经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式(共3页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上几个经典不等式的关系一 几个经典不等式（1）均值不等式设是实数其中.当且仅当时，等号成立.（2）柯西不等式设是实数，则当且仅当或存在实数，使得时，等号成立.（3）排序不等式设，为两个数组，是的任一排列，则当且仅当或时，等号成立.（4）切比晓夫不等式对于两个数组：，有当且仅当或时，等号成立.二 相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由而根据“顺序和乱序和”（在个部分同时使用），可得即得同理，根据“乱序和反序和”，可得综合即证（2）用排序不等式证明“几何算数平均不等式”：证明：构造两个数列：其中.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：总是两数组的反序和.于是由“乱序和反序和”，总有于是即即证（3）用切比晓夫不等式证明“算数开方平均不等式”：证明：不妨设，.由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证.（4）用切比晓夫不等式证明“调和算数平均不等式”证明： .不妨设，则，由切比晓夫不等式，上式成立.即证.（5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式证明：不妨设，由切比晓夫不等式，有.由均值不等式，有.所以两边平方，即得.即证.（6）补充“调和几何平均不等式”的证明证明：将中的换成，有.两边取倒数，即得.专心-专注-专业