分别作 AMOQ 于 M，BNOQ 于 N，若 AM=17，求 BN 的长；（3）当 m 取不同的值时，点 B 在 y 轴正半轴上运动，分别以 OB 、 AB 为边，点 B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角 OBF 和等腰直角 ABE，连 EF 交 y 轴于 P 点，如图问：当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想 PB 的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+b 经过点 A2,0，B0,1，动点 P 是 x 轴正半轴上的动点，过点 P 作 PCx 轴，交直线 AB 于点 C，以 OA，AC 为边构造平行四边形 OACD设点 P 的横坐标为 m（1）求直线 AB 的函数表达式；（2）若四边形 OACD 恰是菱形，请求出 m 的值；（3）在（2）的条件下，y 轴上是否存在点 Q，连接 CQ，使得 OQC+ODC=180若存在，请求出所有符合条件的点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 （备用图）21. 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A，C 在坐标轴上，ODE 是由 OCB 绕点 O 顺时针旋转 90 得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC，OC 的长是方程 x2-6x+8=0 的两个根，且 OC>BC（1）求直线 BD 的解析式（2）求 OFH 的面积（3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D，F，M，N 为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由（备用图） 22. 如图 1，矩形 OABC 顶点 B 的坐标为 8,3，定点 D 的坐标为 12,0，动点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴的正方向匀速运动，动点 Q 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴的负方向匀速运动，P，Q 两点同时运动，相遇时停止在运动过程中，以 PQ 为斜边在 x 轴上方作等腰直角三角形 PQR，设运动时间为 t 秒（1）当 t=   时，PQR 的边 QR 经过点 B；（2）设 PQR 和矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；（3）如图 2，过定点 E5,0 作 EFBC，垂足为 F，当 PQR 的顶点 R 落在矩形 OABC 的内部时，过点 R 作 x 轴、 y 轴的平行线，分别交 EF，BC 于点 M，N，若 MAN=45，求 t 的值 23. 在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为 -6,0如图 1，正方形 OBCD 的顶点 B 在 x 轴的负半轴上，点 C 在第二象限现将正方形 OBCD 绕点 O 顺时针旋转角 得到正方形 OEFG（1）如图 2，若 =60，OE=OA，求直线 EF 的函数表达式（2）若 为锐角，tan=12，当 AE 取得最小值时，求正方形 OEFG 的面积（3）当正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴上时，直线 AE 与直线 FG 相交于点 P，OEP 的其中两边之比能否为 2:1?若能，求点 P 的坐标；若不能，试说明理由答案第一部分1. 122. 【解析】连接 BH，BH1 O 、 H 分别为边 AB，AC 的中点，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 120 得到 A1BC1 的位置， OBHO1BH1利用勾股定理可求得 BH=4+3=7，所以利用扇形面积公式可得 120×7-4360=3. 20【解析】因为将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到 ABCD 的位置，所以 D=B=BAD=90因为 1=110，根据对顶角相等及四边形的内角和是 360，可得 BAD=70，所以 DAD=20，所以 =DAD=204. 2-1【解析】如图，由旋转可得 ACBC 于 D，ABBC 于 F，所以 AD=12BC=1，AF=12BC=1所以 BF=AB=AF=2-1所以 S阴影=SABD-SBEF=121-2-12=2-15. 25【解析】如图，作 EFAD 于 F，DGBC 于 G根据选择的性质可知，DE=DC，DEDC，CDG=EDF， CDGEDF， DF=DG=1，EF=GC=2， AE=16+4=256. 第二部分7. （1） 四边形 ABDF 是菱形 ABD 绕着边 AD 的中点旋转 180 得到 DFA， AB=DF，BD=FA AB=BD， AB=BD=DF=FA 四边形 ABDF 是菱形    （2） 四边形 ABDF 是菱形， ABDF，且 AB=DF ABC 绕着边 AC 的中点旋转 180 得到 CEA， AB=CE，BC=EA 四边形 ABCE 为平行四边形 ABCE，且 AB=CE CEFD，CE=FD 四边形 CDFE 是平行四边形8. （1） 120；52【解析】轿车从甲地到乙地的速度是 12032=80km/h，则轿车从乙地返回甲地的速度为 80×1.5=120km/h，则 t=32+=52（小时）    （2） 设轿车从乙地返回时 y 与 x 的函数解析式是 y=kx+b，依题意得 32x+b=120,52k+b=0, 解得 k=-120,b=300, 则函数解析式是 y=-120x+30032x52    （3） 设货车行驶过程中 y 与 x 之间的函数解析式是 y=mx，依题意得 2m=120，解得 m=60，所以函数解析式是 y=60x根据题意得 y=-120x+300,y=60x, 解得 x=53,y=100. 所以当轿车从甲地返回乙地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是 100 千米9. （1） 将 ADE 绕点 E 旋转 180 得到 CFE， AE=CE，DE=EF， 四边形 ADCF 是平行四边形， D，E 分别为 AB，AC 边上的中点， DE 是 ABC 的中位线， DEBC， ACB=90， AED=90， DFAC， 四边形 ADCF 是菱形    （2） 在 RtABC 中，BC=8，AC=6， AB=10， D 是 AB 边上的中点， AD=5， 四边形 ADCF 是菱形， AF=FC=AD=5， 四边形 ABCF 的周长为 8+10+5+5=2811. （1） 相等在正方形 ABCO 和正方形 DEFO 中，AO=CO，DO=FO，AOC=DOF=90， AOD=COF AODCOF AD=CF      （2） 连接 DF 交 OE 于 H（或过 D 作 DHOE）由正方形 DEFO 可得 DH=OH=1， 则 CF=AD=AH2+DH2=42+12=1712. （1） 如图所示：      （2） 如图以点 B 为原点建立坐标系，则 A-1,2，A2,1，C2,2，B0,0，设直线 AA 的解析式为 y=kx+bk0，则 2=-k+b,1=2k+b. 解得 k=-13,b=53. 故直线 AA 的解析式为 y=-13x+53； C2,2，B0,0， 直线 BC 的解析式为 y=x， y=-13x+53,y=x. 解得 x=54,y=54. D54,54， DB=542+542=524， CD=22-542=324， CDDB=3513. 14. （1） GD1=GD2证明如下：如图，过 C 作 H1H2HG，并截取 CH1=CH=CH2，连接 D1H1，D2H2，得到 CD1H 与 CD2H2 D1CH1+H1CA=H1CA+ACH=90， D1CH1=ACH D1C=CA， D1CH1ACH， D1H1C=AHG=90同理 D2H2C=GHB=90 H1=H1CH=H2=90， D1H1CGD2H2 GD1=GD2      （2） D1D2=2CF证明如下：如图，作 F1F2CF，并截取 CF1=CF=CF2，连接 D1F1，D2F2 D1CF1+F1CA=F1CA+ACF=90， D1CF1=ACF，又 D1C=AC， D1CF1ACF， D1F1C=AFC，D1F1=AF同理 D2F2C=CFB，D2F2=BF=AF AFC+BFC=180， D1F1C+D2F2C=180º D1F1D2F2又 D1F1=AF=BF=D2F2， D1F1F2D2 是平行四边形 D1D2=F1F2=2CF16. （1） （1） 四边形 ABCD 是正方形， OA=OB=OC=OD C1OD1 由 COD 绕点 O 旋转得到 OC1=OC，OD1=OD，COC1=DOD1 OC1=OD1，AOC1=BOD1 AOC1BOD1（2）AC1BD1      （2） AC1BD1理由如下： 四边形 ABCD 是菱形， OA=OC=0.5AC，OB=OD=0.5BD，ACBD C1OD1 由 COD 绕点 O 旋转得到 OC1=OC，OD1=OD，COC1=DOD1， OC1=OA，OD1=OB，AOC1=BOD1， OC1OA=OD1OB， OC1OD1=OAOB， AOC1BOD1， OAC1=OBD1 AOB=90， OAB+ABP+OBD1=90， OAB+ABP+OAC1=90， APB=90，AC1BD1 AOC1BOD1， AC1:BD1=OA:OB=5:7， k=5:7      （3） 如图3，与（2）一样可证明 AOC1BOD1， AC1BD1=OAOB=ACBD=12， k=12 COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到 C1OD1， OD1=OD=OD，而 OD=OB， OD1=OB=OD=OB=OD， BDD1 为直角三角形，在 RtBDD1 中， BD12+DD12=BD2=100， 2AC12+DD12=100， AC12+kDD12=25 k=1:2，AC12+kDD12=2517. （1） 34t,t；10-12t,t【解析】过点 A 作 ADOB，垂足为 D，如图 1， 点 A 的坐标为 6,8， OD=6，AD=8，由勾股定理得：OA=10， OA=OB， OB=10， BD=4， 点 B 的坐标为：10,0， 设直线 OA 的关系式：y=kx，将 A6,8 代入上式，得：6k=8，解得：k=43，所以直线 OA 的关系式：y=43x，设直线 AB 的关系式为：y=kx+b，将 A，B 两点代入上式得： 6k+b=8,10k+b=0. 解得：k=-2,b=20. 所以直线 AB 的关系式为：y=-2x+20， 过点 Q 作 x 轴的平行线分别交 OA，AB 于 E，F， 点 Q，E，F 三点的纵坐标相等， 动点 Q 从原点 O 出发，沿 y 轴的正半轴以每秒 1 个单位的速度向上匀速运动，动点 P 从原点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 2 个单位的速度向点 B 匀速运动， t 秒后，OQ=t，OP=2t， Q，E，F 三点的纵坐标均为 t，将点 E 的纵坐标 t 代入 y=43x，得：x=34t， E 点的坐标为：34t,t，将点 E 的纵坐标 t 代入 y=-2x+20，得：x=10-12t， F 点的坐标为：10-12t,t      （2） 由（1）知：E34t,t，F10-12t,t， EF=10-12t-34t=10-54t， 四边形 POFE 是平行四边形， EFOP，且 EF=OP，即 10-54t=2t，解得：t=4013， 当 t 为 4013 时，四边形 POFE 是平行四边形      （3） 过点 E 作 EMOB，垂足为 M，过点 F 作 FNOB，垂足为 N，可得四边形 EMNF 是矩形，如图 2，当 PEPF 时，PE2+PF2=EF2，由（1）知：OM=34t，EM=FN=t，ON=10-12t，EF=10-54t， PM=54t，PN=10-52t， PE2=ME2+MP2，PF2=PN2+FN2， t2+54t2+10-52t2+t2=10-54t2，解得：t1=0（舍去），t2=10033；当 PEEF 时，如图 3，可得四边形 EPNF 是矩形， 四边形 EPNF 是矩形， EF=PN，即：EF=ON-OP， 10-54t=10-12t-2t，解得 t=0（舍去）；当 EFPF 时，如图 4，可得四边形 EMPF 是矩形， 四边形 EMPF 是矩形， EF=MP，即 EF=OP-OM， 10-54t=2t-34t，解得：t=4， 当 t=10033 和 4 时，使 PEF 为直角三角形18. （1） 135【解析】令 x=0，则 y=3 .即点 C 的坐标为 0,3；令 y=0，则有 x+3=0 .解得：x=-3，即点 D 的坐标为 -3,0又 OB=OC， OC=OD=OB=3 tanODC=OCOD=1， ODC=45 . 直线m直线CD， ODC+PBO=180 . PBO=135      （2） PBCQ=9 理由：由题意可得 DCO=CDO=45， mCD， PBx=CDO=45， QCO=PBO=135， POQ=45， POB+COQ=45 CQO+COQ=45， POB=CQO CQOBOP ， PBOC=OBCQ ， PBCQ=OBOC=3×3=9 .      （3） OC=OB=3 ， 可将 OCQ 绕点 O 顺时针旋转 90 得到 OBQ ， OBQ=OCQ=135，BOQ=COQ，BQ=CQ，OQ=OQ ， xBQ=PBx=45，BOQ+POB=COQ+POB=45 ， PBQ=90，POQ=POQ=45° . OQ=OQ，OP=OP ， POQPOQ ， PQ=PQ ，在 RtPBQ 中，BQ2+PB2=PQ2 ， CQ2+PB2=PQ2 .24. （1） 对于直线 L:y=mx+5m，当 y=0 时，x=-5当 x=0 时，y=5m A-5,0，B0,5m OA=OB， 5m=5解得：m=1 直线 L 的解析式为：y=x+5      （2） OA=5，AM=17， 由勾股定理得：OM=OA2-AM2=52-172=8=22 AOM+AOB+BON=180，AOB=90， AOM+BON=90 AOM+OAM=90， BON=OAM在 AMO 和 OBN 中， BON=OAM,AMO=BNO=90,OA=OB, AMOONB（AAS） BN=OM=22      （3） PB 的长是定值，定值为 52理由如下：作 EKy轴 于 K 点，如图所示： 点 B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角 OBF 和等腰直角 ABE， AB=BE，ABE=90，BO=BF，OBF=90 ABO+EBK=90 ABO+OAB=90， EBK=OAB在 ABO 和 BEK 中 OAB=EBK,AOB=BKE=90,AB=BE, ABOBEK（AAS） OA=BK，EK=OB EK=BF在 PBF 和 PKE 中， FPB=EPK,PBF=EKP=90,BF=EK, PBFPKE（AAS） PK=PB PB=12BK=12OA=12×5=5233. （1） 由题意得 2k+b=0,b=1, 解得 k=-12,b=1. y=-12x+1      （2） 由勾股定理得 AB=5，要使四边形 OACD 是菱形，则只要满足 AC=OA=2如图当 P 在线段 OA 上时，PA=2-m APAC=OAAB， 2-m2=25 m=2-455当 P 在点 A 右边时，PA=m-2 APAC=OAAB， m-22=25 m=2+455所以当 m=2+455 或 2-455 时，四边形 OACD 是菱形      （3） 由（2）知 C2-455,255 或 C2+455,-255 四边形 OACD 是菱形， D=OAC要使 OQC+ODC=180 OQC+OAC=180 四边形 QOAC 的对角互补 QOA+QCA=180 QOA=90， QCA=90 QCAB设 Q0,n 直线 QC 的解析式为：y=2x+n把 C2-455,255 或 C2+455,-255，分别代入 y=2x+n，得 n=25-4 或 -25-4 D=OAC，OQC+ODC=180， OQC=BAO AOBQOE OBOA=OEOQ=12 QOECPE， PE=55 OE=2+355 OQ=4+655 Q0,25-4 或 0,4+655 或 Q0,-25-434. （1） x2-6x+8=0， x1=2，x2=4 OC>BC， OC=4，BC=2，B-2,4 OD=OC=4， D4,0设 BD 解析式为 y=kx+bk0， -2k+b=4,4k+b=0 k=-23,b=83. y=-23x+83      （2） DE=2， E4,2 直线 OE:y=12x， y=-23x+83,y=12x, x=167,y=87, H167,87当 x=0，y=83， F0,83， SOFH=12×83×167=6421      （3） 存在 N14,83，N2209,-83，N3-4,-103【解析】 以点 D 、 F 、 M 、 N 为顶点的四边形是矩形， DFM 为直角三角形当 MFD=90 时，则 M 只能在 x 轴上，连接 FN 交 MD 于点 G，如图 由（2）知 OF=83，OD=4，则有 MOFFOD， OMOF=OFOD，即 OM83=834，解得 OM=169 M-169,0，D4,0， G109,0设 N 点坐标为 x,y，则 x+02=109，y+832=0，解得 x=209，y=-83，此时 N 点坐标为 209,-83当 MDF=90 时，则 M 只能在 y 轴上，连接 DN 交 MF 于点 G，如图则有 FODDOM， OFOD=ODOM，即 834=4OM，解得 OM=6， M0,-6，F0,83， MG=12MF=133，则有 OG=OM-MG=53， G0,-53设 N 点坐标为 x,y，则 x+42=0，y+02=-53，解得 x=-4，y=-103，此时 N-4,-103当 FMD=90 时，则可知 M 为原点，如图 四边形 MFND 为矩形， NF=OD=4，ND=OF=83，可求得 N4,83综上所述，N209,-83 或 -4,-103 或 4,8335. （1） 1【解析】由题意可知，四边形 OABC 是矩形，PQR 是等腰直角三角形如图，当边 QR 经过点 B 时，AB=AQ=3，QD=1，则 t=1      （2） 如图，当点 R 落在边 BC 上，过点 R 作 RHPQ 于点 H PQR 是等腰直角三角形， RH=PH=QH=3，此时 OD=2t+6+t=12，t=2分三种情况考虑如下：当 0<t1 时，重叠部分为梯形（如图）过点 P 作 PFBC 于点 F，则 PF=EF=OC=3而 OP=2t，则 S=S梯形ABEP=S矩形ABCO-S梯形OPEC=24-122t+2t+3×3，即 S=-6t+3920<t1当 1<t2 时，重叠部分为五边形（如图） S=S五边形AFGEP=S梯形ABEP-SBFG=-6t+392-12t-12，即 S=-12t2-5t+191<t2 当 2<t4 时，重叠部分为四边形（如图） S=S四边形AFRP=SPQR-SAQF=1412-3t2-124-t2，即 S=74t2-14t+282<t4      （3） 如图，延长 FB 到点 G，使 BG=EM，连接 AG，MN延长 NR 交 PQ 于点 H 点 E5,0，AE=AB=3，显然四边形 ABFE 是正方形， AEM=ABG=90， AEMABG， EAM=BAG，AM=AG又 MAN=45， EAM+BAN=45， BAG+BAN=45，即 GAN=45， MAN=GAN AN=AN，AM=AG， AMNAGN， MN=GN，即 MN=EM+NB， MN=RH+AH=PH+AH=PA=8-2t MF=3-12-3t2=3t-62，FN=EH=12-5-t-12-3t2=2+t2， 在 RtMFN 中，MN2=MF2+FN2，8-2t2=3t-622+2+t22，整理得 t2-16t+36=0， 解得 t=8±27 R 落在矩形 OABC 的内部，2<t<4， t=8-2737. （1） 如图 1， 过点 E 作 EHOA 于点 H，EF 与 y 轴的交点为 M因为 OE=OA，=60，所以 AEO 为正三角形，所以 OH=3，EH=62-32=33所以 E-3,33因为 AOM=90，所以 EOM=30在 RtEOM 中，因为 cosEOM=OEOM，即 32=6OM，所以 OM=43所以 M0,43设直线 EF 的函数表达式为 y=kx+43，因为该直线过点 E-3,33，所以 -3k+43=33，解得 k=33所以，直线 EF 的函数表达式为 y=33x+43      （2） 如图 2， 射线 OQ 与 OA 的夹角为 （ 为锐角，tan12）无论正方形边长为多少，绕点 O 旋转角 后得到正方形 OEFG 的顶点 E 在射线 OQ 上，所以当 AEOQ 时，线段 AE 的长最小在 RtAOE 中，设 AE=a，则 OE=2a，所以 a2+2a2=62，解得 a1=655，a2=-655舍去所以 OE=2a=1255，所以 S正方形OEFG=OE2=1445      （3） 设正方形边长为 m当点 F 落在 y 轴正半轴时如图 3， 当 P 与 F 重合时，PEO 是等腰直角三角形，有 OPPE=2 或 OPOE=2在 RtAOP 中，APO=45，OP=OA=6，