高中数学必修2立体几何考题(共19页).doc

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高中数学必修2立体几何考题13如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解析：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MNAC，因此AM与CN不是异面直线(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的解：(1)不是异面直线理由如下：M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1AD1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形A1AAC，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，这与在正方体中BC平面CC1D1相矛盾，假设不成立，故D1B与CC1是异面直线14如下图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长(不必证明)解析：(1)由ONAD知，AD与ON确定一个平面.又O、C、M三点确定一个平面(如下图所示)三个平面，和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面DA与CM必相交，记交点为Q.OQ是与的交线连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故OPQ即为所作的直线(2)解三角形APQ可得PQ.15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCB1Ba，ABC90°，D、E分别为BB1、AC1的中点(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离解析：(1)由于直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1，所以A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角又ABBCB1Ba，ABC90°，所以A1C1a，tanA1AC1，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点，可得DE綊BM.在直三棱柱ABCA1B1C1中，由条件ABBC得BMAC，所以BM平面ACC1A1，故DE平面ACC1A1，所以DEAC1，DEBB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线解法二：如图，延长C1D、CB交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F的中点，B是CF的中点，又E是AC1的中点，所以DEAF.在ACF中，由ABBCBF知AFAC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AFAA1，故AF平面ACC1A1，故DE平面ACC1A1，所以DEAC1，DEBB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于ABBCa，ABC90°，所以DEa.反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行16如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O，M分别是BD1，AA1的中点(1)求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线；(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离解析：(1)证明：O是BD1的中点，O是正方体的中心，OAOA1，又M为AA1的中点，即OM是线段AA1的垂直平分线，故OMAA1.连结MD1、BM，则可得MBMD1.同理由点O为BD1的中点知MOBD1，即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线(2)由于AA1BB1，所以B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角在RtBB1D1中，设BB11，则BD1，所以cosB1BD1，故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于.(3)由(1)知，所求距离即为线段MO的长，由于OAAC1a，AM，且OMAM，所以OMa.13如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F，求证：EFABCD.证明：解法一：分别过E、F作EMAB于M，FNBC于N，连结MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1，EMFN.又B1EC1F，EMFN，故四边形MNFE是平行四边形，EFMN，又MN在平面ABCD中，所以EF平面ABCD.解法二：过E作EGAB交BB1于G，连结GF，则，B1EC1F，B1AC1B，FGB1C1BC.又EGFGG，ABBCB，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.14如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC.过BD作与PA平行的平面，交侧棱PC于点E，又作DFPB，交PB于点F.(1)求证：点E是PC的中点；(2)求证：PB平面EFD.证明：(1)连结AC，交BD于O，则O为AC的中点，连结EO.PA平面BDE，平面PAC平面BDEOE，PAOE.点E是PC的中点；(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC，PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC，又由PD平面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，CDBC，BC平面PDC.而DE平面PDC.BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB，又DFPB且DEDFD，所以PB平面EFD.15如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在l1上，C在l2上，AMMBMN.(1)求证ACNB；(2)若ACB60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值证明：(1)如图由已知l2MN，l2l1，MNl1M，可得l2平面ABN.由已知MNl1，AMMBMN，可知ANNB且ANNB.又AN为AC在平面ABN内的射影，ACNB.(2)RtCNARtCNB，ACBC，又已知ACB60°，因此ABC为正三角形RtANBRtCNB，NCNANB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心连结BH，NBH为NB与平面ABC所成的角在RtNHB中，cosNBH.16如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力证明：(1)在ABD中，E、F分别是AB、BD的中点，所以EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，直线EF平面ACD.(2)在ABD中，ADBD，EFAD，EFBD.在BCD中，CDCB，F为BD的中点，CFBD.EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，BD平面EFC.又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.13如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA平面ABCD，且PA2AB.(1)求证：平面PAC平面PBD；(2)求二面角BPCD的余弦值解析：(1)证明：PA平面ABCD，PABD.ABCD为正方形，ACBD.BD平面PAC，又BD在平面BPD内，平面PAC平面BPD.(2)在平面BCP内作BNPC，垂足为N，连结DN，RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC；BND为二面角BPCD的平面角，在BND中，BNDNa，BDa，cosBND.14如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.证明：(1)连结FG.AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E，A1G綊BE.C1F綊B1G，四边形C1FGB1是平行四边形FG綊C1B1綊D1A1，四边形A1GFD1是平行四边形A1G綊D1F，D1F綊EB，故E、B、F、D1四点共面(2)H是B1C1的中点，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90°，B1HGCBF，B1GHCFBFBG，HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，平面A1GH平面BED1F.15在三棱锥PABC中，PA面ABC，ABC为正三角形，D、E分别为BC、AC的中点，设ABPA2.(1)求证：平面PBE平面PAC；(2)如何在BC上找一点F，使AD平面PEF，请说明理由；(3)对于(2)中的点F，求三棱锥BPEF的体积解析：(1)证明：PA面ABC，BE面ABC，PABE.ABC是正三角形，E为AC的中点，BEAC，又PA与AC相交，BE平面PAC，平面PBE平面PAC.(2)解：取DC的中点F，则点F即为所求E，F分别是AC，DC的中点，EFAD，又AD平面PEF，EF平面PEF，AD平面PEF.(3)解：VBPEFVPBEFSBEF·PA××××2.16(2009·天津，19)如图所示，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为CE的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)求证：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解答：(1)解：由题设知，BFCE，所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点，连结EP，PC.因为FE綊AP，所以FA綊EP.同理，AB綊PC.又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD内，故EPPC，EPAD.由ABAD，可得PCAD.设FAa，则EPPCPDa，CDDEECa.故CED60°.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明：因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.连结MP，则MPCE.又MPDMM，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)设Q为CD的中点，连结PQ，EQ.因为CEDE，所以EQCD.因为PCPD，所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角由(1)可得，EPPQ，EQa，PQa.于是在RtEPQ中，cosEQP.所以二面角ACDE的余弦值为.13(2009·重庆)如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADDCAB1，M为PC的中点，N点在AB上且ANNB.(1)求证：MN平面PAD；(2)求直线MN与平面PCB所成的角解析：(1)证明：过点M作MECD交PD于E点，连结AE.ANNB，ANABDCEM.又EMDCAB，EM綊AN，AEMN为平行四边形，MNAE，MN平面PAD.(2)解：过N点作NQAP交BP于点Q，NFCB于点F.连结QF，过N点作NHQF于H，连结MH，易知QN面ABCD，QNBC，而NFBC，BC面QNF，BCNH，而NHQF，NH平面PBC，NMH为直线MN与平面PCB所成的角通过计算可得MNAE，QN，NF，NH，sinNMH，NMH60°，直线MN与平面PCB所成的角为60°.14(2009·广西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ADBD，ADBDa，E是CC1的中点，A1DBE.(1)求证：A1D平面BDE；(2)求二面角BDEC的大小解析：(1)证明：在直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，AA1BD.又BDAD，BD平面ADD1A1，即BDA1D.又A1DBE且BEBDB，A1D平面BDE.(2)解：如图，连B1C，则B1CBE，易证RtBCERtB1BC，又E为CC1中点，BC2BB.BB1BCa.取CD中点M，连结BM，则BM平面CC1D1C，作MNDE于N，连NB，由三垂线定理知：BNDE，则BNM是二面角BDEC的平面角在RtBDC中，BMa，RtCED中，易求得MNa，RtBMN中，tanBNM，则二面角BDEC的大小为arctan.15如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点(1)求直线B1C与DE所成的角的余弦值；(2)求证：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值解析：(1)连结A1D，则由A1DB1C知，B1C与DE所成的角即为A1D与DE所成的角连结A1E，由正方体ABCDA1B1C1D1，可设其棱长为a，则A1Da，A1EDEa，cosA1DE.直线B1C与DE所成角的余弦值是.(2)证明取B1C的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF.CD平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1，DCBF.又BFB1C，CDB1CC，BF平面B1CD.又GF綊CD，BE綊CD，GF綊BE，四边形BFGE是平行四边形，BFGE，GE平面B1CD.GE平面EB1D，平面EB1D平面B1CD.(3)连结EF.CDB1C，GFCD，GFB1C.又GE平面B1CD，EFB1C，EFG是二面角EB1CD的平面角设正方体的棱长为a，则在EFG中，GFa，EFa，cosEFG，二面角EB1CD的余弦值为.16(2009·全国，18)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1.(1)求证：ABAC；(2)设二面角ABDC为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小解析：(1)证明：取BC中点F，连结EF，则EF綊B1B，从而EF綊DA.连结AF，则ADEF为平行四边形，从而AFDE.又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以ABAC.(2)解：作AGBD，垂足为G，连结CG.由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角ABDC的平面角由题设知，AGC60°.设AC2，则AG.又AB2，BC2，故AF.由AB·ADAG·BD得2AD·，解得AD，故ADAF.又ADAF，所以四边形ADEF为正方形因为BCAF，BCAD，AFADA，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF.连结AE、DF，设AEDFH，则EHDF，EH平面BCD.连结CH，则ECH为B1C与平面BCD所成的角因ADEF为正方形，AD，故EH1，又ECB1C2，所以ECH30°，即B1C与平面BCD所成的角为30°.13在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点(1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离d.分析：(1)可先证EF平面BDD1B1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由B1D1BD，将点进行转移：D1点到平面B1EF的距离是B点到它的距离的4倍，先求B点到平面B1EF的距离即可解答：(1)证明：EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1.(2)解：解法一：连结EF交BD于G点B1D14BG，且B1D1BG，D1点到平面B1EF的距离是B点到它的距离的4倍利用等积法可求由题意可知，EFAC2，B1G.SB1EFEF·B1G×2×，SBEFBE·BF××1.VBB1EFVB1BEF，设B到面B1EF的距离为h1，则××h1×1×4，h1.点D1到平面B1EF的距离为h4h1.解法二：如图，在正方形BDD1B1的边BD上取一点G，使BGBD，连结B1G，过点D1作D1HB1G于H，则D1H即为所求距离可求得D1H(直接法)14如图直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC12，BAC90°，ABAC，M是棱BC的中点，N是CC1中点求：(1)二面角B1ANM的大小；(2)C1到平面AMN的距离解析：(1)BAC90°，ABAC，M是棱BC的中点，AMBC，BC2，AM1.AM平面BCC1B1.平面AMN平面BCC1B1.作B1HMN于H，HRAN于R，连结B1R，B1H平面AMN.又由三垂线定理知，B1RAN.B1RH是二面角B1ANM的平面角由已知得AN，MN，B1MB1N，则B1H，又RtAMNRtHRN，RH.B1R，cosB1RH.二面角B1ANM的大小为arccos.(2)N是CC1中点，C1到平面AMN的距离等于C到平面AMN的距离设C到平面AMN的距离为h，由VCAMNVNAMC得×·MN·h×AM·MC.h.15(2009·北京海淀一模)如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且ABCD，BAD90°，PAADDC2，AB4.(1)求证：BCPC；(2)求PB与平面PAC所成的角的正弦值；(3)求点A到平面PBC的距离解析：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD90°，ADDC2，ADC90°，且AC2.取AB的中点E，连结CE，由题意可知，四边形ABCD为正方形，AECE2.又BEAB2.CEAB，ABC为等腰直角三角形，ACBC.又PA平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC平面ABCD，由三垂线定理得，BCPC.(2)由(1)可知，BCPC，BCAC，PCACC，BC平面PAC.PC是PB在平面PAC内的射影，CPB是PB与平面PAC所成的角又CB2，PB2PA2AB220，PB2，sinCPB，即PB与平面PAC所成角的正弦值为.(3)由(2)可知，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PBC平面PAC.过A点在平面PAC内作AFPC于F，AF平面PBC，AF的长即为点A到平面PBC的距离在直角三角形PAC中， PA2，AC2，PC2，AF.即点A到平面PBC的距离为.16(2009·吉林长春一模)如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA2，PDA45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点(1)求证：AF平面PCE；(2)求二面角EPDC的大小；(3)求点A到平面PCE的距离解析：(1)证明：如图取PC的中点G，连结FG、EG，FG为PCD的中位线，FGCD且FGCD.又底面四边形ABCD是正方形，E为棱AB的中点，AECD且AECD，AEFG且AEFG.四边形AEGF是平行四边形，AFEG.又EG平面PCE，AF平面PCE，AF平面PCE.(2)解：PA底面ABCD，PAAD，PACD.又ADCD，PAADA，CD平面PAD.又AF平面PAD，CDAF.又PA2，PDA45°，PAAD2.F是PD的中点，AFPD.又CDPDD，AF平面PCD.AFEG，EG平面PCD.又GFPD，连结EF，则GFE是二面角EPDC的平面角在RtEGF中，EGAF，GF1，tanGFE.二面角EPDC的大小为arctan.(3)设A到平面PCE的距离为h，由VAPCEVPACE，即×PC·EG·hPA·AE·CB，得h，点A到平面PCE的距离为.13(2009·陕西，18)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60°.(1)求证：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的大小解析：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1，在ABC中，AB1，AC，ABC60°，由正弦定理得ACB30°，BAC90°，即ABAC.AB平面ACC1A1，又A1C平面ACC1A1，ABA1C.(2)解：如图，作ADA1C交A1C于D点，连结BD，由三垂线定理知BDA1C，ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD，在RtBAD中，tanADB，ADBarctan，即二面角AA1CB的大小为arctan.14如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB1A1是菱形且垂直于底面，A1AB60°，M是A1B1的中点(1)求证：BMAC；(2)求二面角BB1C1A1的正切值；(3)求三棱锥MA1CB的体积解析：(1)证明：ABB1A1是菱形，A1AB60°A1B1B是正三角形，BM平面A1B1C1.BMAC.BEB1C1，BEM为所求二面角的平面角，A1B1C1中，MEMB1·sin60°a，RtBMB1中，MBMB1·tan60°a，tanBEM2，所求二面角的正切值是2.(3)VMA1CBVB1A1CBVAA1CBVA1ABC××a2·aa3.15(2009·广东汕头一模)如图所示，已知BCD中，BCD90°，BCCD1，AB平面BCD，ADB60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且(0<<1)(1)求证：不论为何值，总有EF平面ABC；(2)若，求三棱锥ABEF的体积解析：(1)证明：AB平面BCD，ABCD.又在BCD中，BCD90°，BCCD.又ABBCB，CD平面ABC.又在ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且(0<<1)，不论为何值，都有EFCD，EF平面ABC.(2)在BCD中，BCD90°，BCCD1，BD.又AB平面BCD，ABBC，ABBD.又在RtABD中，ADB60°，ABBD·tan60°，由(1)知EF平面ABC，VABEFVFABESABE·EF×SABC·EF××1××.故三棱锥ABEF的体积是.16在四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为2的菱形，ADC为菱形的锐角(1)求证：PACD；(2)求二面角PABD的大小；(3)求棱锥PABCD的侧面积；解析：(1)证明：如图所示，取CD的中点E，由PECD，得PE平面ABCD，连结AC、AE.AD·CD·sinADC2，ADCD2，sinADC，即ADC60°，ADC为正三角形，CDAE.CDPA(三垂线定理)(2)解：ABCD，ABPA，ABAE，PAE为二面角PABD的平面角在RtPEA中，PEAE，PAE45°.即二面角PABD的大小为45°.(3)分别计算各侧面的面积：PDDA2，PA，cosPDA，sinPDA.SPCD，SPABAB·PA·2··，SPADSPBCPD·DA·sinPDA.SPABCD侧.13把地球当作半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°，A、B两点的球面距离是R，A点在东经20°，求B点的位置解析：如图，求B点的位置即求B点的经度，设B点在东经，A、B两点的球面距离是R.AOB，因此三角形AOB是等边三角形，ABR，又AO1B20°(经度差)问题转化为在AO1B中借助AO1BO1AOcos45°R，求出AO1B90°，则110°，同理：B点也可在西经70°，即B点在北纬45°东经110°或西经70°.14在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和400cm2，求球的表面积和体积解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO1、BO2，则AO1BO2.若O1、O2分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知OO1AO1，OO2BO2，设球半径为R，O2B249，O2B7cm，同理O1A20cm.设OO1xcm，则OO2(x9)cm.在RtOO1A中，R2x2202，在RtOO2B中，R2(x9)272，x220272(x9)2，解得x15cm.R25cm，S球2500cm2，V球R3cm3.15设A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，O为球心，求：(1)AOB、BOC的大小；(2)球心O到截面ABC的距离解析：(1)如图，因为球O的半径为1，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，所以BOC，AOBAOC，(2)因为BC1，ACAB，所以由余弦定理得cosBAC，sinBAC，设截面圆的圆心为O1，连结AO1，则截面圆的半径rAO1，由正弦定理得r，所以OO1.16如图四棱锥ABCDE中，AD底面BCDE，ACBC，AEBE.(1)求证：A、B、C、D、E五点共球；(2)若CBE90°，CE，AD1，求B、D两点的球面距离解析：(1)证明：取AB的中点P，连结PE，PC，PD，由题设条件知AEB、ADB、ABC都是直角三角形故PEPDPCABPAPB.所以A、B、C、D、E五点在同一球面上(2)解：由题意知四边形BCDE为矩形，所以BDCE，在RtADB中，AB2，AD1，DPB120°，D、B的球面距离为.17(本小题满分10分)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SA底面ABCD，E是SC上一点(1)求证：平面EBD平面SAC；(2)假设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离；解析：(1)正方形ABCD，BDAC，又SA平面ABCD，SABD，则BD平面SAC，又BD平面BED，平面BED平面SAC.(2)设ACBDO，由三垂线定理得BDSO.AOACAB··2，SA4，则SO3，SBSDBD·SO·2·36.设A到面BSD的距离为h，则VSABDVABSD，即SABD·SASBSD·h，解得h，即点A到平面SBD的距离为.18(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在C1C上且C1E3EC.(1)证明A1C平面BED；(2)求二面角A1DEB的大小解析：依题设知AB2，CE1，(1)证明：连结AC交BD于点F，则BDAC.由三垂线定理知，BDA1C.在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G，由于2，故RtA1ACRtFCE，AA1CCFE，CFE与FCA1互余于是A1CEF.A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直所以A1C平面BED.(2)作GHDE，垂足为H，连结A1H.由三垂线定理知A1HDE，故A1HG是二面角A1DEB的平面角EF，CG .EG.，GH× .又A1C2，A1GA1CCG，tanA1HG5.所以二面角A1DEB的大小为arctan5.19(本小题满分12分)如图，四棱锥SABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90°，ABBCSBSC2CD2，侧面SBC底面ABCD.(1)由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置；(2)求二面角EBCA的大小解析：(1)作SOBC于O，则SO平面SBC，又面SBC底面ABCD，面SBC面ABCDBC，SO底面ABCD又SO平面SAO，面SAO底面ABCD，作EHAO，EH底面ABCD即H为垂足，由知，EHSO，又E为SA的中点，H是AO的中点(2)过H作HFBC于F，连结EF，由(1)知EH平面ABCD，EHBC，又EHHFH，BC平面EFH，BCEF，HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角在等边三角形SBC中，SOBC，O为BC中点，又BC2.SO，EHSO，又HFAB1，在RtEHF中，tanHFE，HFEarctan.即二面角EBCA的大小为arctan.20(本小题满分12分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA12，N是A1D的中点，MBB1，异面直线MN与A1A所成的角为90°.(1)求证：点M是BB1的中点；(2)求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小；(3)求二面角AMNA1的大小解析：(1)取AA1的中点P，连结PM，PN.N是A1D的中点，AA1PN，又AA1MN，MNPNN，AA1面PMN.PM面PMN，AA1PM，PMAB，点M是BB1的中点(2)由(1)知PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角在RtPMN中，易知PM1，PN，tanPNM2，PNMarctan2.故MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2.(3)N是A1D的中点，M是BB1的中点，A1NAN，A1MAM，又MN为公共边，A1MNAMN.在AMN中，作AGMN交MN于G，连结A1G，则A1GA即为二面角AMNA1的平面角在A1GA中，AA12，A1GGA，cosA1GA，A1GAarccos()，故二面角AMNA1的大小为arccos()21(2009·安徽，18)(本小题满分12分)如图所示，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2，BD.AE、CF都与平面ABCD垂直，AE1，CF2.(1)求二面角BAFD的大小；(2)求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力解答：(1)解：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足，连接BG、DG.由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF.于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD的平面角由FCAC，FCAC2，得FAC，OG.由OBOG，OBOD，得BGD2BGO.(2)解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥EABCD与四棱锥FABCD的公共部分为四棱锥HABCD.过